研究生課程《現(xiàn)代數(shù)學與中學數(shù)學》試題.doc

《研究生課程《現(xiàn)代數(shù)學與中學數(shù)學》試題.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《研究生課程《現(xiàn)代數(shù)學與中學數(shù)學》試題.doc（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

研究生課程進修班試卷封面姓 名： 單位： 專 業(yè)： 考試科目： 考試分數(shù)： 年 月 日東北師范大學研究生課程進修班考試試卷評分表課程名稱 姓 名 單位 專 業(yè) 年 月 日 題 號分 數(shù)簽 名12345678910總 分評閱教師簽字： 年 月 日現(xiàn)代數(shù)學與中學數(shù)學考試卷一、(10分) 對下列各式，判斷其對錯，或加以證明，或舉出反例（1） （2） 解：（1）錯 1,x0例如f(x) g(x)-2x,h(x)x-1,x0（2）正確(gf)oh(x)(gf)(h(x)f(h(x)g(h(x)foh(x)goh(x)二、（10分） 若函數(shù)在點可導，計算（1） （2） 解：（1）原式= 三、（10分） 求一函數(shù)，其曲線過坐標原點且曲線上每一點切線斜率是該點橫坐標的2倍。 解：根據(jù)題意可設，切點坐標為則，故，所以 四、（10分）證明：若，則 五、（10分）求頂點在坐標原點的錐面與平面所圍成的錐體的體積。c2y2b2z2c2x2a2z2答：任取z(0,c)，過點(0,0,z)作垂直于z軸的平面，截面為橢圓，其方程為 1，c 0 abc20 c2abz2 ，z2dz ，c 橢圓面積S(z) ， VS(z)dz abc. 六、（10分） 甲、乙兩人投籃，投中的概率分別為0.3,0.6。今各投2次。求甲比乙投中次數(shù)多的概率。解：(1)甲中1次乙中0次的概率為：p120.3(10.3)(10.6)20.0672；(2)甲中2次乙中1次的概率為：p20.30.320.6(10.6)0.0432；(3)甲中2次乙中0次的概率為：p30.30.3(10.6)20.0144；所以甲比乙投中次數(shù)多的概率為：P0.06720.04320.01440.1248七、（10分） 要研究某種物質(zhì)致癌性質(zhì)，用小白鼠做試驗。假定把50只小白鼠隨機地分成10組，每組5只，對每只小白鼠注射該物質(zhì)，經(jīng)過一段時間后，觀察每組小白鼠患癌的個數(shù)，得到，則，這里就是這種物質(zhì)致癌的概率。試導出的最大似然估計值的計算公式。答：設事件A發(fā)生的概率P(A)p，定義隨機變量 1，若在一次試驗中事件A發(fā)生， X 0，若在一次試驗中事件A不發(fā)生.則，XB(1,p),它的分布律為：P(Xx)px(1p)1-x，x0,1.n現(xiàn)有樣本X1,X2,Xn，故似然函數(shù)為i1nnxipxi(1p)1-xi p i=1 (1p)i1nxii1L(p) (xi)pn(nxi)(1p)ni1i1它的對數(shù)為：L(p) 似然方程 ，1pi1(nxi) nxindpdL(p)i1p似然方程為 0，X5則方程的解 p .八、（10分） 甲同學在他的盒子中放了200個玻璃球（盒子中黑球、白球究竟各有多少他并未告訴其他任何人），甲同學當眾宣布：他的這些球中黑球所占比例p=3%，乙同學從甲同學的盒子中任意取若干個球（比如：10個），觀察并記錄取到球的顏色。該實驗的結果有多種可能。（1）假如乙同學發(fā)現(xiàn)他任取的10個球中2個黑球，問此時乙同學能否相信甲同學的說法？（2）假如乙同學發(fā)現(xiàn)他任取的10個球沒有黑球，問此時乙同學對甲同學的說法又應做何反應？解：(1)可以相信甲的說法。(2)對甲的說法產(chǎn)生很大懷疑用的是最大似然法。九、（10分） 用選主元素的Gauss消元法求解請指明消元、回代過程。解：如果從第二個方程中減去第一個方程的倍，再從第三個方程減去第一個方程的倍，則得等價方程組：x2x3 13，3x12x2x3 39，x2x3 8，(1e) 其中第二、三個方程中變元x1已被消去了。類似地，從方程組(1e)的第三個方程中減去第二個方程的倍，即可消去(1e)中第三個方程的變元x2，最后得到與原方程組等價的如下方程組3x12x2x3 39，x3 .x2x3 8，(1f)方程組(1f)很容易求解，可按如下方式進行。由(1f)的第三個方程直接解出x3 ，將其代入(1f)的第二個方程可解出x2 ，最后將x3, x2共同代入(1f)的第一個方程解出x1 。十、（10分） 使用二分法求解于1,2內(nèi)的根，二分3次即可。解：令f(x)x22， f(1)1210，f(2)420，f(x)在區(qū)間1,2上存在零點， (1)、取區(qū)間1,1.5，f(1)0，f(1.5)0， f(x)在區(qū)間1,1.5上存在零點，(2)、取區(qū)間1.25,1.5，f(1.25)0，f(1.5)0， f(x)在區(qū)間1.25,1.5上存在零點，(3)、取區(qū)間1.375,1.5，f(1.375)0，f(1.5)0， f(x)在區(qū)間1.375,1.5上存在零點，方程x220在區(qū)間1,2上的根近似為1.375.