北京市高級中等學校招生考試數(shù)學試卷及答案(word版).doc

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2010年北京市高級中等學校招生考試 數(shù) 學 試 卷 學校___________________ 姓名___________________ 準考證號___________________ 考 生 須 知 1. 本試卷共6頁，共五道大題，25道小題，滿分120分。考試時間120分鐘。 2. 在試卷和答題卡上準確填寫學校名稱、姓名和準考證號。 3. 試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。 4. 在答題卡上，選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答。 5. 考試結(jié)束，將本試卷、答題卡和草稿紙一并交回。 一、選擇題（本題共32分，每小題4分） 下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的． 1. 的倒數(shù)是 A. B. C. D. 2. 2010年6月3日，人類首次模擬火星載人航天飛行試驗“火星—500”正式啟動，包括中國志愿者王躍在內(nèi)的6名志愿者踏上了為期12 480小時的“火星之旅”．將12 480用科學記數(shù)法表示應為 A. B. C. D. 3. 如圖，在中，點分別在邊上，， 若，，則等于 A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 4. 若菱形兩條對角線的長分別為6和8，則這個菱形的周長為 A. 20 B. 16 C. 12 D. 10 5. 從1，2，3，4，5，6，7，8，9，10這十個數(shù)中隨機取出一個數(shù)，取出的數(shù)是3的倍數(shù)的概率是 A. B. C. D. 6. 將二次函數(shù)化為的形式，結(jié)果為 A. B. C. D. 7. 10名同學分成甲、乙兩隊進行籃球比賽，他們的身高（單位：cm）如下表所示： 隊員1 隊員2 隊員3 隊員4 隊員5 甲隊 177 176 175 172 175 乙隊 170 175 173 174 183 設兩隊隊員身高的平均數(shù)依次為，，身高的方差依次為，，則下列關(guān)系中完全正確的是 A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 美術(shù)課上，老師要求同學們將右圖所示的白紙只沿虛線裁開， 用裁開的紙片和白紙上的陰影部分圍成一個立體模型，然后 放在桌面上，下面四個示意圖中，只有一個符合上述要求， 那么這個示意圖是 二、填空題（本題共16分，每小題4分） 9. 若二次根式有意義， 則的取值范圍是___________． 10. 分解因式：_____________________． 11. 如圖，為的直徑，弦，垂足為點，連結(jié)， 若，，則___________． 12. 右圖為手的示意圖，在各個手指間標記字母． 請你按圖中箭頭所指方向（即 的方式）從開始數(shù)連續(xù)的正整數(shù)當數(shù)到12時，對應的字母是________；當字母第201次出現(xiàn)時，恰好數(shù)到的數(shù)是_________；當字母第次出現(xiàn)時（為正整數(shù)），恰好數(shù)到的數(shù)是_____________（用含的代數(shù)式表示）． 三、解答題（本題共30分，每小題5分） 13. 計算：． 14. 解分式方程． 15. 已知：如圖，點在同一條直線上，， ，，．求證：． 16. 已知關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，求的值及方程的根． 17. 列方程或方程組解應用題： 2009年北京生產(chǎn)運營用水和居民家庭用水的總和為5.8億立方米，其中居民家庭用水比生產(chǎn)運營用水的3倍還多0.6億立方米，問生產(chǎn)運營用水和居民家庭用水各多少億立方米． 18. 如圖，直線與軸交于點，與軸交于點． （1）求兩點的坐標； （2）過點作直線與軸交于點，且使， 求的面積． 四、解答題（本題共20分，每小題5分） 19. 已知：如圖，在梯形中，，，．求的度數(shù)及的長． 20. 已知：如圖，在中，是邊上一點，過三點，． （1）求證：直線是的切線； （2）如果，的半徑為2，求的長． 21. 根據(jù)北京市統(tǒng)計局公布的2006-2009年空氣質(zhì)量的相關(guān)數(shù)據(jù)，回執(zhí)統(tǒng)計圖如下： （1）有統(tǒng)計圖中的信息可知，北京全年市區(qū)空氣質(zhì)量達到二級和好于二級的天數(shù)與上一年相比，增加最多的是_________年，增加了_______天； （2）表1是根據(jù)《中國環(huán)境發(fā)展報告（2010）》公布的數(shù)據(jù)繪制的2009年十個城市空氣質(zhì)量達到二級和好于二級的天數(shù)占全年天數(shù)百分比的統(tǒng)計表，請將表1中的空缺部分補充完整（精確到1%）； 表1 2009年十個城市空氣質(zhì)量達到二級和好于二級的天數(shù)占全年天數(shù)百分比統(tǒng)計表 城市 北京 上海 天津 昆明 杭州 廣州 南京 成都 沈陽 西寧 百分比 91% 84% 100% 89% 95% 86% 86% 90% 77% （3）根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)將十個城市劃分為三組，百分比不低于95%的為A組，不低于85%且低于95%的為B組，低于85%的為C組．按此標準，C組城市數(shù)量在這十個城市中所占的百分比為_____%；請你補全右邊的扇形統(tǒng)計圖． 22. 閱讀下列材料： 小貝遇到一個有趣的問題：在矩形中，，．現(xiàn)有一動點按下列方式在矩形內(nèi)運動：它從點出發(fā)，沿著與邊夾角為的方向作直線運動，每次碰到矩形的一邊，就會改變運動方向，沿著與這條邊夾角為的方向作直線運動，并且它一直按照這種方式不停地運動，即當點碰到邊，沿著與邊夾角為的方向作直線運動，當點碰到邊，再沿著與邊夾角為的方向作直線運動，…，如圖1所示．問點第一次與點重合前與邊相碰幾次，點第一次與點重合時所經(jīng)過的路徑的總長是多少． 小貝的思考是這樣開始的：如圖2，將矩形沿直線折疊，得到矩形．由軸對稱的知識，發(fā)現(xiàn)，． 請你參考小貝的思路解決下列問題： （1）點第一次與點重合前與邊相碰______次；點從點出發(fā)到第一次與點 重合時所經(jīng)過的路徑地總長是_______________cm； （2）進一步探究：改變矩形中的長，且滿足．動點從點出發(fā)，按照閱讀材料中動點的運動方式，并滿足前后連續(xù)兩次與邊相碰的位置在矩形相鄰的兩邊上．若點第一次與點重合前與邊相碰7次，則的值為_________． 五、解答題（本題共22分，第23題7分，第24題8分，第25題7分） 23. 已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點． （1）試確定此反比例函數(shù)的解析式； （2）點是坐標原點，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，判斷點是否在此反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由； （3）已知點也在此反比例函數(shù)的圖象上（其中），過點作軸的垂線，交軸于點．若線段上存在一點，使得的面積是，設點的縱坐標為，求的值． 24. 在平面直角坐標系中，拋物線與軸的交點分別為原點和點，點在這條拋物線上． （1）求點的坐標； （2）點在線段上，從點出發(fā)向點運動，過點作軸的垂線，與直線交于點，延長到點，使得，以為斜邊，在右側(cè)作等腰直角三角形（當點運動時，點、點也隨之運動）． ① 當?shù)妊苯侨切蔚捻旤c落在此拋物線上時，求的長； ② 若點從點出發(fā)向點作勻速運動，速度為每秒1個單位，同時線段上另一個點從點出發(fā)向點作勻速運動，速度為每秒2個單位（當點到達點時停止運動，點也同時停止運動）．過點作軸的垂線，與直線交于點，延長到點，使得，以為斜邊，在的左側(cè)作等腰直角三角形（當點運動時，點、點也隨之運動）．若點運動到秒時，兩個等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同一條直線上，求此刻的值． 25. 問題：已知中，，點是內(nèi)的一點，且，．探究與度數(shù)的比值． 請你完成下列探究過程： 先將圖形特殊化，得出猜想，再對一般情況進行分析并加以證明． （1）當時，依問題中的條件補全右圖． 觀察圖形，與得數(shù)量關(guān)系為________； 當退出時，可進一步推出的度數(shù)為_______； 可得到與度數(shù)的比值為_________． （2）當時，請你畫出圖形，研究與度數(shù)的比值是否與（1）中的結(jié)論相同，寫出你的猜想并加以證明． 內(nèi)部使用 用畢收回 2010年北京市高級中等學校招生考試 數(shù)學試卷答案及評分參考 閱卷須知： 1．為便于閱卷，本試卷答案中有關(guān)解答題的推導步驟寫得較為詳細，閱卷時，只要考生將主要過程正確寫出即可． 2．若考生的解法與給出的解法不同，正確者可參照評分參考相應給分． 3．評分參考中所注分數(shù)，表示考生正確做到此步應得的累加分數(shù)． 一、選擇題（本題共32分，每小題4分） 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D A B D B B 二、填空題（本題共16分，每小題4分） 題號 9 10 11 12 答案 2 B 603 三、解答題（本題共30分，每小題5分） 13．（本小題滿分5分） 解： …………………………………………………………4分 ．……………………………………………………………… 5分 14．（本小題滿分5分） 解：去分母，得．…………………………………………… 2分 整理，得． 解得．…………………………………………………………… 4分 經(jīng)檢驗，是原方程的解． 所以原方程的解是．………………………………………………5分 15．（本小題滿分5分） 證明：∵， ∴．…………………………………………………………1分 ∵，， ∴．…………………………2分 在與中， ∴．………………………4分 ∴．……………………… 5分 16．（本小題滿分5分） 解：由題意可知． 即． 解得．………………………………………………………………………3分 當時，原方程化為． 解得． 所以原方程的根為．…………………………………………………5分 17．（本小題滿分5分） 解法一：設生產(chǎn)運營用水億立方米，則居民家庭用水億立方米．… 1分 依題意，得．………………………………………………2分 解得．…………………………………………………………………3分 ．…………………………………………………… 4分 答：生產(chǎn)運營用水1.3億立方米，居民家庭用水4.5億立方米．…………………5分 解法二：設生產(chǎn)運營用水億立方米，居民家庭用水億立方米．………………1分 依題意，得……………………………………………………2分 解這個方程組，得………………………………………………4分 答：生產(chǎn)運營用水1.3億立方米，居民家庭用水4.5億立方米．…………………5分 18．（本小題滿分5分） 解：（1）令，得． ∴點坐標為．…………………………………………………1分 令，得． ∴點坐標為．……………………………………………………2分 （2）設點坐標為． 依題意，得． ∴點坐標分別為或．……………………………3分 ∴； ． ∴的面積為或．…………………5分 四、解答題（本題共20分，每小題5分） 19．（本小題滿分5分） 解法一：分別作，，、是垂足．…………………1分 ∴． ∵， ∴四邊形是矩形． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，， ∴． 在中， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， 由勾股定理，得． ∴，．………………………5分 解法二：過點作交于點．………………1分 ∵， ∴四邊形是平行四邊形． ∴，． ∵，， ∴． 可證是直角三角形，是等邊三角形． ∴，． 在中，． ∴，．………………………………………5分 20．（本小題滿分5分） （1）證明：∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵點在上， ∴直線是的切線．………………2分 （2）解：∵，， 可求． ∵，， ∴． 作于點． ∴． ∴． ∵， ∴．………………………………………………………5分 21．（本小題滿分5分） 解：（1）2008；28；…………………………………………………………2分 （2）78%；………………………………………………………………3分 （3）30；…………………………………………………………………4分 ……………………………………5分 22．（本小題滿分5分） 解：（1）5，；…………………………………………………………3分 （2）．………………………………………………………………5分 解題思路示意圖： 五、解答題（本題共22分，第23題7分，第24題8分，第25題7分） 23．（本小題滿分7分） 解：（1）由題意得． 解得． ∴反比例函數(shù)的解析式為．………………1分 （2）過點作軸的垂線交軸于點． 在中，，． 可得， ．…………………2分 由題意，，， ∴． 過點作軸的垂線交軸于點． 在中，可得，． ∴點坐標為．……………………………………………3分 將代入中，得． ∴點在反比例函數(shù)的圖象上．………………4分 （3）由得 ∵點在反比例函數(shù)的圖象上，其中， ∴．……………………………………………5分 ∴． ∵軸， ∴點的坐標為． ∵的面積是， ∴． ∵， ∴．………………………………………………………6分 ∴． ∴． ∴．……………………………………………7分 24．（本小題滿分8分） 解：（1）∵拋物線經(jīng)過原點， ∴． 解得，． 由題意知， ∴． ∴拋物線的解析式為． ∵點在拋物線上， ∴． ∴點的坐標為．……………………………………………2分 （2）①設直線的解析式為． 求得直線的解析式為． ∵點是拋物線與軸的一個交點， 可求得點的坐標為． 設點的坐標為，則點的坐標為． 根據(jù)題意作等腰直角三角形，如圖1． 可求得點的坐標為． 由點在拋物線上， 得． 即．解得，（舍去）． ∴．………………………………………………………………4分 ② 依題意作等腰直角三角形． 設直線的解析式為． 由點，點，求得直線的解析式為． 當點運動到秒時，兩個等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同一條直線上， 有以下三種情況： 第一種情況：與在同一條直線上，如圖2所示． 可證為等腰直角三角形． 此時、、的長可依次表示為、、個單位． ∴． ∴． ∴． 第二種情況：與在同一條直線上，如圖3所示． 可證為等腰直角三角形． 此時、的長可依次表示為、個單位． ∴． ∵點在直線上， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 第三種情況：點、重合時，、在同一條直線上，如圖4所示． 此時、的長可依次表示為、個單位． ∴． ∴． 綜上，符合題意的值分別為，2，． …………………………8分 25．（本小題滿分7分） 解：（1）相等；…………………………………1分 ；………………………………………2分 ．………………………………………3分 （2）猜想：與度數(shù)的比值與（1）中結(jié)論相同． 證明：如圖2，作， 過點作交于點，連結(jié)． ∵， ∴四邊形是等腰梯形． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴，． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴與度數(shù)的比值為．……………………………………7分