北京市高級(jí)中等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)試卷及答案(word版).doc

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2010年北京市高級(jí)中等學(xué)校招生考試 數(shù) 學(xué) 試 卷 學(xué)校___________________ 姓名___________________ 準(zhǔn)考證號(hào)___________________ 考 生 須 知 1. 本試卷共6頁，共五道大題，25道小題，滿分120分?？荚嚂r(shí)間120分鐘。 2. 在試卷和答題卡上準(zhǔn)確填寫學(xué)校名稱、姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。 3. 試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。 4. 在答題卡上，選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答。 5. 考試結(jié)束，將本試卷、答題卡和草稿紙一并交回。 一、選擇題（本題共32分，每小題4分） 下面各題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是符合題意的． 1. 的倒數(shù)是 A. B. C. D. 2. 2010年6月3日，人類首次模擬火星載人航天飛行試驗(yàn)“火星—500”正式啟動(dòng)，包括中國志愿者王躍在內(nèi)的6名志愿者踏上了為期12 480小時(shí)的“火星之旅”．將12 480用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為 A. B. C. D. 3. 如圖，在中，點(diǎn)分別在邊上，， 若，，則等于 A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 4. 若菱形兩條對(duì)角線的長分別為6和8，則這個(gè)菱形的周長為 A. 20 B. 16 C. 12 D. 10 5. 從1，2，3，4，5，6，7，8，9，10這十個(gè)數(shù)中隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)，取出的數(shù)是3的倍數(shù)的概率是 A. B. C. D. 6. 將二次函數(shù)化為的形式，結(jié)果為 A. B. C. D. 7. 10名同學(xué)分成甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球比賽，他們的身高（單位：cm）如下表所示： 隊(duì)員1 隊(duì)員2 隊(duì)員3 隊(duì)員4 隊(duì)員5 甲隊(duì) 177 176 175 172 175 乙隊(duì) 170 175 173 174 183 設(shè)兩隊(duì)隊(duì)員身高的平均數(shù)依次為，，身高的方差依次為，，則下列關(guān)系中完全正確的是 A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 美術(shù)課上，老師要求同學(xué)們將右圖所示的白紙只沿虛線裁開， 用裁開的紙片和白紙上的陰影部分圍成一個(gè)立體模型，然后 放在桌面上，下面四個(gè)示意圖中，只有一個(gè)符合上述要求， 那么這個(gè)示意圖是 二、填空題（本題共16分，每小題4分） 9. 若二次根式有意義， 則的取值范圍是___________． 10. 分解因式：_____________________． 11. 如圖，為的直徑，弦，垂足為點(diǎn)，連結(jié)， 若，，則___________． 12. 右圖為手的示意圖，在各個(gè)手指間標(biāo)記字母． 請(qǐng)你按圖中箭頭所指方向（即 的方式）從開始數(shù)連續(xù)的正整數(shù)當(dāng)數(shù)到12時(shí)，對(duì)應(yīng)的字母是________；當(dāng)字母第201次出現(xiàn)時(shí)，恰好數(shù)到的數(shù)是_________；當(dāng)字母第次出現(xiàn)時(shí)（為正整數(shù)），恰好數(shù)到的數(shù)是_____________（用含的代數(shù)式表示）． 三、解答題（本題共30分，每小題5分） 13. 計(jì)算：． 14. 解分式方程． 15. 已知：如圖，點(diǎn)在同一條直線上，， ，，．求證：． 16. 已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求的值及方程的根． 17. 列方程或方程組解應(yīng)用題： 2009年北京生產(chǎn)運(yùn)營用水和居民家庭用水的總和為5.8億立方米，其中居民家庭用水比生產(chǎn)運(yùn)營用水的3倍還多0.6億立方米，問生產(chǎn)運(yùn)營用水和居民家庭用水各多少億立方米． 18. 如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)． （1）求兩點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）過點(diǎn)作直線與軸交于點(diǎn)，且使， 求的面積． 四、解答題（本題共20分，每小題5分） 19. 已知：如圖，在梯形中，，，．求的度數(shù)及的長． 20. 已知：如圖，在中，是邊上一點(diǎn)，過三點(diǎn)，． （1）求證：直線是的切線； （2）如果，的半徑為2，求的長． 21. 根據(jù)北京市統(tǒng)計(jì)局公布的2006-2009年空氣質(zhì)量的相關(guān)數(shù)據(jù)，回執(zhí)統(tǒng)計(jì)圖如下： （1）有統(tǒng)計(jì)圖中的信息可知，北京全年市區(qū)空氣質(zhì)量達(dá)到二級(jí)和好于二級(jí)的天數(shù)與上一年相比，增加最多的是_________年，增加了_______天； （2）表1是根據(jù)《中國環(huán)境發(fā)展報(bào)告（2010）》公布的數(shù)據(jù)繪制的2009年十個(gè)城市空氣質(zhì)量達(dá)到二級(jí)和好于二級(jí)的天數(shù)占全年天數(shù)百分比的統(tǒng)計(jì)表，請(qǐng)將表1中的空缺部分補(bǔ)充完整（精確到1%）； 表1 2009年十個(gè)城市空氣質(zhì)量達(dá)到二級(jí)和好于二級(jí)的天數(shù)占全年天數(shù)百分比統(tǒng)計(jì)表 城市 北京 上海 天津 昆明 杭州 廣州 南京 成都 沈陽 西寧 百分比 91% 84% 100% 89% 95% 86% 86% 90% 77% （3）根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)將十個(gè)城市劃分為三組，百分比不低于95%的為A組，不低于85%且低于95%的為B組，低于85%的為C組．按此標(biāo)準(zhǔn)，C組城市數(shù)量在這十個(gè)城市中所占的百分比為_____%；請(qǐng)你補(bǔ)全右邊的扇形統(tǒng)計(jì)圖． 22. 閱讀下列材料： 小貝遇到一個(gè)有趣的問題：在矩形中，，．現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)按下列方式在矩形內(nèi)運(yùn)動(dòng)：它從點(diǎn)出發(fā)，沿著與邊夾角為的方向作直線運(yùn)動(dòng)，每次碰到矩形的一邊，就會(huì)改變運(yùn)動(dòng)方向，沿著與這條邊夾角為的方向作直線運(yùn)動(dòng)，并且它一直按照這種方式不停地運(yùn)動(dòng)，即當(dāng)點(diǎn)碰到邊，沿著與邊夾角為的方向作直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)碰到邊，再沿著與邊夾角為的方向作直線運(yùn)動(dòng)，…，如圖1所示．問點(diǎn)第一次與點(diǎn)重合前與邊相碰幾次，點(diǎn)第一次與點(diǎn)重合時(shí)所經(jīng)過的路徑的總長是多少． 小貝的思考是這樣開始的：如圖2，將矩形沿直線折疊，得到矩形．由軸對(duì)稱的知識(shí)，發(fā)現(xiàn)，． 請(qǐng)你參考小貝的思路解決下列問題： （1）點(diǎn)第一次與點(diǎn)重合前與邊相碰______次；點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)到第一次與點(diǎn) 重合時(shí)所經(jīng)過的路徑地總長是_______________cm； （2）進(jìn)一步探究：改變矩形中的長，且滿足．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，按照閱讀材料中動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方式，并滿足前后連續(xù)兩次與邊相碰的位置在矩形相鄰的兩邊上．若點(diǎn)第一次與點(diǎn)重合前與邊相碰7次，則的值為_________． 五、解答題（本題共22分，第23題7分，第24題8分，第25題7分） 23. 已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)． （1）試確定此反比例函數(shù)的解析式； （2）點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，判斷點(diǎn)是否在此反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由； （3）已知點(diǎn)也在此反比例函數(shù)的圖象上（其中），過點(diǎn)作軸的垂線，交軸于點(diǎn)．若線段上存在一點(diǎn)，使得的面積是，設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求的值． 24. 在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的交點(diǎn)分別為原點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)在這條拋物線上． （1）求點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）點(diǎn)在線段上，從點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作軸的垂線，與直線交于點(diǎn)，延長到點(diǎn)，使得，以為斜邊，在右側(cè)作等腰直角三角形（當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)、點(diǎn)也隨之運(yùn)動(dòng)）． ① 當(dāng)?shù)妊苯侨切蔚捻旤c(diǎn)落在此拋物線上時(shí)，求的長； ② 若點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，同時(shí)線段上另一個(gè)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位（當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)）．過點(diǎn)作軸的垂線，與直線交于點(diǎn)，延長到點(diǎn)，使得，以為斜邊，在的左側(cè)作等腰直角三角形（當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)、點(diǎn)也隨之運(yùn)動(dòng)）．若點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到秒時(shí)，兩個(gè)等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同一條直線上，求此刻的值． 25. 問題：已知中，，點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，且，．探究與度數(shù)的比值． 請(qǐng)你完成下列探究過程： 先將圖形特殊化，得出猜想，再對(duì)一般情況進(jìn)行分析并加以證明． （1）當(dāng)時(shí)，依問題中的條件補(bǔ)全右圖． 觀察圖形，與得數(shù)量關(guān)系為________； 當(dāng)退出時(shí)，可進(jìn)一步推出的度數(shù)為_______； 可得到與度數(shù)的比值為_________． （2）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)你畫出圖形，研究與度數(shù)的比值是否與（1）中的結(jié)論相同，寫出你的猜想并加以證明． 內(nèi)部使用 用畢收回 2010年北京市高級(jí)中等學(xué)校招生考試 數(shù)學(xué)試卷答案及評(píng)分參考 閱卷須知： 1．為便于閱卷，本試卷答案中有關(guān)解答題的推導(dǎo)步驟寫得較為詳細(xì)，閱卷時(shí)，只要考生將主要過程正確寫出即可． 2．若考生的解法與給出的解法不同，正確者可參照評(píng)分參考相應(yīng)給分． 3．評(píng)分參考中所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到此步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)． 一、選擇題（本題共32分，每小題4分） 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D A B D B B 二、填空題（本題共16分，每小題4分） 題號(hào) 9 10 11 12 答案 2 B 603 三、解答題（本題共30分，每小題5分） 13．（本小題滿分5分） 解： …………………………………………………………4分 ．……………………………………………………………… 5分 14．（本小題滿分5分） 解：去分母，得．…………………………………………… 2分 整理，得． 解得．…………………………………………………………… 4分 經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解． 所以原方程的解是．………………………………………………5分 15．（本小題滿分5分） 證明：∵， ∴．…………………………………………………………1分 ∵，， ∴．…………………………2分 在與中， ∴．………………………4分 ∴．……………………… 5分 16．（本小題滿分5分） 解：由題意可知． 即． 解得．………………………………………………………………………3分 當(dāng)時(shí)，原方程化為． 解得． 所以原方程的根為．…………………………………………………5分 17．（本小題滿分5分） 解法一：設(shè)生產(chǎn)運(yùn)營用水億立方米，則居民家庭用水億立方米．… 1分 依題意，得．………………………………………………2分 解得．…………………………………………………………………3分 ．…………………………………………………… 4分 答：生產(chǎn)運(yùn)營用水1.3億立方米，居民家庭用水4.5億立方米．…………………5分 解法二：設(shè)生產(chǎn)運(yùn)營用水億立方米，居民家庭用水億立方米．………………1分 依題意，得……………………………………………………2分 解這個(gè)方程組，得………………………………………………4分 答：生產(chǎn)運(yùn)營用水1.3億立方米，居民家庭用水4.5億立方米．…………………5分 18．（本小題滿分5分） 解：（1）令，得． ∴點(diǎn)坐標(biāo)為．…………………………………………………1分 令，得． ∴點(diǎn)坐標(biāo)為．……………………………………………………2分 （2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為． 依題意，得． ∴點(diǎn)坐標(biāo)分別為或．……………………………3分 ∴； ． ∴的面積為或．…………………5分 四、解答題（本題共20分，每小題5分） 19．（本小題滿分5分） 解法一：分別作，，、是垂足．…………………1分 ∴． ∵， ∴四邊形是矩形． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，， ∴． 在中， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， 由勾股定理，得． ∴，．………………………5分 解法二：過點(diǎn)作交于點(diǎn)．………………1分 ∵， ∴四邊形是平行四邊形． ∴，． ∵，， ∴． 可證是直角三角形，是等邊三角形． ∴，． 在中，． ∴，．………………………………………5分 20．（本小題滿分5分） （1）證明：∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵點(diǎn)在上， ∴直線是的切線．………………2分 （2）解：∵，， 可求． ∵，， ∴． 作于點(diǎn)． ∴． ∴． ∵， ∴．………………………………………………………5分 21．（本小題滿分5分） 解：（1）2008；28；…………………………………………………………2分 （2）78%；………………………………………………………………3分 （3）30；…………………………………………………………………4分 ……………………………………5分 22．（本小題滿分5分） 解：（1）5，；…………………………………………………………3分 （2）．………………………………………………………………5分 解題思路示意圖： 五、解答題（本題共22分，第23題7分，第24題8分，第25題7分） 23．（本小題滿分7分） 解：（1）由題意得． 解得． ∴反比例函數(shù)的解析式為．………………1分 （2）過點(diǎn)作軸的垂線交軸于點(diǎn)． 在中，，． 可得， ．…………………2分 由題意，，， ∴． 過點(diǎn)作軸的垂線交軸于點(diǎn)． 在中，可得，． ∴點(diǎn)坐標(biāo)為．……………………………………………3分 將代入中，得． ∴點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上．………………4分 （3）由得 ∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，其中， ∴．……………………………………………5分 ∴． ∵軸， ∴點(diǎn)的坐標(biāo)為． ∵的面積是， ∴． ∵， ∴．………………………………………………………6分 ∴． ∴． ∴．……………………………………………7分 24．（本小題滿分8分） 解：（1）∵拋物線經(jīng)過原點(diǎn)， ∴． 解得，． 由題意知， ∴． ∴拋物線的解析式為． ∵點(diǎn)在拋物線上， ∴． ∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．……………………………………………2分 （2）①設(shè)直線的解析式為． 求得直線的解析式為． ∵點(diǎn)是拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)， 可求得點(diǎn)的坐標(biāo)為． 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為． 根據(jù)題意作等腰直角三角形，如圖1． 可求得點(diǎn)的坐標(biāo)為． 由點(diǎn)在拋物線上， 得． 即．解得，（舍去）． ∴．………………………………………………………………4分 ② 依題意作等腰直角三角形． 設(shè)直線的解析式為． 由點(diǎn)，點(diǎn)，求得直線的解析式為． 當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到秒時(shí)，兩個(gè)等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同一條直線上， 有以下三種情況： 第一種情況：與在同一條直線上，如圖2所示． 可證為等腰直角三角形． 此時(shí)、、的長可依次表示為、、個(gè)單位． ∴． ∴． ∴． 第二種情況：與在同一條直線上，如圖3所示． 可證為等腰直角三角形． 此時(shí)、的長可依次表示為、個(gè)單位． ∴． ∵點(diǎn)在直線上， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 第三種情況：點(diǎn)、重合時(shí)，、在同一條直線上，如圖4所示． 此時(shí)、的長可依次表示為、個(gè)單位． ∴． ∴． 綜上，符合題意的值分別為，2，． …………………………8分 25．（本小題滿分7分） 解：（1）相等；…………………………………1分 ；………………………………………2分 ．………………………………………3分 （2）猜想：與度數(shù)的比值與（1）中結(jié)論相同． 證明：如圖2，作， 過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連結(jié)． ∵， ∴四邊形是等腰梯形． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴，． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴與度數(shù)的比值為．……………………………………7分