susu整理版人教版初中數(shù)學(xué)常用概念、公式和定理.doc
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初中數(shù)學(xué) 常用的概念、公式和定理 1.整數(shù)(包括:正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù))和分?jǐn)?shù)(包括:有限小數(shù)和無限環(huán)循小數(shù))都是有理數(shù). 如:－3, ,0.231,0.737373…, , . 無限不環(huán)循小數(shù)叫做 .. 如:π,－, 0.1010010001…(兩個(gè)1之間依次多1個(gè)0).有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為. 2.絕對(duì)值:a≥0 丨a丨= a≤0 丨a丨= 如:丨－ 丨= ; 丨3.14－π丨= 3.一個(gè)近似數(shù),從左邊笫一個(gè)不是0的數(shù)字起,到最末一個(gè)數(shù)字止,所有的數(shù)字,都叫做這個(gè) 近似數(shù)的有效數(shù)字.如:0.05972精確到0.001得0.060,結(jié)果有兩個(gè)有效數(shù)字6,0. 4.把一個(gè)數(shù)寫成a10n 的形式(其中1≤a<10,n是整數(shù)),這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法. 如:－40700= ,0.000043= 5.被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每移動(dòng)2位,算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就向相同方向移動(dòng)1位;被開方數(shù)的 小數(shù)點(diǎn)每移動(dòng)3位,立方根的小數(shù)點(diǎn)就向相同方向移動(dòng)1位. 如:已知 =0.4858, 則 = 已知 =1.558,則 = 6.整式的乘除法:①幾個(gè)單項(xiàng)式相乘除,系數(shù)與系數(shù)相乘除,同底數(shù)的冪結(jié)合起來相乘除. ②單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式,用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的每一個(gè)項(xiàng).③多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式,用一個(gè)多 項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng).④多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式,將多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以這個(gè)單項(xiàng)式. 7.冪的運(yùn)算性質(zhì): ① aman= ②aman= . ③(am)n= . ④(ab)n= . ⑤( )n= ⑥a－n= ,特別:( )－n= . ⑦ a0= 如:a3a2= , a6a2= (a3)2= , (3a3 )3= , (－3)－1= 5－2= = , (－3.14)0= ( － )0= 8.乘法公式(反過來就是因式分解的公式): ①(a+b)(a－b)= 擴(kuò)展： ②(ab)2= 擴(kuò)展： 同理：或 ③ (a+b)(a2－ab+b2)= ④(a－b)(a2+ab+b2)= ; a2+b2= , (a－b)2= 公式拓展：⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 9.選擇因式分解方法的原則是:先看能否提公因式.在沒有公因式的情況下:二項(xiàng)式用平方 差公式或立方和差公式,三項(xiàng)式用十字相乘法(特殊的用完全平方公式),三項(xiàng)以上用分 組分解法.注意:因式分解要進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止. 10.分式的運(yùn)算:乘除法要先把分子、分母都分解因式,并顛倒除式,約分后相乘;加減法應(yīng) 先把分母分解因式,再通分(不能去分母).注意:結(jié)果要化為最簡分式. 11.二次根式:① ( )2= ,② = ,③ = ,④ = 如:① (3 )2= .② = .③a<0時(shí), = .④ 的平方根=4的平方根. 注：①如果一個(gè)數(shù)的平方是a，那么，這個(gè)數(shù)就在于叫a的平方根（或叫二次方根）。a叫被開方數(shù)。開平方中被開方數(shù)a必須大于等于零。 ②正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們的絕對(duì)值相等，符號(hào)相反（它們是互為相反的數(shù)）。這兩個(gè)根中的正數(shù)根，叫做算術(shù)平方根。零的算術(shù)平方根是零。負(fù)數(shù)沒有平方根。 ③如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)就叫a的立方根。3開立方的根指數(shù)。正數(shù)、負(fù)數(shù)和零都能開立方，正數(shù)的立方根是正數(shù)；負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)；零的立方根是零。 12.一元二次方程:對(duì)于方程:ax2+bx+c=0 ①求根公式是x= ,其中 叫做根 的判別式. 當(dāng)Δ>0時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)Δ=0時(shí),方程有個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng) Δ<0時(shí),方程沒有實(shí)數(shù)根.注意:當(dāng)Δ≥0時(shí),方程有實(shí)數(shù)根. ②若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1和x2,則x1+x2=－ , x1x2= ,并且二次三項(xiàng)式ax2+bx+c可分解為 ③以a和b為根的一元二次方程是 13.解分式方程(去分母或換元)和無理方程(兩邊平方或換元)必須檢驗(yàn).形如: 的方程組,用代入法解;形如: 的方程組,先把一個(gè)方程分解為兩個(gè)一次方程, 再把這兩個(gè)方程分別與另一個(gè)方程組合成兩個(gè)方程組,再用代入法分別解這兩個(gè)方程組. 14.不等式兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)要改變方向. 15.平面直角坐標(biāo)系:①各限象內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)如圖所示. ②橫軸(x軸)上的點(diǎn),縱坐標(biāo)是0;縱軸(y軸)上的點(diǎn),橫坐標(biāo)是0. ③對(duì)稱性： 若直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)P（a，b），則P關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為P1 P關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)為P2（－a，b），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為P3 ④坐標(biāo)平移：若直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)P（a，b）向左平移h個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)镻 向右平移h個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)镻 向上平移h個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)镻 向下平移h個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)镻 .如：點(diǎn)A（2，－1）向上平移2個(gè)單位，再向右平移5個(gè)單位，則坐標(biāo)變?yōu)锳. 16.一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象是一條直線(b是直線與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)).當(dāng)k>0時(shí),y 隨x的增大而增大(直線從左向右上升);當(dāng)k<0時(shí),y隨x的增大而減小(直線從左向右下降).特別:當(dāng)b=0時(shí),y=kx 又叫做正比例函數(shù)(y與x成正比例),圖象必過原點(diǎn). 補(bǔ)充：斜率： b為直線在y軸上的截距 ①直線的斜截式方程，簡稱斜截式: y＝ ②由直線上兩點(diǎn)確定的直線的兩點(diǎn)式方程，簡稱兩點(diǎn)式: ③由直線在軸和軸上的截距確定的直線的截距式方程，簡稱截距式： ④設(shè)兩條直線分別為，： ： 若，則有 。 若 ⑤點(diǎn)P（x0，y0）到直線y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距離: 17.反比例函數(shù)y= (k≠0)的圖象叫做雙曲線.當(dāng)k>0時(shí),雙曲線在一、三象限(從左向右降);當(dāng)k<0時(shí),雙曲線在二、四象限(從左向右上升).因此,它的增減性與一次函數(shù)相反. 18.直線與拋物線的交點(diǎn) （1）軸與拋物線得交點(diǎn)為 （2）拋物線與軸的交點(diǎn) 二次函數(shù)的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、，是對(duì)應(yīng)一元二次方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定： ①有兩個(gè)交點(diǎn)()拋物線與軸相交； ②有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在軸上）()拋物線與軸相切； ③沒有交點(diǎn)()拋物線與軸相離. （3）平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn) 同（2）一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為，則橫坐標(biāo)是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根. （4）一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點(diǎn)，由方程組 的解的數(shù)目來確定：①方程組有兩組不同的解時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn); ②方 程組只有一組解時(shí)與只有一個(gè)交點(diǎn)；③方程組無解時(shí)與沒有交點(diǎn). （5）拋物線與軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線與軸兩交點(diǎn)為，則 19.二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)： (1)定義：一般地，如果是常數(shù)，，那么叫做的二次函數(shù). (2)拋物線的三要素：開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn). ①的符號(hào)決定拋物線的開口方向：當(dāng)時(shí)，開口向上；當(dāng)時(shí)，開口向下； 相等，拋物線的開口大小、形狀相同. ②平行于軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線. 幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下： 函數(shù)解析式 開口方向 對(duì)稱軸 頂點(diǎn)坐標(biāo) ) (3)求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法 ①公式法：， ∴頂點(diǎn)是，對(duì)稱軸是直線. ②配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點(diǎn)為(,)，對(duì)稱軸是直線 ③運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn)。 若已知拋物線上兩點(diǎn)（及y值相同），則對(duì)稱軸方程可以表示為： (4)拋物線中，的作用 ①?zèng)Q定 ，這與 中的完全一樣. ②和共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置.由于拋物線的對(duì)稱軸是直線 ，故：①時(shí)，對(duì)稱軸為 軸；②（即、同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在 軸 側(cè)； ③（即、異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在 軸 側(cè). ④的大小決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置. 當(dāng)時(shí)， ，∴拋物線與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（ ）： ①，拋物線經(jīng)過 ; ②,與軸交于 ；③,與軸交于 . 以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對(duì)稱軸在軸右側(cè)，則 . ⑤.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 （1）一般式：.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)、的值，通常選擇一般式. （2）頂點(diǎn)式：.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式. （3）交點(diǎn)式：已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式：. 20.統(tǒng)計(jì)初步: (1)概念:①所要考察的對(duì)象的全體叫做總體,其中每一個(gè)考察對(duì)象叫做個(gè)體.從總體中抽取的一部份個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本,樣本中個(gè)體的數(shù)目叫做樣本容量.②在一組數(shù)據(jù)中,出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)(有時(shí)不止一個(gè)),叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).③將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列,把處在最中間的一個(gè)數(shù)(或兩個(gè)數(shù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù). (2)公式:設(shè)有n個(gè)數(shù) x1,x2,…,xn ,那么: 平均數(shù) = .②方差S2= .( 是整數(shù)時(shí)用) ③S2= . 注:各數(shù)據(jù)的數(shù)位較少或平均數(shù)是分?jǐn)?shù)時(shí),用此公式. ④若將n個(gè)數(shù)x1,x2,…,xn各減去一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)a,得到一組新數(shù) x1,,x2,,…,xn,,那么原來那組數(shù) 的方差S2=這組新數(shù)的方差,平均數(shù) =a+ , .方差越大,這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)就越大.通常用樣 本方差去估計(jì)總體方差,用樣本平均數(shù)去估計(jì)總體平均數(shù).方差的算術(shù)平方根叫做標(biāo)準(zhǔn)差 ⑤極差：用一組數(shù)據(jù)的最大值減去最小值所得的差來反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍，用這種方法得到的差稱為極差，即：極差=最大值-最小值； (3)頻率:①把一組數(shù)分成若干個(gè)小組,組距= (求組數(shù)時(shí),用收尾法取整數(shù)), 這時(shí),落在某小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)叫做這組的 ,每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總個(gè)數(shù)的比值叫做這一小組的 .因此, .在頻率分布直方圖中,各小長方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率.各小長方形的面積 . （4）概率①如果用P表示一個(gè)事件A發(fā)生的概率，則0≤P（A）≤1； P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0； ②在具體情境中了解概率的意義，運(yùn)用列舉法（包括列表、畫樹狀圖）計(jì)算簡單事件發(fā)生的概率。 ③大量的重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)頻率可視為事件發(fā)生概率的估計(jì)值； 21.銳角三角函數(shù):①設(shè)∠A是RtΔ的任一銳角,則∠A的正弦: sinA= ∠A的余弦:cosA= , ∠A的正切:tanA= ∠A的余切:cotA= 并且sinA= tgA= , tgActgA= , sin2A+cos2A= 0下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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