2019年河南省中考數學試卷

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2019年河南省中考數學試卷 一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個答案，其中只有一個是正確的。 1．（3分）﹣的絕對值是（　?。? A．﹣ B． C．2 D．﹣2 2．（3分）成人每天維生素D的攝入量約為0.0000046克．數據“0.0000046”用科學記數法表示為（　?。? A．4610﹣7 B．4.610﹣7 C．4.610﹣6 D．0.4610﹣5 3．（3分）如圖，AB∥CD，∠B＝75，∠E＝27，則∠D的度數為（　?。? A．45 B．48 C．50 D．58 4．（3分）下列計算正確的是（　?。? A．2a+3a＝6a B．（﹣3a）2＝6a2 C．（x﹣y）2＝x2﹣y2 D．3﹣＝2 5．（3分）如圖①是由大小相同的小正方體搭成的幾何體，將上層的小正方體平移后得到圖②．關于平移前后幾何體的三視圖，下列說法正確的是（　?。? A．主視圖相同 B．左視圖相同 C．俯視圖相同 D．三種視圖都不相同 6．（3分）一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情況是（　?。? A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根 C．只有一個實數根 D．沒有實數根 7．（3分）某超市銷售A，B，C，D四種礦泉水，它們的單價依次是5元、3元、2元、1元．某天的銷售情況如圖所示，則這天銷售的礦泉水的平均單價是（　?。? A．1.95元 B．2.15元 C．2.25元 D．2.75元 8．（3分）已知拋物線y＝﹣x2+bx+4經過（﹣2，n）和（4，n）兩點，則n的值為（　?。? A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4 9．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90，AD＝4，BC＝3．分別以點A，C為圓心，大于AC長為半徑作弧，兩弧交于點E，作射線BE交AD于點F，交AC于點O．若點O是AC的中點，則CD的長為（　?。? A．2 B．4 C．3 D． 10．（3分）如圖，在△OAB中，頂點O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），將△OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點O順時針旋轉，每次旋轉90，則第70次旋轉結束時，點D的坐標為（　　） A．（10，3） B．（﹣3，10） C．（10，﹣3） D．（3，﹣10） 二、填空題（每小題3分，共15分。） 11．（3分）計算：﹣2﹣1＝　 　． 12．（3分）不等式組的解集是　 ?。? 13．（3分）現(xiàn)有兩個不透明的袋子，一個裝有2個紅球、1個白球，另一個裝有1個黃球、2個紅球，這些球除顏色外完全相同．從兩個袋子中各隨機摸出1個球，摸出的兩個球顏色相同的概率是　 ?。? 14．（3分）如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝120，半徑OC交弦AB于點D，且OC⊥OA．若OA＝2，則陰影部分的面積為　 ?。? 15．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，點E在邊BC上，且BE＝a．連接AE，將△ABE沿AE折疊，若點B的對應點B′落在矩形ABCD的邊上，則a的值為　 ?。? 三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分） 16．（8分）先化簡，再求值：（﹣1），其中x＝． 17．（9分）如圖，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90，以AB為直徑的半圓O交AC于點D，點E是上不與點B，D重合的任意一點，連接AE交BD于點F，連接BE并延長交AC于點G． （1）求證：△ADF≌△BDG； （2）填空： ①若AB＝4，且點E是的中點，則DF的長為　 ??； ②取的中點H，當∠EAB的度數為　 　時，四邊形OBEH為菱形． 18．（9分）某校為了解七、八年級學生對“防溺水”安全知識的掌握情況，從七、八年級各隨機抽取50名學生進行測試，并對成績（百分制）進行整理、描述和分析．部分信息如下： a．七年級成績頻數分布直方圖： b．七年級成績在70≤x＜80這一組的是： 70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79 c．七、八年級成績的平均數、中位數如下： 年級 平均數 中位數 七 76.9 m 八 79.2 79.5 根據以上信息，回答下列問題： （1）在這次測試中，七年級在80分以上（含80分）的有　 　人； （2）表中m的值為　 ?。? （3）在這次測試中，七年級學生甲與八年級學生乙的成績都是78分，請判斷兩位學生在各自年級的排名誰更靠前，并說明理由； （4）該校七年級學生有400人，假設全部參加此次測試，請估計七年級成績超過平均數76.9分的人數． 19．（9分）數學興趣小組到黃河風景名勝區(qū)測量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如圖所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A處測得塑像底部E的仰角為34，再沿AC方向前進21m到達B處，測得塑像頂部D的仰角為60，求炎帝塑像DE的高度． （精確到1m．參考數據：sin34≈0.56，cos34＝0.83，tan34≈0.67，≈1.73） 20．（9分）學校計劃為“我和我的祖國”演講比賽購買獎品．已知購買3個A獎品和2個B獎品共需120元；購買5個A獎品和4個B獎品共需210元． （1）求A，B兩種獎品的單價； （2）學校準備購買A，B兩種獎品共30個，且A獎品的數量不少于B獎品數量的．請設計出最省錢的購買方案，并說明理由． 21．（10分）模具廠計劃生產面積為4，周長為m的矩形模具．對于m的取值范圍，小亮已經能用“代數”的方法解決，現(xiàn)在他又嘗試從“圖形”的角度進行探究，過程如下： （1）建立函數模型 設矩形相鄰兩邊的長分別為x，y，由矩形的面積為4，得xy＝4，即y＝；由周長為m，得2（x+y）＝m，即y＝﹣x+．滿足要求的（x，y）應是兩個函數圖象在第　 　象限內交點的坐標． （2）畫出函數圖象 函數y＝（x＞0）的圖象如圖所示，而函數y＝﹣x+的圖象可由直線y＝﹣x平移得到．請在同一直角坐標系中直接畫出直線y＝﹣x． （3）平移直線y＝﹣x，觀察函數圖象 ①當直線平移到與函數y＝（x＞0）的圖象有唯一交點（2，2）時，周長m的值為　 　； ②在直線平移過程中，交點個數還有哪些情況？請寫出交點個數及對應的周長m的取值范圍． （4）得出結論 若能生產出面積為4的矩形模具，則周長m的取值范圍為　 　． 22．（10分）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．點P是平面內不與點A，C重合的任意一點．連接AP，將線段AP繞點P逆時針旋轉α得到線段DP，連接AD，BD，CP． （1）觀察猜想 如圖1，當α＝60時，的值是　 　，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數是　 　． （2）類比探究 如圖2，當α＝90時，請寫出的值及直線BD與直線CP相交所成的小角的度數，并就圖2的情形說明理由． （3）解決問題 當α＝90時，若點E，F(xiàn)分別是CA，CB的中點，點P在直線EF上，請直接寫出點C，P，D在同一直線上時的值． 23．（11分）如圖，拋物線y＝ax2+x+c交x軸于A，B兩點，交y軸于點C．直線y＝﹣x﹣2經過點A，C． （1）求拋物線的解析式； （2）點P是拋物線上一動點，過點P作x軸的垂線，交直線AC于點M，設點P的橫坐標為m． ①當△PCM是直角三角形時，求點P的坐標； ②作點B關于點C的對稱點B，則平面內存在直線l，使點M，B，B′到該直線的距離都相等．當點P在y軸右側的拋物線上，且與點B不重合時，請直接寫出直線l：y＝kx+b的解析式．（k，b可用含m的式子表示）  2019年河南省中考數學試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個答案，其中只有一個是正確的。 1．（3分）﹣的絕對值是（　?。? A．﹣ B． C．2 D．﹣2 【考點】15：絕對值．菁優(yōu)網版權所有 【分析】根據一個負數的絕對值是它的相反數進行解答即可． 【解答】解：|﹣|＝， 故選：B． 【點評】本題考查的是絕對值的性質，掌握一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0是解題的關鍵． 2．（3分）成人每天維生素D的攝入量約為0.0000046克．數據“0.0000046”用科學記數法表示為（　?。? A．4610﹣7 B．4.610﹣7 C．4.610﹣6 D．0.4610﹣5 【考點】1J：科學記數法—表示較小的數．菁優(yōu)網版權所有 【分析】本題用科學記數法的知識即可解答． 【解答】解：0.0000046＝4.610﹣6． 故選：C． 【點評】本題用科學記數法的知識點，關鍵是很小的數用科學記數法表示時負指數與0的個數的關系要掌握好． 3．（3分）如圖，AB∥CD，∠B＝75，∠E＝27，則∠D的度數為（　　） A．45 B．48 C．50 D．58 【考點】JA：平行線的性質．菁優(yōu)網版權所有 【分析】根據平行線的性質解答即可． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠B＝∠1， ∵∠1＝∠D+∠E， ∴∠D＝∠B﹣∠E＝75﹣27＝48， 故選：B． 【點評】此題考查平行線的性質，關鍵是根據平行線的性質解答． 4．（3分）下列計算正確的是（　?。? A．2a+3a＝6a B．（﹣3a）2＝6a2 C．（x﹣y）2＝x2﹣y2 D．3﹣＝2 【考點】35：合并同類項；47：冪的乘方與積的乘方；4C：完全平方公式；78：二次根式的加減法．菁優(yōu)網版權所有 【分析】根據合并同類項法則，完全平方公式，冪的乘方與積的乘方的運算法則進行運算即可； 【解答】解：2a+3a＝5a，A錯誤； （﹣3a）2＝9a2，B錯誤； （x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，C錯誤； ＝2，D正確； 故選：D． 【點評】本題考查整式的運算；熟練掌握合并同類項法則，完全平方公式，冪的乘方與積的乘方的運算法則是解題的關鍵． 5．（3分）如圖①是由大小相同的小正方體搭成的幾何體，將上層的小正方體平移后得到圖②．關于平移前后幾何體的三視圖，下列說法正確的是（　?。? A．主視圖相同 B．左視圖相同 C．俯視圖相同 D．三種視圖都不相同 【考點】Q2：平移的性質；U2：簡單組合體的三視圖．菁優(yōu)網版權所有 【分析】根據三視圖解答即可． 【解答】解：圖①的三視圖為： 圖②的三視圖為： 故選：C． 【點評】本題考查了由三視圖判斷幾何體，解題的關鍵是學生的觀察能力和對幾何體三種視圖的空間想象能力． 6．（3分）一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情況是（　?。? A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根 C．只有一個實數根 D．沒有實數根 【考點】AA：根的判別式．菁優(yōu)網版權所有 【分析】先化成一般式后，在求根的判別式． 【解答】解：原方程可化為：x2﹣2x﹣4＝0， ∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4， ∴△＝（﹣2）2﹣41（﹣4）＝20＞0， ∴方程由兩個不相等的實數根． 故選：A． 【點評】本題運用了根的判別式的知識點，把方程轉化為一般式是解決問題的關鍵． 7．（3分）某超市銷售A，B，C，D四種礦泉水，它們的單價依次是5元、3元、2元、1元．某天的銷售情況如圖所示，則這天銷售的礦泉水的平均單價是（　?。? A．1.95元 B．2.15元 C．2.25元 D．2.75元 【考點】VB：扇形統(tǒng)計圖；W2：加權平均數．菁優(yōu)網版權所有 【分析】根據加權平均數的定義列式計算可得． 【解答】解：這天銷售的礦泉水的平均單價是510%+315%+255%+120%＝2.25（元）， 故選：C． 【點評】本題主要考查加權平均數，解題的關鍵是掌握加權平均數的定義． 8．（3分）已知拋物線y＝﹣x2+bx+4經過（﹣2，n）和（4，n）兩點，則n的值為（　?。? A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4 【考點】H5：二次函數圖象上點的坐標特征．菁優(yōu)網版權所有 【分析】根據（﹣2，n）和（4，n）可以確定函數的對稱軸x＝1，再由對稱軸的x＝即可求解； 【解答】解：拋物線y＝﹣x2+bx+4經過（﹣2，n）和（4，n）兩點， 可知函數的對稱軸x＝1， ∴＝1， ∴b＝2； ∴y＝﹣x2+2x+4， 將點（﹣2，n）代入函數解析式，可得n＝﹣4； 故選：B． 【點評】本題考查二次函數圖象上點的坐標；熟練掌握二次函數圖象上點的對稱性是解題的關鍵． 9．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90，AD＝4，BC＝3．分別以點A，C為圓心，大于AC長為半徑作弧，兩弧交于點E，作射線BE交AD于點F，交AC于點O．若點O是AC的中點，則CD的長為（　　） A．2 B．4 C．3 D． 【考點】KJ：等腰三角形的判定與性質；KQ：勾股定理；N2：作圖—基本作圖．菁優(yōu)網版權所有 【分析】連接FC，根據基本作圖，可得OE垂直平分AC，由垂直平分線的性質得出AF＝FC．再根據ASA證明△FOA≌△BOC，那么AF＝BC＝3，等量代換得到FC＝AF＝3，利用線段的和差關系求出FD＝AD﹣AF＝1．然后在直角△FDC中利用勾股定理求出CD的長． 【解答】解：如圖，連接FC，則AF＝FC． ∵AD∥BC， ∴∠FAO＝∠BCO． 在△FOA與△BOC中， ， ∴△FOA≌△BOC（ASA）， ∴AF＝BC＝3， ∴FC＝AF＝3，F(xiàn)D＝AD﹣AF＝4﹣3＝1． 在△FDC中，∵∠D＝90， ∴CD2+DF2＝FC2， ∴CD2+12＝32， ∴CD＝2． 故選：A． 【點評】本題考查了作圖﹣基本作圖，勾股定理，線段垂直平分線的判定與性質，全等三角形的判定與性質，難度適中．求出CF與DF是解題的關鍵． 10．（3分）如圖，在△OAB中，頂點O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），將△OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點O順時針旋轉，每次旋轉90，則第70次旋轉結束時，點D的坐標為（　?。? A．（10，3） B．（﹣3，10） C．（10，﹣3） D．（3，﹣10） 【考點】D2：規(guī)律型：點的坐標；R7：坐標與圖形變化﹣旋轉．菁優(yōu)網版權所有 【分析】先求出AB＝6，再利用正方形的性質確定D（﹣3，10），由于70＝417+2，所以第70次旋轉結束時，相當于△OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點O順時針旋轉2次，每次旋轉90，此時旋轉前后的點D關于原點對稱，于是利用關于原點對稱的點的坐標特征可出旋轉后的點D的坐標． 【解答】解：∵A（﹣3，4），B（3，4）， ∴AB＝3+3＝6， ∵四邊形ABCD為正方形， ∴AD＝AB＝6， ∴D（﹣3，10）， ∵70＝417+2， ∴每4次一個循環(huán)，第70次旋轉結束時，相當于△OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點O順時針旋轉2次，每次旋轉90， ∴點D的坐標為（3，﹣10）． 故選：D． 【點評】本題考查了坐標與圖形變化﹣旋轉：圖形或點旋轉之后要結合旋轉的角度和圖形的特殊性質來求出旋轉后的點的坐標．常見的是旋轉特殊角度如：30，45，60，90，180． 二、填空題（每小題3分，共15分。） 11．（3分）計算：﹣2﹣1＝　1?。? 【考點】2C：實數的運算；6F：負整數指數冪．菁優(yōu)網版權所有 【分析】本題涉及二次根式化簡、負整數指數冪兩個考點．針對每個考點分別進行計算，然后根據實數的運算法則求得計算結果． 【解答】解：﹣2﹣1 ＝2﹣ ＝1． 故答案為：1． 【點評】本題考查實數的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型．解決此類題目的關鍵是熟練掌握負整數指數冪、二次根式等考點的運算． 12．（3分）不等式組的解集是　x≤﹣2?。? 【考點】CB：解一元一次不等式組．菁優(yōu)網版權所有 【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集． 【解答】解：解不等式≤﹣1，得：x≤﹣2， 解不等式﹣x+7＞4，得：x＜3， 則不等式組的解集為x≤﹣2， 故答案為：x≤﹣2． 【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵． 13．（3分）現(xiàn)有兩個不透明的袋子，一個裝有2個紅球、1個白球，另一個裝有1個黃球、2個紅球，這些球除顏色外完全相同．從兩個袋子中各隨機摸出1個球，摸出的兩個球顏色相同的概率是　?。? 【考點】X6：列表法與樹狀圖法．菁優(yōu)網版權所有 【分析】列表得出所有等可能結果，從中找到兩個球顏色相同的結果數，利用概率公式計算可得． 【解答】解：列表如下： 黃 紅 紅 紅 （黃，紅） （紅，紅） （紅，紅） 紅 （黃，紅） （紅，紅） （紅，紅） 白 （黃，白） （紅，白） （紅，白） 由表知，共有9種等可能結果，其中摸出的兩個球顏色相同的有4種結果， 所以摸出的兩個球顏色相同的概率為， 故答案為：． 【點評】本題考查了列表法與樹狀圖的知識，解題的關鍵是能夠用列表或列樹狀圖將所有等可能的結果列舉出來，難度不大． 14．（3分）如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝120，半徑OC交弦AB于點D，且OC⊥OA．若OA＝2，則陰影部分的面積為　+π　． 【考點】MO：扇形面積的計算．菁優(yōu)網版權所有 【分析】根據題意，作出合適的輔助線，然后根據圖形可知陰影部分的面積是△AOD的面積與扇形OBC的面積之和再減去△BDO的面積，本題得以解決． 【解答】解：作OE⊥AB于點F， ∵在扇形AOB中，∠AOB＝120，半徑OC交弦AB于點D，且OC⊥OA．OA＝2， ∴∠AOD＝90，∠BOC＝30，OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝30， ∴OD＝OA?tan30＝＝2，AD＝4，AB＝2AF＝22＝6，OF＝， ∴BD＝2， ∴陰影部分的面積是：S△AOD+S扇形OBC﹣S△BDO＝＝+π， 故答案為：+π． 【點評】本題考查扇形面積的計算，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答． 15．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，點E在邊BC上，且BE＝a．連接AE，將△ABE沿AE折疊，若點B的對應點B′落在矩形ABCD的邊上，則a的值為　或?。? 【考點】LB：矩形的性質；PB：翻折變換（折疊問題）．菁優(yōu)網版權所有 【分析】分兩種情況：①點B′落在AD邊上，根據矩形與折疊的性質易得AB＝BE，即可求出a的值；②點B′落在CD邊上，證明△ADB′∽△B′CE，根據相似三角形對應邊成比例即可求出a的值． 【解答】解：分兩種情況： ①當點B′落在AD邊上時，如圖1． ∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠B＝90， ∵將△ABE沿AE折疊，點B的對應點B′落在AD邊上， ∴∠BAE＝∠B′AE＝∠BAD＝45， ∴AB＝BE， ∴a＝1， ∴a＝； ②當點B′落在CD邊上時，如圖2． ∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90，AD＝BC＝a． ∵將△ABE沿AE折疊，點B的對應點B′落在CD邊上， ∴∠B＝∠AB′E＝90，AB＝AB′＝1，EB＝EB′＝a， ∴DB′＝＝，EC＝BC﹣BE＝a﹣a＝a． 在△ADB′與△B′CE中， ， ∴△ADB′∽△B′CE， ∴＝，即＝， 解得a1＝，a2＝0（舍去）． 綜上，所求a的值為或． 故答案為或． 【點評】本題考查了折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．也考查了矩形的性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質．進行分類討論與數形結合是解題的關鍵． 三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分） 16．（8分）先化簡，再求值：（﹣1），其中x＝． 【考點】6D：分式的化簡求值．菁優(yōu)網版權所有 【分析】先根據分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再將x的值代入計算可得． 【解答】解：原式＝（﹣） ＝? ＝， 當x＝時，原式＝＝． 【點評】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關鍵是熟練掌握分式的混合運算順序和運算法則． 17．（9分）如圖，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90，以AB為直徑的半圓O交AC于點D，點E是上不與點B，D重合的任意一點，連接AE交BD于點F，連接BE并延長交AC于點G． （1）求證：△ADF≌△BDG； （2）填空： ①若AB＝4，且點E是的中點，則DF的長為　4﹣2?。? ②取的中點H，當∠EAB的度數為　30　時，四邊形OBEH為菱形． 【考點】MR：圓的綜合題．菁優(yōu)網版權所有 【分析】（1）利用直徑所對的圓周角是直角，可得∠ADB＝∠AEB＝90，再應用同角的余角相等可得∠DAF＝∠DBG，易得AD＝BD，△ADF≌△BDG得證； （2）作FH⊥AB，應用等弧所對的圓周角相等得∠BAE＝∠DAE，再應用角平分線性質可得結論；由菱形的性質可得BE＝OB，結合三角函數特殊值可得∠EAB＝30． 【解答】解：（1）證明：如圖1，∵BA＝BC，∠ABC＝90， ∴∠BAC＝45 ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB＝∠AEB＝90， ∴∠DAF+∠BGD＝∠DBG+∠BGD＝90 ∴∠DAF＝∠DBG ∵∠ABD+∠BAC＝90 ∴∠ABD＝∠BAC＝45 ∴AD＝BD ∴△ADF≌△BDG（ASA）； （2）①如圖2，過F作FH⊥AB于H，∵點E是的中點， ∴∠BAE＝∠DAE ∵FD⊥AD，F(xiàn)H⊥AB ∴FH＝FD ∵＝sin∠ABD＝sin45＝， ∴，即BF＝FD ∵AB＝4， ∴BD＝4cos45＝2，即BF+FD＝2，（+1）FD＝2 ∴FD＝＝4﹣2 故答案為． ②連接OE，EH，∵點H是的中點， ∴OH⊥AE， ∵∠AEB＝90 ∴BE⊥AE ∴BE∥OH ∵四邊形OBEH為菱形， ∴BE＝OH＝OB＝AB ∴sin∠EAB＝＝ ∴∠EAB＝30． 故答案為：30 【點評】本題主要考查了圓的性質，垂徑定理，等腰直角三角形的性質，菱形的性質，解直角三角形，特殊角的三角函數值等，關鍵在靈活應用性質定理． 18．（9分）某校為了解七、八年級學生對“防溺水”安全知識的掌握情況，從七、八年級各隨機抽取50名學生進行測試，并對成績（百分制）進行整理、描述和分析．部分信息如下： a．七年級成績頻數分布直方圖： b．七年級成績在70≤x＜80這一組的是： 70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79 c．七、八年級成績的平均數、中位數如下： 年級 平均數 中位數 七 76.9 m 八 79.2 79.5 根據以上信息，回答下列問題： （1）在這次測試中，七年級在80分以上（含80分）的有　23　人； （2）表中m的值為　77.5　； （3）在這次測試中，七年級學生甲與八年級學生乙的成績都是78分，請判斷兩位學生在各自年級的排名誰更靠前，并說明理由； （4）該校七年級學生有400人，假設全部參加此次測試，請估計七年級成績超過平均數76.9分的人數． 【考點】V5：用樣本估計總體；V8：頻數（率）分布直方圖；W2：加權平均數；W4：中位數．菁優(yōu)網版權所有 【分析】（1）根據條形圖及成績在70≤x＜80這一組的數據可得； （2）根據中位數的定義求解可得； （3）將各自成績與該年級的中位數比較可得答案； （4）用總人數乘以樣本中七年級成績超過平均數76.9分的人數所占比例可得． 【解答】解：（1）在這次測試中，七年級在80分以上（含80分）的有15+8＝23人， 故答案為：23； （2）七年級50人成績的中位數是第25、26個數據的平均數，而第25、26個數據分別為78、79， ∴m＝＝77.5， 故答案為：77.5； （3）甲學生在該年級的排名更靠前， ∵七年級學生甲的成績大于中位數78分，其名次在該年級抽查的學生數的25名之前， 八年級學生乙的成績小于中位數79.5分，其名次在該年級抽查的學生數的25名之后， ∴甲學生在該年級的排名更靠前． （4）估計七年級成績超過平均數76.9分的人數為400＝224（人）． 【點評】本題主要考查頻數分布直方圖、中位數及樣本估計總體，解題的關鍵是根據直方圖得出解題所需數據及中位數的定義和意義、樣本估計總體思想的運用． 19．（9分）數學興趣小組到黃河風景名勝區(qū)測量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如圖所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A處測得塑像底部E的仰角為34，再沿AC方向前進21m到達B處，測得塑像頂部D的仰角為60，求炎帝塑像DE的高度． （精確到1m．參考數據：sin34≈0.56，cos34＝0.83，tan34≈0.67，≈1.73） 【考點】TA：解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．菁優(yōu)網版權所有 【分析】由三角函數求出AC＝≈82.1m，得出BC＝AC﹣AB＝61.1m，在Rt△BCD中，由三角函數得出CD＝BC≈105.7m，即可得出答案． 【解答】解：∵∠ACE＝90，∠CAE＝34，CE＝55m， ∴tan∠CAE＝， ∴AC＝＝≈82.1m， ∵AB＝21m， ∴BC＝AC﹣AB＝61.1m， 在Rt△BCD中，tan60＝＝， ∴CD＝BC≈1.7361.1≈105.7m， ∴DE＝CD﹣EC＝105.7﹣55≈51m， 答：炎帝塑像DE的高度約為51m． 【點評】本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是根據仰角和俯角構造直角三角形，利用三角函數的知識求解，難度適中． 20．（9分）學校計劃為“我和我的祖國”演講比賽購買獎品．已知購買3個A獎品和2個B獎品共需120元；購買5個A獎品和4個B獎品共需210元． （1）求A，B兩種獎品的單價； （2）學校準備購買A，B兩種獎品共30個，且A獎品的數量不少于B獎品數量的．請設計出最省錢的購買方案，并說明理由． 【考點】9A：二元一次方程組的應用；C9：一元一次不等式的應用．菁優(yōu)網版權所有 【分析】（1）設A的單價為x元，B的單價為y元，根據題意列出方程組，即可求解； （2）設購買A獎品z個，則購買B獎品為（30﹣z）個，購買獎品的花費為W元，根據題意得到由題意可知，z≥（30﹣z），W＝30z+15（30﹣z）＝450+15z，根據一次函數的性質，即可求解； 【解答】解：（1）設A的單價為x元，B的單價為y元， 根據題意，得 ， ∴， ∴A的單價30元，B的單價15元； （2）設購買A獎品z個，則購買B獎品為（30﹣z）個，購買獎品的花費為W元， 由題意可知，z≥（30﹣z）， ∴z≥， W＝30z+15（30﹣z）＝450+15z， 當z＝8時，W有最小值為570元， 即購買A獎品8個，購買B獎品22個，花費最少； 【點評】本題考查二元一次方程組的應用，一次函數的應用；能夠根據條件列出方程組，將最優(yōu)方案轉化為一次函數性質解題是關鍵． 21．（10分）模具廠計劃生產面積為4，周長為m的矩形模具．對于m的取值范圍，小亮已經能用“代數”的方法解決，現(xiàn)在他又嘗試從“圖形”的角度進行探究，過程如下： （1）建立函數模型 設矩形相鄰兩邊的長分別為x，y，由矩形的面積為4，得xy＝4，即y＝；由周長為m，得2（x+y）＝m，即y＝﹣x+．滿足要求的（x，y）應是兩個函數圖象在第　一　象限內交點的坐標． （2）畫出函數圖象 函數y＝（x＞0）的圖象如圖所示，而函數y＝﹣x+的圖象可由直線y＝﹣x平移得到．請在同一直角坐標系中直接畫出直線y＝﹣x． （3）平移直線y＝﹣x，觀察函數圖象 ①當直線平移到與函數y＝（x＞0）的圖象有唯一交點（2，2）時，周長m的值為　8?。? ②在直線平移過程中，交點個數還有哪些情況？請寫出交點個數及對應的周長m的取值范圍． （4）得出結論 若能生產出面積為4的矩形模具，則周長m的取值范圍為　m≥8?。? 【考點】GB：反比例函數綜合題．菁優(yōu)網版權所有 【分析】（1）x，y都是邊長，因此，都是正數，即可求解； （2）直接畫出圖象即可； （3）①把點（2，2）代入y＝﹣x+即可求解；②在直線平移過程中，交點個數有：0個、1個、2個三種情況，聯(lián)立y＝和y＝﹣x+并整理得：x2﹣mx+4＝0，即可求解； （4）由（3）可得． 【解答】解：（1）x，y都是邊長，因此，都是正數， 故點（x，y）在第一象限， 答案為：一； （2）圖象如下所示： （3）①把點（2，2）代入y＝﹣x+得： 2＝﹣2+，解得：m＝8， 即：0個交點時，m＜8；1個交點時，m＝8； 2個交點時，m＞8； ②在直線平移過程中，交點個數有：0個、1個、2個三種情況， 聯(lián)立y＝和y＝﹣x+并整理得：x2﹣mx+4＝0， △＝m2﹣44≥0時，兩個函數有交點， 解得：m≥8； （4）由（3）得：m≥8． 【點評】本題為反比例函數綜合運用題，涉及到一次函數、一元二次方程、函數平移等知識點，此類探究題，通常按照題設條件逐次求解，一般難度不大． 22．（10分）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．點P是平面內不與點A，C重合的任意一點．連接AP，將線段AP繞點P逆時針旋轉α得到線段DP，連接AD，BD，CP． （1）觀察猜想 如圖1，當α＝60時，的值是　1　，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數是　60?。? （2）類比探究 如圖2，當α＝90時，請寫出的值及直線BD與直線CP相交所成的小角的度數，并就圖2的情形說明理由． （3）解決問題 當α＝90時，若點E，F(xiàn)分別是CA，CB的中點，點P在直線EF上，請直接寫出點C，P，D在同一直線上時的值． 【考點】SO：相似形綜合題．菁優(yōu)網版權所有 【分析】（1）如圖1中，延長CP交BD的延長線于E，設AB交EC于點O．證明△CAP≌△BAD（SAS），即可解決問題． （2）如圖2中，設BD交AC于點O，BD交PC于點E．證明△DAB∽△PAC，即可解決問題． （3）分兩種情形：①如圖3﹣1中，當點D在線段PC上時，延長AD交BC的延長線于H．證明AD＝DC即可解決問題． ②如圖3﹣2中，當點P在線段CD上時，同法可證：DA＝DC解決問題． 【解答】解：（1）如圖1中，延長CP交BD的延長線于E，設AB交EC于點O． ∵∠PAD＝∠CAB＝60， ∴∠CAP＝∠BAD， ∵CA＝BA，PA＝DA， ∴△CAP≌△BAD（SAS）， ∴PC＝BD，∠ACP＝∠ABD， ∵∠AOC＝∠BOE， ∴∠BEO＝∠CAO＝60， ∴＝1，線BD與直線CP相交所成的較小角的度數是60， 故答案為1，60． （2）如圖2中，設BD交AC于點O，BD交PC于點E． ∵∠PAD＝∠CAB＝45， ∴∠PAC＝∠DAB， ∵＝＝， ∴△DAB∽△PAC， ∴∠PCA＝∠DBA，＝＝， ∵∠EOC＝∠AOB， ∴∠CEO＝∠OABB＝45， ∴直線BD與直線CP相交所成的小角的度數為45． （3）如圖3﹣1中，當點D在線段PC上時，延長AD交BC的延長線于H． ∵CE＝EA，CF＝FB， ∴EF∥AB， ∴∠EFC＝∠ABC＝45， ∵∠PAO＝45， ∴∠PAO＝∠OFH， ∵∠POA＝∠FOH， ∴∠H＝∠APO， ∵∠APC＝90，EA＝EC， ∴PE＝EA＝EC， ∴∠EPA＝∠EAP＝∠BAH， ∴∠H＝∠BAH， ∴BH＝BA， ∵∠ADP＝∠BDC＝45， ∴∠ADB＝90， ∴BD⊥AH， ∴∠DBA＝∠DBC＝22.5， ∵∠ADB＝∠ACB＝90， ∴A，D，C，B四點共圓， ∠DAC＝∠DBC＝22.5，∠DCA＝∠ABD＝22.5， ∴∠DAC＝∠DCA＝22.5， ∴DA＝DC，設AD＝a，則DC＝AD＝a，PD＝a， ∴＝＝2﹣． 如圖3﹣2中，當點P在線段CD上時，同法可證：DA＝DC，設AD＝a，則CD＝AD＝a，PD＝a， ∴PC＝a﹣a， ∴＝＝2+． 【點評】本題屬于相似形綜合題，考查了旋轉變換，等邊三角形的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題． 23．（11分）如圖，拋物線y＝ax2+x+c交x軸于A，B兩點，交y軸于點C．直線y＝﹣x﹣2經過點A，C． （1）求拋物線的解析式； （2）點P是拋物線上一動點，過點P作x軸的垂線，交直線AC于點M，設點P的橫坐標為m． ①當△PCM是直角三角形時，求點P的坐標； ②作點B關于點C的對稱點B，則平面內存在直線l，使點M，B，B′到該直線的距離都相等．當點P在y軸右側的拋物線上，且與點B不重合時，請直接寫出直線l：y＝kx+b的解析式．（k，b可用含m的式子表示） 【考點】HF：二次函數綜合題．菁優(yōu)網版權所有 【分析】（1）利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點A，C的坐標，根據點A，C的坐標，利用待定系數法可求出二次函數解析式； （2）①由PM⊥x軸可得出∠PMC≠90，分∠MPC＝90及∠PCM＝90兩種情況考慮：（i）當∠MPC＝90時，PC∥x軸，利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點P的坐標；（ii）當∠PCM＝90時，設PC與x軸交于點D，易證△AOC∽△COD，利用相似三角形的性質可求出點D的坐標，根據點C，D的坐標，利用待定系數法可求出直線PC的解析式，聯(lián)立直線PC和拋物線的解析式成方程組，通過解方程組可求出點P的坐標．綜上，此問得解； ②利用二次函數圖象上點的坐標特征及一次函數圖象上點的坐標特征可得出點B，M的坐標，結合點C的坐標可得出點B′的坐標，根據點M，B，B′的坐標，利用待定系數法可分別求出直線BM，B′M和BB′的解析式，利用平行線的性質可求出直線l的解析式． 【解答】解：（1）當x＝0時，y＝﹣x﹣2＝﹣2， ∴點C的坐標為（0，﹣2）； 當y＝0時，﹣x﹣2＝0， 解得：x＝﹣4， ∴點A的坐標為（﹣4，0）． 將A（﹣4，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+x+c，得： ，解得：， ∴拋物線的解析式為y＝x2+x﹣2． （2）①∵PM⊥x軸， ∴∠PMC≠90， ∴分兩種情況考慮，如圖1所示． （i）當∠MPC＝90時，PC∥x軸， ∴點P的縱坐標為﹣2． 當y＝﹣2時，x2+x﹣2＝﹣2， 解得：x1＝﹣2，x2＝0， ∴點P的坐標為（﹣2，﹣2）； （ii）當∠PCM＝90時，設PC與x軸交于點D． ∵∠OAC+∠OCA＝90，∠OCA+∠OCD＝90， ∴∠OAC＝∠OCD． 又∵∠AOC＝∠COD＝90， ∴△AOC∽△COD， ∴＝，即＝， ∴OD＝1， ∴點D的坐標為（1，0）． 設直線PC的解析式為y＝kx+b（k≠0）， 將C（0，﹣2），D（1，0）代入y＝kx+b，得： ，解得：， ∴直線PC的解析式為y＝2x﹣2． 聯(lián)立直線PC和拋物線的解析式成方程組，得：， 解得：，， 點P的坐標為（6，10）． 綜上所述：當△PCM是直角三角形時，點P的坐標為（﹣2，﹣2）或（6，10）． ②當y＝0時，x2+x﹣2＝0， 解得：x1＝﹣4，x2＝2， ∴點B的坐標為（2，0）． ∵點C的坐標為（0，﹣2），點B，B′關于點C對稱， ∴點B′的坐標為（﹣2，﹣4）． ∵點P的橫坐標為m（m＞0且m≠2）， ∴點M的坐標為（m，﹣m﹣2）． 利用待定系數法可求出：直線BM的解析式為y＝﹣x+，直線B′M的解析式為y＝x﹣，直線BB′的解析式為y＝x﹣2． 分三種情況考慮，如圖2所示： 當直線l∥BM且過點C時，直線l的解析式為y＝﹣x﹣2； 當直線l∥B′M且過點C時，直線l的解析式為y＝x﹣2； 當直線l∥BB′且過線段CM的中點N（m，﹣m﹣2）時，直線l的解析式為y＝x﹣m﹣2． 綜上所述：直線l的解析式為y＝﹣x﹣2，y＝x﹣2或y＝x﹣m﹣2． 【點評】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征、待定系數法二次函數解析式、二次函數圖象上點的坐標特征、待定系數法求一次函數解析式、相似三角形的判定與性質以及平行線的性質，解題的關鍵是：（1）根據點的坐標，利用待定系數法求出二次函數解析式；（2）①分∠MPC＝90及∠PCM＝90兩種情況求出點P的坐標；②利用待定系數法及平行線的性質，求出直線l的解析式． 聲明：試題解析著作權屬菁優(yōu)網所有，未經書面同意，不得復制發(fā)布 日期：2019/8/3 9:39:27；用戶：學無止境；郵箱：419793282@qq.com；學號：7910509 第34頁（共34頁）