函數(shù)產(chǎn)生的歷史背景和發(fā)展過程

《函數(shù)產(chǎn)生的歷史背景和發(fā)展過程》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《函數(shù)產(chǎn)生的歷史背景和發(fā)展過程（3頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

函數(shù)產(chǎn)生的歷史背景和發(fā)展過程 歷史表明 重要數(shù)學概念對數(shù)學發(fā)展的作用是不可估量的 函數(shù)概念對數(shù)學發(fā)展的影響 可以說是貫穿古今 曠日持久 作用非凡 回顧函數(shù)概念的歷史發(fā)展 看一看函數(shù)概念不斷被 精煉 深化 豐富的歷史過程 是一件十分有益的事情 它不僅有助于我們提高對函數(shù)概念來 龍去脈認識的清晰度 而且更能幫助我們領(lǐng)悟數(shù)學概念對數(shù)學發(fā)展 數(shù)學學習的巨大作用 一 馬克思曾經(jīng)認為 函數(shù)概念來源于代數(shù)學中不定方程的研究 由于羅馬時代的丟番圖對不定 方程已有相當研究 所以函數(shù)概念至少在那時已經(jīng)萌芽 自哥白尼的天文學革命以后 運動就成了文藝復興時期科學家共同感興趣的問題 人們在思 索 既然地球不是宇宙中心 它本身又有自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn) 那么下降的物體為什么不發(fā)生偏斜而還 要垂直下落到地球上 行星運行的軌道是橢圓 原理是什么 還有 研究在地球表面上拋射物體 的路線 射程和所能達到的高度 以及炮彈速度對于高度和射程的影響等問題 既是科學家的 力圖解決的問題 也是軍事家要求解決的問題 函數(shù)概念就是從運動的研究中引申出的一個數(shù) 學概念 這是函數(shù)概念的力學來源 二 早在函數(shù)概念尚未明確提出以前 數(shù)學家已經(jīng)接觸并研究了不少具體的函數(shù) 比如對數(shù)函數(shù) 三角函數(shù) 雙曲函數(shù)等等 1673 年前后笛卡兒在他的解析幾何中 已經(jīng)注意到了一個變量對于 另一個變量的依賴關(guān)系 但由于當時尚未意識到需要提煉一般的函數(shù)概念 因此直到 17 世紀 后期牛頓 萊布尼茲建立微積分的時候 數(shù)學家還沒有明確函數(shù)的一般意義 1673 年 萊布尼茲首次使用函數(shù)一詞表示 冪 后來他用該詞表示曲線上點的橫坐標 縱 坐標 切線長等曲線上點的有關(guān)幾何量 由此可以看出 函數(shù)一詞最初的數(shù)學含義是相當廣泛 而較為模糊的 幾乎與此同時 牛頓在微積分的討論中 使用另一名詞 流量 來表示變量間的 關(guān)系 直到 1689 年 瑞士數(shù)學家約翰 貝努里才在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎(chǔ)上 對函數(shù)概念進 行了明確定義 貝努里把變量 x 和常量按任何方式構(gòu)成的量叫 x 的函數(shù) 表示為 yx 當時 由于連接變數(shù)與常數(shù)的運算主要是算術(shù)運算 三角運算 指數(shù)運算和對數(shù)運算 所以 后來歐拉就索性把用這些運算連接變數(shù) x 和常數(shù) c 而成的式子 取名為解析函數(shù) 還將它分成 了 代數(shù)函數(shù) 與 超越函數(shù) 18 世紀中葉 由于研究弦振動問題 達朗貝爾與歐拉先后引出了 任意的函數(shù) 的說法 在 解釋 任意的函數(shù) 概念的時候 達朗貝爾說是指 任意的解析式 而歐拉則認為是 任意畫出的 一條曲線 現(xiàn)在看來這都是函數(shù)的表達方式 是函數(shù)概念的外延 三 函數(shù)概念缺乏科學的定義 引起了理論與實踐的尖銳矛盾 例如 偏微分方程在工程技術(shù)中 有廣泛應用 但由于沒有函數(shù)的科學定義 就極大地限制了偏微分方程理論的建立 1833 年至 1834 年 高斯開始把注意力轉(zhuǎn)向物理學 他在和 W 威伯爾合作發(fā)明電報的過程中 做了許多 關(guān)于磁的實驗工作 提出了 力與距離的平方成反比例 這個重要的理論 使得函數(shù)作為數(shù)學的 一個獨立分支而出現(xiàn)了 實際的需要促使人們對函數(shù)的定義進一步研究 后來 人們又給出了這樣的定義 如果一個量依賴著另一個量 當后一量變化時前一量也隨 著變化 那么第一個量稱為第二個量的函數(shù) 這個定義雖然還沒有道出函數(shù)的本質(zhì) 但卻把變 化 運動注入到函數(shù)定義中去 是可喜的進步 在函數(shù)概念發(fā)展史上 法國數(shù)學家富里埃的工作影響最大 富里埃深刻地揭示了函數(shù)的本質(zhì) 主張函數(shù)不必局限于解析表達式 1822 年 他在名著 熱的解析理論 中說 通常 函數(shù)表 示相接的一組值或縱坐標 它們中的每一個都是任意的 我們不假定這些縱坐標服從一個 共同的規(guī)律 他們以任何方式一個挨一個 在該書中 他用一個三角級數(shù)和的形式表達了一個 由不連續(xù)的 線 所給出的函數(shù) 更確切地說就是 任意一個以 2 為周期函數(shù) 在 區(qū)間內(nèi) 可以由 表示出 其中 富里埃的研究 從根本上動搖了舊的關(guān)于函數(shù)概念的傳統(tǒng)思想 在當時的數(shù)學界引起了很大 的震動 原來 在解析式和曲線之間并不存在不可逾越的鴻溝 級數(shù)把解析式和曲線溝通了 那種視函數(shù)為解析式的觀點終于成為揭示函數(shù)關(guān)系的巨大障礙 通過一場爭論 產(chǎn)生了羅巴切夫斯基和狄里克萊的函數(shù)定義 1834 年 俄國數(shù)學家羅巴切夫斯基提出函數(shù)的定義 x 的函數(shù)是這樣的一個數(shù) 它對于每 個 x 都有確定的值 并且隨著 x 一起變化 函數(shù)值可以由解析式給出 也可以由一個條件給出 這個條件提供了一種尋求全部對應值的方法 函數(shù)的這種依賴關(guān)系可以存在 但仍然是未知 的 這個定義建立了變量與函數(shù)之間的對應關(guān)系 是對函數(shù)概念的一個重大發(fā)展 因為 對應 是函數(shù)概念的一種本質(zhì)屬性與核心部分 1837 年 德國數(shù)學家狄里克萊 Dirichlet 認為怎樣去建立 x 與 y 之間的關(guān)系無關(guān)緊要 所以他的定義是 如果對于 x 的每一值 y 總有完全確定的值與之對應 則 y 是 x 的函數(shù) 根據(jù)這個定義 即使像如下表述的 它仍然被說成是函數(shù) 狄里克萊函數(shù) f x 1 x 為有理數(shù) 0 x 為無理數(shù) 在這個函數(shù)中 如果 x 由 0 逐漸增大地取值 則 f x 忽 0 忽 1 在無論怎樣小的區(qū)間里 f x 無限止地忽 0 忽 1 因此 它難用一個或幾個式子來加以表示 甚至究竟能否找出表達 式也是一個問題 但是不管其能否用表達式表示 在狄里克萊的定義下 這個 f x 仍是一個 函數(shù) 狄里克萊的函數(shù)定義 出色地避免了以往函數(shù)定義中所有的關(guān)于依賴關(guān)系的描述 以完全清 晰的方式為所有數(shù)學家無條件地接受 至此 我們已可以說 函數(shù)概念 函數(shù)的本質(zhì)定義已經(jīng) 形成 這就是人們常說的經(jīng)典函數(shù)定義 四 生產(chǎn)實踐和科學實驗的進一步發(fā)展 又引起函數(shù)概念新的尖銳矛盾 本世紀 20 年代 人類 開始研究微觀物理現(xiàn)象 1930 年量子力學問世了 在量子力學中需要用到一種新的函數(shù) 函數(shù) 即 x 0 x 0 x 0 且 函數(shù)的出現(xiàn) 引起了人們的激烈爭論 按照函數(shù)原來的定義 只允許數(shù)與數(shù)之間建立對應 關(guān)系 而沒有把 作為數(shù) 另外 對于自變量只有一個點不為零的函數(shù) 其積分值卻不等于 零 這也是不可想象的 然而 函數(shù)確實是實際模型的抽象 例如 當汽車 火車通過橋梁 時 自然對橋梁產(chǎn)生壓力 從理論上講 車輛的輪子和橋面的接觸點只有一個 設車輛對軌道 橋面的壓力為一單位 這時在接觸點 x 0 處的壓強是 P 0 壓力 接觸面 1 0 其余點 x 0 處 因無壓力 故無壓強 即 P x 0 另外 我們知道壓強函數(shù)的積分等于 壓力 即 函數(shù)概念就在這樣的歷史條件下能動地向前發(fā)展 產(chǎn)生了新的現(xiàn)代函數(shù)定義 若對集合 M 的 任意元素 x 總有集合 N 確定的元素 y 與之對應 則稱在集合 M 上定義一個函數(shù) 記為 y f x 元素 x 稱為自變元 元素 y 稱為因變元 函數(shù)的現(xiàn)代定義與經(jīng)典定義從形式上看雖然只相差幾個字 但卻是概念上的重大發(fā)展 是數(shù) 學發(fā)展道路上的重大轉(zhuǎn)折 近代的泛函分析可以作為這種轉(zhuǎn)折的標志 它研究的是一般集合上 的函數(shù)關(guān)系 函數(shù)概念的定義經(jīng)過二百多年來的錘煉 變革 形成了函數(shù)的現(xiàn)代定義 應該說已經(jīng)相當完 善了 不過數(shù)學的發(fā)展是無止境的 函數(shù)現(xiàn)代定義的形式并不意味著函數(shù)概念發(fā)展的歷史終結(jié) 近二十年來 數(shù)學家們又把函數(shù)歸結(jié)為一種更廣泛的概念 關(guān)系 設集合 X Y 我們定義 X 與 Y 的積集 X Y 為 X Y x y x X y Y 積集 X Y 中的一子集 R 稱為 X 與 Y 的一個關(guān)系 若 x y R 則稱 x 與 y 有關(guān)系 R 記為 xRy 若 x y R 則稱 x 與 y 無關(guān)系 現(xiàn)設 f 是 X 與 Y 的關(guān)系 即 fX Y 如果 x y x z f 必有 y z 那么稱 f 為 X 到 Y 的函數(shù) 在此定義中 已在形式上回避了 對應 的術(shù)語 全部使用集合論的語言了 從以上函數(shù)概念發(fā)展的全過程中 我們體會到 聯(lián)系實際 聯(lián)系大量數(shù)學素材 研究 發(fā)掘 拓廣數(shù)學概念的內(nèi)涵是何等重要