高中數(shù)學(xué)解析幾何突破

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高中數(shù)學(xué)輔導(dǎo)網(wǎng) http:/www.shuxuefudao.com/五、解析幾何一、選擇題1.（重慶理8）在圓內(nèi)，過點E（0，1）的最長弦和最短弦分別是AC和BD，則四邊形ABCD的面積為AB CD【答案】B2.（浙江理8）已知橢圓與雙曲線有公共的焦點，的一條漸近線與以的長軸為直徑的圓相交于兩點，若恰好將線段三等分，則A B C D【答案】C3.（四川理10）在拋物線上取橫坐標(biāo)為，的兩點，過這兩點引一條割線，有平行于該割線的一條直線同時與拋物線和圓相切，則拋物線頂點的坐標(biāo)為A B C D【答案】C【解析】由已知的割線的坐標(biāo),設(shè)直線方程為，則又4.（陜西理2）設(shè)拋物線的頂點在原點，準(zhǔn)線方程為，則拋物線的方程是 A B C D【答案】B5.（山東理8）已知雙曲線的兩條漸近線均和圓C:相切,且雙曲線的右焦點為圓C的圓心,則該雙曲線的方程為A B C D【答案】A6.（全國新課標(biāo)理7）已知直線l過雙曲線C的一個焦點，且與C的對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，為C的實軸長的2倍，C的離心率為（A） （B） （C） 2 （D） 3【答案】B7.（全國大綱理10）已知拋物線C：的焦點為F，直線與C交于A，B兩點則=A B C D【答案】D8.（江西理9）若曲線：與曲線：有四個不同的交點，則實數(shù)m的取值范圍是 A（，） B（，0）（0，）C， D（，）（，+）【答案】B9.（湖南理5）設(shè)雙曲線的漸近線方程為，則的值為A4 B3 C2 D1【答案】C10.（湖北理4）將兩個頂點在拋物線上，另一個頂點是此拋物線焦點的正三角形個數(shù)記為n，則An=0 Bn=1 C n=2 Dn 3【答案】C11.（福建理7）設(shè)圓錐曲線r的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，若曲線r上存在點P滿足=4:3:2，則曲線r的離心率等于A B或2 C2 D【答案】A12.（北京理8）設(shè),，,.記為平行四邊形ABCD內(nèi)部（不含邊界）的整點的個數(shù)，其中整點是指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點，則函數(shù)的值域為A BC D【答案】C13.（安徽理2）雙曲線的實軸長是（A）2 （B） 2 （C） 4 （D）4【答案】C14.（遼寧理3）已知F是拋物線y2=x的焦點，A，B是該拋物線上的兩點，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為（A） （B）1 （C） （D）【答案】C二、填空題15.（湖北理14）如圖，直角坐標(biāo)系所在的平面為，直角坐標(biāo)系（其中軸一與軸重合）所在的平面為，。（）已知平面內(nèi)有一點，則點在平面內(nèi)的射影的坐標(biāo)為 ；（）已知平面內(nèi)的曲線的方程是，則曲線在平面內(nèi)的射影的方程是 ?！敬鸢浮浚?，2） 16.（浙江理17）設(shè)分別為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，若;則點的坐標(biāo)是 【答案】17.（上海理3）設(shè)為常數(shù)，若點是雙曲線的一個焦點，則 ?！敬鸢浮?618.（江西理14）若橢圓的焦點在軸上，過點（1，）作圓的切線，切點分別為A,B，直線恰好經(jīng)過橢圓的右焦點和上頂點，則橢圓方程是 【答案】19.（北京理14）曲線C是平面內(nèi)與兩個定點F1（-1，0）和F2（1，0）的距離的積等于常數(shù)的點的軌跡.給出下列三個結(jié)論： 曲線C過坐標(biāo)原點； 曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點對稱；若點P在曲線C上，則FPF的面積大于a。其中，所有正確結(jié)論的序號是 ?！敬鸢浮?0.（四川理14）雙曲線P到左準(zhǔn)線的距離是 【答案】【解析】，點顯然在雙曲線右支上，點到左焦點的距離為14，所以21.（全國大綱理15）已知F1、F2分別為雙曲線C: - =1的左、右焦點，點AC，點M的坐標(biāo)為（2，0），AM為F1AF2的平分線則|AF2| = 【答案】622.（遼寧理13）已知點（2，3）在雙曲線C：上，C的焦距為4，則它的離心率為 【答案】223.（重慶理15）設(shè)圓C位于拋物線與直線x=3所圍成的封閉區(qū)域（包含邊界）內(nèi)，則圓C的半徑能取到的最大值為_【答案】24.（全國新課標(biāo)理14）（14） 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點在x軸上，離心率為過點的直線l交C于A，B兩點，且的周長為16，那么C的方程為_【答案】25.（安徽理15）在平面直角坐標(biāo)系中，如果與都是整數(shù)，就稱點為整點，下列命題中正確的是_（寫出所有正確命題的編號）. 存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點如果與都是無理數(shù)，則直線不經(jīng)過任何整點直線經(jīng)過無窮多個整點，當(dāng)且僅當(dāng)經(jīng)過兩個不同的整點直線經(jīng)過無窮多個整點的充分必要條件是：與都是有理數(shù)存在恰經(jīng)過一個整點的直線【答案】，三、解答題26.（江蘇18）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，M、N分別是橢圓的頂點，過坐標(biāo)原點的直線交橢圓于P、A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點B，設(shè)直線PA的斜率為k（1）當(dāng)直線PA平分線段MN，求k的值；（2）當(dāng)k=2時，求點P到直線AB的距離d；（3）對任意k0，求證：PAPB本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)、直線方程、直線的垂直關(guān)系、點到直線的距離等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力和推理論證能力，滿分16分.解：（1）由題設(shè)知，所以線段MN中點的坐標(biāo)為，由于直線PA平分線段MN，故直線PA過線段MN的中點，又直線PA過坐標(biāo)原點，所以（2）直線PA的方程解得于是直線AC的斜率為（3）解法一：將直線PA的方程代入則故直線AB的斜率為其方程為解得.于是直線PB的斜率因此解法二：設(shè).設(shè)直線PB，AB的斜率分別為因為C在直線AB上，所以從而因此27.（安徽理21）設(shè)，點的坐標(biāo)為（1,1），點在拋物線上運動，點滿足，經(jīng)過點與軸垂直的直線交拋物線于點，點滿足,求點的軌跡方程。本題考查直線和拋物線的方程，平面向量的概念，性質(zhì)與運算，動點的軌跡方程等基本知識，考查靈活運用知識探究問題和解決問題的能力，全面考核綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng).解：由知Q，M，P三點在同一條垂直于x軸的直線上，故可設(shè) 再設(shè)解得 將式代入式，消去，得 又點B在拋物線上，所以，再將式代入，得故所求點P的軌跡方程為28.（北京理19） 已知橢圓.過點（m,0）作圓的切線I交橢圓G于A，B兩點.（I）求橢圓G的焦點坐標(biāo)和離心率；（II）將表示為m的函數(shù)，并求的最大值.（19）（共14分）解：（）由已知得所以所以橢圓G的焦點坐標(biāo)為離心率為（）由題意知，.當(dāng)時，切線l的方程，點A、B的坐標(biāo)分別為此時當(dāng)m=1時，同理可得當(dāng)時，設(shè)切線l的方程為由設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別為，則又由l與圓所以由于當(dāng)時，所以.因為且當(dāng)時，|AB|=2，所以|AB|的最大值為2.29.（福建理17）已知直線l：y=x+m，mR。（I）若以點M（2,0）為圓心的圓與直線l相切與點P，且點P在y軸上，求該圓的方程；（II）若直線l關(guān)于x軸對稱的直線為，問直線與拋物線C：x2=4y是否相切？說明理由。本小題主要考查直線、圓、拋物線等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想。滿分13分。解法一：（I）依題意，點P的坐標(biāo)為（0，m）因為，所以，解得m=2，即點P的坐標(biāo)為（0，2）從而圓的半徑故所求圓的方程為（II）因為直線的方程為所以直線的方程為由（1）當(dāng)時，直線與拋物線C相切（2）當(dāng)，那時，直線與拋物線C不相切。綜上，當(dāng)m=1時，直線與拋物線C相切；當(dāng)時，直線與拋物線C不相切。解法二：（I）設(shè)所求圓的半徑為r，則圓的方程可設(shè)為依題意，所求圓與直線相切于點P（0，m），則解得所以所求圓的方程為（II）同解法一。30.（廣東理19） 設(shè)圓C與兩圓中的一個內(nèi)切，另一個外切。（1）求C的圓心軌跡L的方程;（2）已知點M，且P為L上動點，求的最大值及此時點P的坐標(biāo) （1）解：設(shè)C的圓心的坐標(biāo)為，由題設(shè)條件知化簡得L的方程為 （2）解：過M，F(xiàn)的直線方程為，將其代入L的方程得解得因T1在線段MF外，T2在線段MF內(nèi)，故，若P不在直線MF上，在中有故只在T1點取得最大值2。31.（湖北理20） 平面內(nèi)與兩定點，連續(xù)的斜率之積等于非零常數(shù)的點的軌跡，加上、兩點所成的曲線可以是圓、橢圓成雙曲線（）求曲線的方程，并討論的形狀與值得關(guān)系；（）當(dāng)時，對應(yīng)的曲線為；對給定的，對應(yīng)的曲線為，設(shè)、是的兩個焦點。試問：在撒謊個，是否存在點，使得的面積。若存在，求的值；若不存在，請說明理由。本小題主要考查曲線與方程、圓錐曲線等基礎(chǔ)知識，同時考查推理運算的能力，以及分類與整合和數(shù)形結(jié)合的思想。（滿分14分） 解：（I）設(shè)動點為M，其坐標(biāo)為， 當(dāng)時，由條件可得即，又的坐標(biāo)滿足故依題意，曲線C的方程為當(dāng)曲線C的方程為是焦點在y軸上的橢圓；當(dāng)時，曲線C的方程為，C是圓心在原點的圓；當(dāng)時，曲線C的方程為，C是焦點在x軸上的橢圓；當(dāng)時，曲線C的方程為C是焦點在x軸上的雙曲線。（II）由（I）知，當(dāng)m=-1時，C1的方程為當(dāng)時，C2的兩個焦點分別為對于給定的，C1上存在點使得的充要條件是由得由得當(dāng)或時，存在點N，使S=|m|a2；當(dāng)或時，不存在滿足條件的點N，當(dāng)時，由，可得令，則由，從而，于是由，可得綜上可得：當(dāng)時，在C1上，存在點N，使得當(dāng)時，在C1上，存在點N，使得當(dāng)時，在C1上，不存在滿足條件的點N。32.（湖南理21） 如圖7，橢圓的離心率為，x軸被曲線截得的線段長等于C1的長半軸長。（）求C1，C2的方程；（）設(shè)C2與y軸的焦點為M，過坐標(biāo)原點O的直線與C2相交于點A,B,直線MA,MB分別與C1相交與D,E（i）證明：MDME;（ii）記MAB,MDE的面積分別是問：是否存在直線l,使得?請說明理由。解 ：（）由題意知故C1，C2的方程分別為（）（i）由題意知，直線l的斜率存在，設(shè)為k，則直線l的方程為.由得.設(shè)是上述方程的兩個實根，于是又點M的坐標(biāo)為（0，1），所以故MAMB，即MDME.（ii）設(shè)直線MA的斜率為k1，則直線MA的方程為解得則點A的坐標(biāo)為.又直線MB的斜率為，同理可得點B的坐標(biāo)為于是由得解得則點D的坐標(biāo)為又直線ME的斜率為，同理可得點E的坐標(biāo)為于是.因此由題意知，又由點A、B的坐標(biāo)可知，故滿足條件的直線l存在，且有兩條，其方程分別為33.（遼寧理20） 如圖，已知橢圓C1的中心在原點O，長軸左、右端點M，N在x軸上，橢圓C2的短軸為MN，且C1，C2的離心率都為e，直線lMN，l與C1交于兩點，與C2交于兩點，這四點按縱坐標(biāo)從大到小依次為A，B，C，D（I）設(shè)，求與的比值；（II）當(dāng)e變化時，是否存在直線l，使得BOAN，并說明理由解：（I）因為C1，C2的離心率相同，故依題意可設(shè)設(shè)直線，分別與C1，C2的方程聯(lián)立，求得 4分當(dāng)表示A，B的縱坐標(biāo)，可知 6分 （II）t=0時的l不符合題意.時，BO/AN當(dāng)且僅當(dāng)BO的斜率kBO與AN的斜率kAN相等，即解得因為所以當(dāng)時，不存在直線l，使得BO/AN；當(dāng)時，存在直線l使得BO/AN. 12分34.（全國大綱理21） 已知O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點，過F且斜率為的直線與C交于A、B兩點，點P滿足（）證明：點P在C上；（）設(shè)點P關(guān)于點O的對稱點為Q，證明：A、P、B、Q四點在同一圓上解：（I）F（0，1），的方程為，代入并化簡得2分設(shè)則由題意得所以點P的坐標(biāo)為經(jīng)驗證，點P的坐標(biāo)為滿足方程故點P在橢圓C上。6分 （II）由和題設(shè)知， PQ的垂直平分線的方程為設(shè)AB的中點為M，則，AB的垂直平分線為的方程為由、得的交點為。9分故|NP|=|NA|。又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|，所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|，由此知A、P、B、Q四點在以N為圓心，NA為半徑的圓上12分35.（全國新課標(biāo)理20） 在平面直角坐標(biāo)系xOy中， 已知點A（0，-1），B點在直線上，M點滿足，M點的軌跡為曲線C（I）求C的方程；（II）P為C上動點，為C在點P處的切線，求O點到距離的最小值 (20）解：()設(shè)M(x，y)，由已知得B(x，-3)，A(0，-1).所以=（-x，-1-y）， =(0，-3-y)， =(x，-2).再由題意可知（+）=0， 即（-x，-4-2y）(x，-2)=0.所以曲線C的方程式為y=x-2.()設(shè)P(x，y)為曲線C：y=x-2上一點，因為y=x，所以的斜率為x因此直線的方程為，即則O點到的距離.又，所以當(dāng)=0時取等號，所以O(shè)點到距離的最小值為2.36.（山東理22） 已知動直線與橢圓C: 交于P、Q兩不同點，且OPQ的面積=,其中O為坐標(biāo)原點.（）證明和均為定值;（）設(shè)線段PQ的中點為M，求的最大值；（）橢圓C上是否存在點D,E,G，使得?若存在，判斷DEG的形狀；若不存在，請說明理由.（I）解：（1）當(dāng)直線的斜率不存在時，P，Q兩點關(guān)于x軸對稱，所以因為在橢圓上，因此又因為所以由、得此時 （2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為由題意知m，將其代入，得，其中即（*）又所以因為點O到直線的距離為所以又整理得且符合（*）式，此時綜上所述，結(jié)論成立。 （II）解法一： （1）當(dāng)直線的斜率存在時，由（I）知因此 （2）當(dāng)直線的斜率存在時，由（I）知所以 所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.綜合（1）（2）得|OM|PQ|的最大值為解法二：因為 所以即當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。因此 |OM|PQ|的最大值為 （III）橢圓C上不存在三點D，E，G，使得證明：假設(shè)存在，由（I）得因此D，E，G只能在這四點中選取三個不同點，而這三點的兩兩連線中必有一條過原點，與矛盾，所以橢圓C上不存在滿足條件的三點D，E，G.37.（陜西理17） 如圖，設(shè)P是圓上的動點，點D是P在x軸上的攝影，M為PD上一點，且（）當(dāng)P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程；（）求過點（3，0）且斜率為的直線被C所截線段的長度解：（）設(shè)M的坐標(biāo)為（x,y）P的坐標(biāo)為（xp,yp）由已知得P在圓上，即C的方程為（）過點（3，0）且斜率為的直線方程為，設(shè)直線與C的交點為將直線方程代入C的方程，得 即 線段AB的長度為注：求AB長度時，利用韋達定理或弦長公式求得正確結(jié)果，同樣得分。38.（上海理23） 已知平面上的線段及點，在上任取一點，線段長度的最小值稱為點到線段的距離，記作。（1）求點到線段的距離；（2）設(shè)是長為2的線段，求點集所表示圖形的面積；（3）寫出到兩條線段距離相等的點的集合，其中，是下列三組點中的一組。對于下列三組點只需選做一種，滿分分別是2分，6分，8分；若選擇了多于一種的情形，則按照序號較小的解答計分。 。 。 。解： 設(shè)是線段上一點，則，當(dāng)時，。 設(shè)線段的端點分別為，以直線為軸，的中點為原點建立直角坐標(biāo)系，則，點集由如下曲線圍成，其面積為。 選擇， 選擇。 選擇。39.（四川理21） 橢圓有兩頂點A（-1，0）、B（1，0），過其焦點F（0，1）的直線l與橢圓交于C、D兩點，并與x軸交于點P直線AC與直線BD交于點Q（I）當(dāng)|CD | = 時，求直線l的方程；（II）當(dāng)點P異于A、B兩點時，求證：為定值。 解：由已知可得橢圓方程為，設(shè)的方程為為的斜率。則的方程為40.（天津理18）在平面直角坐標(biāo)系中，點為動點，分別為橢圓的左右焦點已知為等腰三角形（）求橢圓的離心率；（）設(shè)直線與橢圓相交于兩點，是直線上的點，滿足，求點的軌跡方程本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、平面向量等基礎(chǔ)知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查解決問題能力與運算能力.滿分13分. （I）解：設(shè) 由題意，可得即整理得（舍），或所以（II）解：由（I）知可得橢圓方程為直線PF2方程為A，B兩點的坐標(biāo)滿足方程組消去y并整理，得解得 得方程組的解不妨設(shè)設(shè)點M的坐標(biāo)為，由于是由即，化簡得將所以因此，點M的軌跡方程是41.（浙江理21）已知拋物線:，圓:的圓心為點M（）求點M到拋物線的準(zhǔn)線的距離；（）已知點P是拋物線上一點（異于原點），過點P作圓的兩條切線，交拋物線于A，B兩點，若過M，P兩點的直線垂直于AB，求直線的方程本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線、圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。滿分15分。 （I）解：由題意可知，拋物線的準(zhǔn)線方程為： 所以圓心M（0，4）到準(zhǔn)線的距離是（II）解：設(shè)，則題意得，設(shè)過點P的圓C2的切線方程為，即則即，設(shè)PA，PB的斜率為，則是上述方程的兩根，所以將代入由于是此方程的根，故，所以由，得，解得即點P的坐標(biāo)為，所以直線的方程為42.（重慶理20）如題（20）圖，橢圓的中心為原點，離心率，一條準(zhǔn)線的方程為 （）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （）設(shè)動點滿足：，其中是橢圓上的點，直線與的斜率之積為，問：是否存在兩個定點，使得為定值？若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，說明理由解：（I）由解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （II）設(shè)，則由得因為點M，N在橢圓上，所以，故 設(shè)分別為直線OM，ON的斜率，由題設(shè)條件知因此所以所以P點是橢圓上的點，設(shè)該橢圓的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，則由橢圓的定義|PF1|+|PF2|為定值，又因，因此兩焦點的坐標(biāo)為全 品中考網(wǎng)京翰教育網(wǎng) http:/www.zgjhjy.com/