【高考前三個月復習數(shù)學理科 三角函數(shù)與平面向量】專題4 第21練

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第21練　關(guān)于平面向量數(shù)量積運算的三類經(jīng)典題型 [題型分析高考展望]　平面向量數(shù)量積的運算是平面向量的一種重要運算，應用十分廣泛，對向量本身，通過數(shù)量積運算可以解決位置關(guān)系的判定、夾角、模等問題，另外還可以解決平面幾何、立體幾何中許多有關(guān)問題，因此是高考必考內(nèi)容，題型有選擇題、填空題，也在解答題中出現(xiàn)，常與其他知識結(jié)合，進行綜合考查. ?？碱}型精析 題型一　平面向量數(shù)量積的基本運算 例1　(1)(2014天津)已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝120，點E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若＝1，則λ的值為________. (2)已知圓O的半徑為1，PA，PB為該圓的兩條切線，A，B為切點，那么的最小值為(　　) A.－4＋ B.－3＋ C.－4＋2 D.－3＋2 點評　(1)平面向量數(shù)量積的運算有兩種形式：一是依據(jù)長度和夾角，二是利用坐標運算，具體應用哪種形式由已知條件的特征來選擇.注意兩向量a，b的數(shù)量積ab與代數(shù)中a，b的乘積寫法不同，不應該漏掉其中的“”. (2)向量的數(shù)量積運算需要注意的問題：ab＝0時得不到a＝0或b＝0，根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)有|a|2＝a2，但|ab|≤|a||b|. 變式訓練1　(2015湖北)已知向量⊥，||＝3，則＝________. 題型二　利用平面向量數(shù)量積求兩向量夾角 例2　(1)(2015重慶)若非零向量a，b滿足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，則a與b的夾角為(　　) A. B. C. D.π (2)(2015石家莊模擬)已知向量a，b滿足|a|＝2|b|≠0，且關(guān)于x的函數(shù)f(x)＝－2x3＋3|a|x2＋6abx＋5在R上單調(diào)遞減，則向量a，b夾角的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 點評　求向量的夾角時要注意：(1)向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，(2)數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不能共線時兩向量的夾角為鈍角. 變式訓練2　若兩個非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，則向量b與a＋b的夾角為(　　) A. B. C. D. 題型三　利用數(shù)量積求向量的模 例3　(1)已知平面向量a和b，|a|＝1，|b|＝2，且a與b的夾角為120，則|2a＋b|等于(　　) A.2 B.4 C.2 D.6 (2)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的動點，則|＋3|的最小值為________. 點評　(1)把幾何圖形放在適當?shù)淖鴺讼抵?，給有關(guān)向量賦以具體的坐標求向量的模，如向量a＝(x，y)，求向量a的模只需利用公式|a|＝即可求解. (2)向量不放在坐標系中研究，求解此類問題的方法是利用向量的運算法則及其幾何意義或應用向量的數(shù)量積公式，關(guān)鍵是會把向量a的模進行如下轉(zhuǎn)化：|a|＝. 變式訓練3　(2015浙江)已知e1，e2是空間單位向量，e1e2＝，若空間向量b滿足be1＝2，be2＝，且對于任意x，y∈R，|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1(x0，y0∈R)，則x0＝__________，y0＝________，|b|＝________. 高考題型精練 1.(2015山東)已知菱形ABCD 的邊長為a，∠ABC＝60，則 等于(　　) A.－a2 B.－a2 C.a2 D.a2 2.(2014浙江)記max{x，y}＝min{x，y}＝設(shè)a，b為平面向量，則(　　) A.min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|} B.min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|} C.max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2 D.max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2 3.(2015湖南)已知點A，B，C在圓x2＋y2＝1上運動，且AB⊥BC.若點P的坐標為(2,0)，則|＋＋|的最大值為(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 4.如圖，在等腰直角△ABO中，OA＝OB＝1，C為AB上靠近點A的四等分點，過C作AB的垂線l，P為垂線上任一點，設(shè)＝a，＝b，＝p，則p(b－a)等于(　　) A.－ B. C.－ D. 5.在平面上，⊥，||＝||＝1，＝＋.若||<，則||的取值范圍是(　　) A.(0，] B.(，] C.(，] D.(，] 6.如圖所示，△ABC中，∠ACB＝90且AC＝BC＝4，點M滿足＝3，則等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 7.(2014安徽)設(shè)a，b為非零向量，|b|＝2|a|，兩組向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2個a和2個b排列而成.若x1y1＋x2y2＋x3y3＋x4y4所有可能取值中的最小值為4|a|2，則a與b的夾角為(　　) A. B. C. D.0 8.(2014江蘇)如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，＝2，則的值是________. 9.設(shè)非零向量a，b的夾角為θ，記f(a，b)＝acos θ－bsin θ.若e1，e2均為單位向量，且e1e2＝，則向量f(e1，e2)與f(e2，－e1)的夾角為________. 10.(2015湖南衡陽八中第六次月考)已知點O是銳角△ABC的外心，AB＝8，AC＝12，A＝.若＝x＋y，則6x＋9y＝________. 11.已知向量a＝(sin x，)，b＝(cos x，－1). (1)當a∥b時，求cos2x－sin 2x的值； (2)設(shè)函數(shù)f(x)＝2(a＋b)b，已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝，b＝2，sin B＝，求f(x)＋4cos(2A＋)(x∈[0，])的取值范圍. 　 　 　 　 　 　 12.(2015黃岡模擬)在△ABC中，AC＝10，過頂點C作AB的垂線，垂足為D，AD＝5，且滿足＝. (1)求|－|； (2)存在實數(shù)t≥1，使得向量x＝＋t，y＝t＋，令k＝xy，求k的最小值. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 答案精析 第21練　關(guān)于平面向量數(shù)量積運算的三類經(jīng)典題型 ?？碱}型精析 例1　(1)2　(2)D 解析　(1)如圖， ＝(＋)(＋)＝(＋)(＋) ＝＋＋＋ ＝22cos 120＋22＋22＋22cos 120＝－2＋＋－＝－， 又∵＝1，∴－＝1，∴λ＝2. (2)方法一　設(shè)||＝||＝x，∠APB＝θ， 則tan ＝， 從而cos θ＝＝. ＝||||cos θ ＝x2＝ ＝ ＝x2＋1＋－3≥2－3， 當且僅當x2＋1＝， 即x2＝－1時取等號， 故的最小值為2－3. 方法二　設(shè)∠APB＝θ，0<θ<π， 則||＝||＝. ＝||||cos θ ＝()2cos θ ＝(1－2sin2) ＝. 令x＝sin2，0|a－b|，此時，|a＋b|2>|a|2＋|b|2；當a，b夾角為鈍角時，|a＋b|<|a－b|，此時，|a－b|2>|a|2＋|b|2；當a⊥b時，|a＋b|2＝|a－b|2＝|a|2＋|b|2，故選D.] 3.B [∵A，B，C在圓x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，∴AC為圓直徑，故＋＝2＝(－4,0)，設(shè)B(x，y)，則x2＋y2＝1且x∈[－1,1]，＝(x－2，y)，∴＋＋＝(x－6，y).故|＋＋|＝，∴x＝－1時有最大值＝7，故選B.] 4.A [以O(shè)A，OB所在直線分別作為x軸，y軸， O為坐標原點建立平面直角坐標系， 則A(1,0)，B(0,1)，C(，)， 直線l的方程為y－＝x－， 即x－y－＝0. 設(shè)P(x，x－)，則p＝(x，x－)， 而b－a＝(－1,1)， 所以p(b－a)＝－x＋(x－)＝－.] 5.D [由題意，知B1，B2在以O(shè)為圓心的單位圓上，點P在以O(shè)為圓心，為半徑的圓的內(nèi)部. 又⊥，＝＋， 所以點A在以B1B2為直徑的圓上， 當P與O點重合時，||取得最大值， 當P在半徑為的圓周上時，||取得最小值， 故選D.] 6.C [在△ABC中，因為∠ACB＝90且AC＝BC＝4，所以AB＝4，且B＝A＝45.因為＝3，所以＝.所以＝(＋)＝2＋＝2＋＝16＋44cos 135＝4.] 7.B [設(shè)a與b的夾角為θ，由于xi，yi(i＝1,2,3,4)均由2個a和2個b排列而成，記S＝(xiyi)，則S有以下三種情況： ①S＝2a2＋2b2；②S＝4ab；③S＝|a|2＋2ab＋|b|2. ∵|b|＝2|a|，∴①中S＝10|a|2，②中S＝8|a|2cos θ，③中S＝5|a|2＋4|a|2cos θ. 易知②最小，即8|a|2cos θ＝4|a|2， ∴cos θ＝，可求θ＝，故選B.] 8.22 解析　由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因為＝2，所以(＋)(－)＝2，即2－－2＝2.又因為2＝25，2＝64，所以＝22. 9. 解析　由e1e2＝，可得cos〈e1，e2〉＝＝， 故〈e1，e2〉＝，〈e2，－e1〉＝π－〈e2，e1〉＝. f(e1，e2)＝e1cos －e2sin ＝e1－e2， f(e2，－e1)＝e2cos －(－e1)sin ＝e1－e2. f(e1，e2)f(e2，－e1)＝(e1－e2)(e1－e2)＝－e1e2＝0， 所以f(e1，e2)⊥f(e2，－e1). 故向量f(e1，e2)與f(e2，－e1)的夾角為. 10.5 解析　如圖，設(shè)點O在AB，AC上的射影是點D，E，它們分別為AB，AC的中點，連接OD，OE.由數(shù)量積的幾何意義，可得＝||||＝32，＝||||＝72，依題意有＝x2＋y＝64x＋48y＝32，即4x＋3y＝2，＝x＋y2＝48x＋144y＝72，即2x＋6y＝3，將兩式相加可得6x＋9y＝5. 11.解　(1)因為a∥b，所以cos x＋sin x＝0. 所以tan x＝－. 故cos2x－sin 2x＝ ＝＝. (2)f(x)＝2(a＋b)b ＝2(sin x＋cos x，－)(cos x，－1) ＝sin 2x＋cos 2x＋ ＝sin(2x＋)＋. 由正弦定理，得＝， 所以sin A＝＝＝. 所以A＝或A＝.因為b>a，所以A＝. 所以f(x)＋4cos(2A＋)＝sin(2x＋)－. 因為x∈[0，]，所以2x＋∈[，]. 所以－1≤f(x)＋4cos(2A＋)≤－. 所以f(x)＋4cos(2A＋)的取值范圍為[－1，－]. 12.解　(1)由＝，且A，B，D三點共線， 可知||＝||.又AD＝5，所以DB＝11. 在Rt△ADC中，CD2＝AC2－AD2＝75， 在Rt△BDC中，BC2＝DB2＋CD2＝196， 所以BC＝14. 所以|－|＝||＝14. (2)由(1)，知||＝16，||＝10，||＝14. 由余弦定理，得cos A＝＝. 由x＝＋t，y＝t＋， 知k＝xy ＝(＋t)(t＋) ＝t||2＋(t2＋1)＋t||2 ＝256t＋(t2＋1)1610＋100t ＝80t2＋356t＋80. 由二次函數(shù)的圖象，可知該函數(shù)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增， 所以當t＝1時，k取得最小值516.