最小二乘法LSQ(leastsquare)計算公式.ppt

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最小二乘法,在工程問題中，常常需要根據(jù)兩個變量的幾組實驗數(shù)值——實驗數(shù)據(jù)，來找出這兩個變量的函數(shù)關(guān)系的近似表達式．通常把這樣得到的函數(shù)的近似表達式叫做經(jīng)驗公式.,一、經(jīng)驗公式,問題：如何得到經(jīng)驗公式，常用的方法是什么？,二、最小二乘法,例1,為了測定刀具的磨損速度，我們做這樣的實驗：經(jīng)過一定時間(如每隔一小時)，測量一次刀具的厚度,得到一組試驗數(shù)據(jù)如下：,,如圖，在坐標紙上畫出這些點，,因為這些點本來不在一條直線上，我們只能要求選取這樣的，使得在處的函數(shù)值與實驗數(shù)據(jù)相差都很?。?解,就是要使偏差,都很小.,因此可以考慮選取常數(shù)，使得,定義這種根據(jù)偏差的平方和為最小的條件來選擇常數(shù)的方法叫做最小二乘法．,這種確定常數(shù)的方法是通常所采用的.,最小來保證每個偏差的絕對值都很?。?把看成自變量和的一個二元函數(shù)，,那么問題就可歸結(jié)為求函數(shù)在那些點處取得最小值.,即,將括號內(nèi)各項進行整理合并，并把未知數(shù)和分離出來，便得,計算得,代入方程組（1）得,解此方程組，得到,這樣便得到所求經(jīng)驗公式(回歸方程)為,由（2）式算出的函數(shù)值與實測的有一定的偏差.現(xiàn)列表比較如下：,偏差的平方和，它的平方根．,我們把稱為均方誤差，它的大小在一定程度上反映了用經(jīng)驗公式來近似表達原來函數(shù)關(guān)系的近似程度的好壞．,例2在研究單分子化學反應速度時，得到下列數(shù)據(jù)：,其中表示從實驗開始算起的時間，表示時刻反應物的量．試定出經(jīng)驗公式,解,由化學反應速度的理論知道，應是指數(shù)函數(shù)：,其中和是待定常數(shù).,由于,討論：,通過計算得,將他們代入方程組（3）得,解這方程組，得,因此所求經(jīng)驗公式為,三、小結(jié),最小二乘法的原理：,注意：計算機與數(shù)據(jù)擬合．（參看高等數(shù)學實驗課講義郭錫伯徐安農(nóng)編）,