高考數(shù)學（精講+精練+精析）專題6_3 數(shù)列的綜合問題試題 文（含解析）

《高考數(shù)學（精講+精練+精析）專題6_3 數(shù)列的綜合問題試題 文（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數(shù)學（精講+精練+精析）專題6_3 數(shù)列的綜合問題試題 文（含解析）（28頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

專題6.3 數(shù)列的綜合問題試題 文 【三年高考】 1. 【2016高考浙江文數(shù)】如圖，點列分別在某銳角的兩邊上，且 ，.(P≠Q(mào)表示點P與Q不重合)若，為的面積，則（ ） A.是等差數(shù)列 B.是等差數(shù)列 C.是等差數(shù)列 D.是等差數(shù)列 【答案】A 【解析】表示點到對面直線的距離（設為）乘以長度一半，即，由題目中條件可知的長度為定值，那么我們需要知道的關系式，過作垂直得到初始距離，那么和兩個垂足構成了等腰梯形，那么，其中為兩條線的夾角，即為定值，那么，，作差后：，都為定值，所以為定值．故選A． 2. 【2016高考新課標1文數(shù)】已知是公差為3的等差數(shù)列,數(shù)列滿足,. （I）求的通項公式； （II）求的前n項和. 3. 【2016高考天津文數(shù)】已知是等比數(shù)列，前n項和為，且. (Ⅰ)求的通項公式； (Ⅱ)若對任意的是和的等差中項，求數(shù)列的前2n項和. 【解析】（Ⅰ）設數(shù)列的公比為，由已知有，解之可得，又由知，所以，解之得，所以. （Ⅱ）由題意得，即數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列.設數(shù)列的前項和為，則 4. 【2016高考四川文科】已知數(shù)列{ }的首項為1， 為數(shù)列的前n項和， ，其中q>0， . （Ⅰ）若 成等差數(shù)列，求的通項公式； （Ⅱ）設雙曲線 的離心率為 ，且 ，求. 5. 【2015高考浙江，文10】已知是等差數(shù)列，公差不為零．若，，成等比數(shù)列，且，則 ， ． 【答案】 【解析】由題可得，，故有，又因為，即，所以. 6.【2015高考福建，文16】若 是函數(shù) 的兩個不同的零點，且 這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列，則 的值等于________． 【答案】9 7.【2015高考湖南，文21】函數(shù)，記為的從小到大的第個極值點. （I）證明：數(shù)列是等比數(shù)列； （II）若對一切恒成立，求的取值范圍. 【解析】（I） ， 令，由，得，即， 而對于，當時，若，即，則；若，即，則；因此，在區(qū)間與上，的符號總相反，于是當時，取得極值，所以，此時，，易知，而是常數(shù)，故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列. （II）對一切恒成立，即恒成立，亦即恒成立， 設，則，令得，當時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；當時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；因為，且當時，所以，因此，恒成立，當且僅當，解得，故實數(shù)的取值范圍是. 8.【2015高考陜西，文21】設 (I)求； (II)證明：在內(nèi)有且僅有一個零點（記為），且. 9.【2015高考上海，文23】已知數(shù)列與滿足，. （1）若，且，求數(shù)列的通項公式； （2）設的第項是最大項，即，求證：數(shù)列的第項是最大項； （3）設，，求的取值范圍，使得對任意，，，且 . 【解析】（1）因為，，所以，所以是等差數(shù)列，首項為，公差為6，即. （2）由，得，所以為常數(shù)列，，即，因為，，所以，即， 所以的第項是最大項. （3）因為，所以，當時， ， 當時，，符合上式，所以，因為，且對任意，， 故，特別地，于是，此時對任意，，當時，，，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，的最大值為，最小值為，由題意，的最大值及最小值分別是及， 由及，解得，綜上所述，的取值范圍是. 10.【2014高考陜西卷文第14題】已知，若，則的表達式為________. 【答案】 11. 【2014高考上海文第23題】已知數(shù)列滿足. （1） 若，求的取值范圍； （2） 若是等比數(shù)列，且，正整數(shù)的最小值，以及取最小值時相應的僅比； （3） 若成等差數(shù)列，求數(shù)列的公差的取值范圍. 12.【2014高考湖北卷文第19題】已知等差數(shù)列滿足：，且、、成等比數(shù)列. （1）求數(shù)列的通項公式. （2）記為數(shù)列的前項和，是否存在正整數(shù)，使得若存在，求的最小值；若不存在，說明理由. 【解析】（1）設數(shù)列的公差為，依題意，成等比數(shù)列，所以，解得或，當時，；當時，，所以數(shù)列的通項公式為或. （2）當時，，顯然，不存在正整數(shù)，使得.當【三年高考命題回顧】 縱觀前三年各地高考試題, 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，數(shù)列與應用問題的結合，數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、向量、平面解析幾何、向量、三角函數(shù)的有機結合，互相滲透，已經(jīng)成為近年來高考的熱點和重點． 【2017年高考復習建議與高考命題預測】 由前三年的高考命題形式可以看出，對等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合考察,“巧用性質(zhì)、減少運算量”在等差、等比數(shù)列的計算中非常重要，但用“基本量法”并樹立“目標意識”“需要什么，就求什么” ， 既要充分合理地運用條件，又要時刻注意題的目標，往往能取得 與“巧用性質(zhì)”解題相同的效果．對數(shù)列與應用問題的結合的考察，主要是將實際應用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型，關鍵是要熟悉等差數(shù)列模型、等比數(shù)列模型，以及注意項與項之間的遞推關系．數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式的結合，此類問題抓住一個中心-----函數(shù),一是數(shù)列和函數(shù)的密切聯(lián)系，數(shù)列的通項公式是數(shù)列的核心，函數(shù)的解析式是研究函數(shù)問題的基礎；二是方程、不等式與函數(shù)的聯(lián)系，注意利用它們的對應關系解題．數(shù)列與其他知識的結合，主要是通過三角函數(shù)或者解析幾何或者向量中包含的等量關系，得出數(shù)列的遞推公式或者通項公式，進而利用數(shù)列知識求解．數(shù)列問題是每年必考題目，預測2017年會繼續(xù)考查，以等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合應用題為主，要靈活掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)． 【2017年高考考點定位】 高考對數(shù)列綜合應用問題的考查有四種主要形式：一是等差、等比的綜合應用；二是等差、等比數(shù)列在實際中的應用；三是數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式等其他知識的交匯考察． 【考點1】等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應用 【備考知識梳理】 1．等差數(shù)列的判定： ①（為常數(shù)）；②；③（為常數(shù)）；④（為常數(shù)）．其中用來證明方法的有①②． 2.等比數(shù)列的判定：①（）；②（）；③； ④其中用來證明方法的有①②． 3．等差數(shù)列的通項公式： ， 2．等比數(shù)列的通項公式：， 4．等差數(shù)列前n項和公式：Sn= Sn= 5.等比數(shù)列前n項和公式：當q=1時，Sn=n a1 (是關于n的正比例式)； 當q≠1時，Sn= Sn= 6等差數(shù)列{an}中，若m+n=p+q，則 7等比數(shù)列{an}中，若m+n=p+q，則 8等差數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項的和構成的數(shù)列、……仍為等差數(shù)列. 9等比數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項的和構成的數(shù)列……仍為等比數(shù)列（當m為偶數(shù)且公比為-1的情況除外） 10兩個等差數(shù)列{an}與{bn}的和差的數(shù)列{an+bn}、{an-bn}仍為等差數(shù)列 11兩個等比數(shù)列{an}與{bn}的積、商、倒數(shù)的數(shù)列{anbn}、、仍為等比數(shù)列 12.等差數(shù)列{an}的任意等距離的項構成的數(shù)列仍為等差數(shù)列 13等比數(shù)列{an}的任意等距離的項構成的數(shù)列仍為等比數(shù)列 14．等差中項公式：A= （有唯一的值） 15. 等比中項公式：G= （ab>0，有兩個值） 【規(guī)律方法技巧】 解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題，關鍵是理清兩個數(shù)列的關系．如果同一數(shù)列中部分項成等差數(shù)列，部分項成等比數(shù)列，要把成等差數(shù)列或等比數(shù)列的項抽出來單獨研究；如果兩個數(shù)列通過運算綜合在一起，要從分析運算入手，把兩個數(shù)列分割開，弄清兩個數(shù)列各自的特征，再進行求解． 【考點針對訓練】 1. 【2016年江西省四校高三一模測試】已知數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，若,則的值是（ ） A.1 B. C . D. 【答案】D 2. 【2016年廣州市畢業(yè)班綜合測試】已知數(shù)列是等比數(shù)列，，是和的等差中項. （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）設，求數(shù)列的前項和. 【解析】（Ⅰ）設數(shù)列的公比為，因為，所以，．因為是和的等差中項，所以．即，化簡得．因為公比，所以． 所以（）． （Ⅱ）因為，所以．所以． 則， ① . ② ① －②得，， ，所以． 【考點2】等差數(shù)列、等比數(shù)列的實際應用 【備考知識梳理】 解數(shù)列應用題的建模思路 從實際出發(fā)，通過抽象概括建立數(shù)學模型，通過對模型的解析，再返回實際中去，其思路框圖為： 【規(guī)律方法技巧】 1.等差、等比數(shù)列的應用題常見于：產(chǎn)量增減、價格升降、細胞繁殖等問題，求利率、增長率等問題也常歸結為數(shù)列建模問題. 2.將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題時應注意：（1）分清是等差數(shù)列還是等比數(shù)列；（2）分清是求an還是求Sn，特別要準確地確定項數(shù)n. 【考點針對訓練】 1. 【2016屆淮北一中高三最后一卷】 南北朝時期的數(shù)學古籍《張邱建算經(jīng)》有如下一道題：“今有十等人，每等一人，宮賜金以等次差（即等差）降之，上三人，得金四斤，持出：下四人后入得三斤，持出：中間 三人未到者，亦依等次更給，問：每等人比下等人多得幾斤？”（ ） A． B． C． D． 【答案】B 2．【2016屆廣東省華南師大附中高三5月測試】《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學著作之一．書中有一道這樣的題目：把個面包分給五個人，使每人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，問最小份為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】設五個人所分得的面包為（其中）；則由，得，所以，最小的1分為．故選A． 【考點3】數(shù)列與其他知識的交匯 【備考知識梳理】 數(shù)列在高考中多與函數(shù)、不等式、解析幾何、向量交匯命題，近年由于對數(shù)列要求降低，但仍有一些省份在考查數(shù)列與其他知識的交匯.歸納起來常見的命題角度有： 1)數(shù)列與不等式的交匯； 2)數(shù)列與函數(shù)的交匯； 3)數(shù)列與解析幾何的交匯. 【規(guī)律方法技巧】 1．解決數(shù)列與不等式的綜合問題時，如果是證明題要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等；如果是解不等式問題要使用不等式的各種不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等．總之解決這類問題把數(shù)列和不等式的知識巧妙結合起來綜合處理就行了． 2．解決數(shù)列與函數(shù)、方程、三角函數(shù)、向量等知識結合的問題時，要通過其他知識，把問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列項的遞推式或通項公式轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題處理． 【考點針對訓練】 1. 【2016屆寧夏石嘴山三中高三下三?！吭O是數(shù)列的前項和，時點在直線上，且的首項是二次函數(shù)的最小值，則的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 2. 【2016屆吉林省白城一中高三下4月】已知函數(shù)，且，設等差數(shù)列的前項和為，若，則的最小值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【應試技巧點撥】 1．運用方程的思想解等差(比)數(shù)列是常見題型，解決此類問題需要抓住基本量(或)，掌握好設未知數(shù)、列出方程、解方程三個環(huán)節(jié)，常通過“設而不求，整體代入”來簡化運算． 2．深刻理解等差(比)數(shù)列的定義，能正確使用定義和等差(比)數(shù)列的性質(zhì)是學好本章的關鍵．解題時應從基礎處著筆，首先要熟練掌握這兩種基本數(shù)列的相關性質(zhì)及公式，然后要熟悉它們的變形使用，善用技巧，減少運算量，既準又快地解決問題． 3．關于等差(等比)數(shù)列的基本運算，一般通過其通項公式和前n項和公式構造關于 (或)的方程或方程組解決，如果在求解過程中能夠靈活運用等差(等比)數(shù)列的性質(zhì)，不僅可以快速獲解，而且有助于加深對等差(等比)數(shù)列問題的認識． (1)在等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題中，特別要注意它們的區(qū)別，避免用錯公式．(2)方程思想的應用往往是破題的關鍵． 4．數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，即數(shù)列是一個定義在非零自然數(shù)集或其子集上的函數(shù)，當自變量依次從小到大取值時所對應的一列函數(shù)值，就是數(shù)列．因此，在研究函數(shù)問題時既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要考慮數(shù)列方法的特殊性． 二年模擬 1. 【湖北2016年9月三校聯(lián)考】在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，且成等差數(shù)列，記Sn是數(shù)列{an}的前n項和，則 ( ) A．32 B．62 C．27 D．81 【答案】B 2. 【2017屆廣州省惠州市高三第一次調(diào)研】設，，若是和的等比中項，則的最小值為（ ） A． B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解析】因為，所以， 當且僅當即時“=”成立，故選C 3. 【2016年江西九江高三模擬】已知數(shù)列各項均不為，其前項和為，且，則______. 【答案】 【解析】法一： 當時，，即，∴.當時，，，兩式相減得，∵，∴，∴，都是公差為的等差數(shù)列，又，，∴是公差為的等差數(shù)列，∴，∴． 法二：通過觀察，發(fā)現(xiàn)剛好符合條件，故． 4. 【2016年湖北高三八校聯(lián)考】已知數(shù)列的前項和為，對任意，且恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 ． 【答案】 5. 【2016屆河南省鄭州一中高三考前沖刺五】設數(shù)列滿足，點對任意的，都有向量，則數(shù)列的前n項和_____. 【答案】 【解析】由點對任意的，都有向量，可得，數(shù)列是等差數(shù)列，公差為.由，則，可得，那么.故本題答案應填. 6.【2016屆上海市七寶中學高三模擬】設，且為常數(shù)，若存在一公差大于0的等差數(shù)列（），使得為一公比大于1的等比數(shù)列，請寫出滿足條件的一組的值________. 【答案】（答案不唯一，一組即可） 【解析】由題設可取,此時,存在數(shù)列,滿足題設,應填答案. 7. 【2016屆黑龍江大慶實驗中學高三考前訓練一】在正項等比數(shù)列中，，，則滿足的最大正整數(shù)的值為________． 【答案】 8. 【2016年江西師大附中高三二模】在公比為的等比數(shù)列中，與的等差中項是. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若函數(shù)，，的一部分圖像如圖所示，，為圖像 上的兩點，設，其中與坐標原點重合，，求的值. 9.【2016屆廣東省華南師大附中高三5月測試】已知函數(shù)，數(shù)列的前項和為，點（）均在函數(shù)的圖象上． （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）令，證明：． 【解析】（Ⅰ）點在的圖象上，，當時，； 當時，適合上式，（）； （Ⅱ）由，，又，， 成立． 10. 【2016屆河南省鄭州一中高三考前沖刺二】已知數(shù)列的前項和，且. （1）求數(shù)列的通項公式； （2）令，是否存在，使得成等比數(shù)列？若存在，求出所有符合條件的k值；若不存在，請說明理由. 11. 【2015屆福建省泉州五中高三模擬】已知數(shù)列是正項等差數(shù)列，若，則數(shù)列也為等差數(shù)列．已知數(shù)列是正項等比數(shù)列，類比上述結論可得 A．若滿足，則也是等比數(shù)列 B．若滿足，則也是等比數(shù)列 C．若滿足，則也是等比數(shù)列 D．若滿足，則也是等比數(shù)列 【答案】D 【解析】根據(jù)等比數(shù)列構造新的等比數(shù)列，乘積變化為乘方，，原來的除法為開方，，故答案為D． 12.【2015屆河南省南陽市一中高三下學期第三次模擬】已知數(shù)列是各項均不為的等差數(shù)列，為其前項和，且滿足．若不等式對任意的恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 ． 【答案】 13. 【2015屆福建省泉州五中高三模擬】若數(shù)列滿足“對任意正整數(shù)，恒成立”，則稱數(shù)列為“差非增數(shù)列”． 給出下列數(shù)列： ①，②，③，④，⑤． 其中是“差非增數(shù)列”的有________（寫出所有滿足條件的數(shù)列的序號）． 【答案】③④． 【解析】由，得，或者，對應①，令時， ，，不滿足，①不是；對應②， ，，不滿足，②不是；對應③，，，滿足是差非增數(shù)列；對應④，，， ，，是差非增數(shù)列；對于⑤，令時，，，不對，故答案為③④． 14.【2015屆甘肅省天水市一中高三高考信息卷一】已知數(shù)列的前項和為，，，． （Ⅰ）求證：數(shù)列是等比數(shù)列； （Ⅱ）設數(shù)列的前項和為，，點在直線上，若不等式對于恒成立，求實數(shù)的最大值． 令，則，兩式相減得，所以 由恒成立，即恒成立，又，故當時，單調(diào)遞減；當時，；當時，單調(diào)遞增；當時，； 則的最小值為，所以實數(shù)的最大值是 15. 【2015屆江蘇省揚州市高三第四次調(diào)研】設個正數(shù)依次圍成一個圓圈．其中是公差為的等差數(shù)列，而是公比為的等比數(shù)列． （1）若，，求數(shù)列的所有項的和； （2）若，，求的最大值； （3）是否存在正整數(shù)，滿足？若存在，求出值； 若不存在，請說明理由． 拓展試題以及解析 1．已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，，成等差數(shù)列，則=（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】設等比數(shù)列的公比為，因為，，成等差數(shù)列，所以，所以 ，解得或（舍），所以，故選D. 【入選理由】本題考查等比數(shù)列與等差數(shù)列通項公式等基礎知識，意在考查學生轉(zhuǎn)化與化歸能力、綜合分析問題解決問題的能力以及運算求解能力．本題是等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合應用,也是高考?？碱}型，故選此題． 2.我國數(shù)學史上有一部堪與歐幾里得《幾何原本》媲美的書，這就是歷來被尊為算經(jīng)之首的《九章算術》，其中卷第七《盈不足》有一道關于等比數(shù)列求和試題：“今有蒲生一日，長三尺.莞生一日，長一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.問幾何日而長等？”其意思是：今有蒲生1日，長3尺.莞生1日，長1尺.蒲的生長逐日減其一半，莞的生長逐日增加1倍，問幾日蒲（水生植物名）、莞（植物名）長度相等．試估計___________日蒲、莞長度相等（結果采取“只入不舍”原則取整數(shù)，相關數(shù)據(jù)：，） 【答案】3 【入選理由】本題考查等比數(shù)列的定義與前項和等基礎知識，意在考查學生的邏輯思維能力、閱讀能力、獲取信息的能力．本題是數(shù)列的實際應用問題,高考每過幾年都會涉及，故選此題． 3.已知定義在上的函數(shù)滿足，當時，，設在上的最大值為，且的前項和為，則= ． 【答案】 【入選理由】本題主要考查指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)、分段函數(shù)的最值、等比數(shù)列的前n項和公式等基礎知識，意在考查學生轉(zhuǎn)化與化歸能力、綜合分析問題解決問題的能力以及運算求解能力．本題綜合性較高，試題難度不大，但知識交匯比較多，高考越來重視知識交匯命題，故數(shù)列與其他知識交匯命題更顯得重要，故選此題． 4.已知等差數(shù)列的首項，公差，為數(shù)列的前項和.若向量，，且，則的最小值為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，，且，得，即，，又，所以.從而，，則，當且僅當，即時，上式等號成立，所以的最小值為4.故選A． 【入選理由】本題主要考查向量的坐標運算,向量的數(shù)量積,等差數(shù)列的前n項和公式,等差數(shù)列的通項公式,基本不等式等基礎知識，意在考查學生轉(zhuǎn)化與化歸能力、綜合分析問題解決問題的能力以及運算求解能力．本題綜合性較高，試題難度不大，巧妙地與向量,不等式結合起來,有新意，故選此題． 5.設等差數(shù)列的前項和為，,若,且,數(shù)列的前項和為，且滿足 . （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式及數(shù)列的前項和； （Ⅱ）是否存在非零實數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列？并說明理由. 【入選理由】本題考查等差數(shù)列的定義、數(shù)列求和、等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎知識，意在考查學生轉(zhuǎn)化與化歸能力、綜合分析問題解決問題的能力以及運算求解能力．本題是一個探索性試題,作為數(shù)列全國卷中一般都不是太難,此題難度適中，故選此題． 6.設數(shù)列的前項和為，已知(n∈N*). （1）求的值，若，證明數(shù)列是等差數(shù)列； （2）設，數(shù)列的前項和為，若存在整數(shù)，使對任意n∈N*且n ≥2，都有成立，求的最大值. 【入選理由】本題考查數(shù)列的通項公式,等差數(shù)列的判定、放縮法、數(shù)列求和方法、不等式的證明,不等式恒成立等基礎知識，意在考查學生轉(zhuǎn)化與化歸能力、綜合分析問題解決問題的能力以及運算求解能力．本題綜合性較高，試題難度不大，但知識交匯比較多，構思巧,技巧性大，故選此題． 7.已知數(shù)列的前項和． （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）記，，設數(shù)列的前項和為，求． （Ⅲ）設為數(shù)列的前項的和，若不等式 對任意的恒成立，試求正實數(shù) 的取值范圍． 【入選理由】本題考查數(shù)列的通項公式與前項和關系、等差數(shù)列等比數(shù)列通項公式求法、拆項相消求數(shù)列前n項和等基礎知識，意在考查學生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力和運算求解能力．以及運算求解能力．本題等差與等比綜合，試題難度中等，題目不偏不怪，卻考查學生綜合分析問題能力，故選此題． 8.已知數(shù)列的前項和為，（）. （1）求數(shù)列的通項公式； （2）若數(shù)列滿足，記，求證：（）. 【入選理由】本題主要考查等比數(shù)列的基本運算，數(shù)列前項和的求解等基礎知識，意在考查學生轉(zhuǎn)化與化歸能力, 綜合分析問題解決問題的能力以及運算求解能力．本題綜合性較高，試題難度不大，近年來數(shù)列與不等式的綜合題目甚多，故選此題．