高考數(shù)學大二輪總復習與增分策略 專題二 函數(shù)與導數(shù) 第3講 導數(shù)及其應用練習 文

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第3講導數(shù)及其應用1(2016四川改編)已知a為函數(shù)f(x)x312x的極小值點，則a_.答案2解析f(x)x312x，f(x)3x212，令f(x)0，則x12，x22.當x(，2)，(2，)時，f(x)0，則f(x)單調(diào)遞增；當x(2,2)時，f(x)0，則f(x)單調(diào)遞減，f(x)的極小值點為a2.2(2016課標全國乙改編)若函數(shù)f(x)xsin 2xasin x在(，)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是_答案解析函數(shù)f(x)xsin 2xasin x在(，)上單調(diào)遞增，f(x)1cos 2xacos x1(2cos2x1)acos xcos2xacos x0，即acos xcos2x在(，)恒成立當cos x0時，恒有0，得aR；當0cos x1時，得acos x，令tcos x，f(t)t在(0,1上為增函數(shù)，得af(1)；當1cos x0是f(x)為增函數(shù)的充分不必要條件，如函數(shù)f(x)x3在(，)上單調(diào)遞增，但f(x)0.2f(x)0是f(x)為增函數(shù)的必要不充分條件，當函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)恒有f(x)0時，則f(x)為常函數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性例2已知函數(shù)f(x)ex(axb)x24x，曲線yf(x)在點(0，f(0)處的切線方程為y4x4.(1)求a，b的值；(2)討論f(x)的單調(diào)性，并求f(x)的極大值解(1)f(x)ex(axb)aex2x4ex(axab)2x4，yf(x)在(0，f(0)處的切線方程為y4x4，f(0)ab44，f(0)b4，a4，b4.(2)由(1)知f(x)4ex(x2)2(x2)2(x2)(2ex1)令f(x)0得x12，x2ln ，列表：x(，2)2ln (ln ，)f(x)00f(x) 極大值極小值yf(x)的單調(diào)增區(qū)間為(，2)，；單調(diào)減區(qū)間為.f(x)極大值f(2)44e2.思維升華利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導函數(shù)f(x)；(3)若求單調(diào)區(qū)間(或證明單調(diào)性)，只要在函數(shù)定義域內(nèi)解(或證明)不等式f(x)0或f(x)0，解得x0，即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)(0，)(2)f(x)的定義域為(0，)f(x)4x.由f(x)0，得x.據(jù)題意，得解得1k0，右側f(x)0，則f(x0)為函數(shù)f(x)的極大值；若在x0附近左側f(x)0，則f(x0)為函數(shù)f(x)的極小值2設函數(shù)yf(x)在a，b上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，則f(x)在a，b上必有最大值和最小值且在極值點或端點處取得例3已知函數(shù)f(x)ax3ln x，其中a為常數(shù)(1)當函數(shù)f(x)的圖象在點處的切線的斜率為1時，求函數(shù)f(x)在上的最小值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，)上既有極大值又有極小值，求a的取值范圍解(1)f(x)a(x0)，由題意可知，f1，解得a1.故f(x)x3ln x，f(x)，根據(jù)題意由f(x)0，得x2.于是可得下表：x2(2,3)3f(x)0f(x)13ln 2f(x)minf(2)13ln 2.(2)f(x)a(x0), 由題意可得方程ax23x20有兩個不等的正實根，不妨設這兩個根為x1，x2，并令h(x)ax23x2，則解得0a.故a的取值范圍為.思維升華(1)求函數(shù)f(x)的極值，則先求方程f(x)0的根，再檢查f(x)在方程根的左右函數(shù)值的符號(2)若已知極值大小或存在情況，則轉化為已知方程f(x)0根的大小或存在情況來求解(3)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b的最值時，在得到極值的基礎上，結合區(qū)間端點的函數(shù)值f(a)，f(b)與f(x)的各極值進行比較得到函數(shù)的最值跟蹤演練3已知函數(shù)f(x)ln xaxa2x2(a0)(1)若x1是函數(shù)yf(x)的極值點，求a的值；(2)若f(x)0在定義域內(nèi)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍解(1)函數(shù)的定義域為(0，)，f(x).因為x1是函數(shù)yf(x)的極值點，所以f(1)1a2a20，解得a(舍去)或a1.經(jīng)檢驗，當a1時，x1是函數(shù)yf(x)的極值點，所以a1.(2)當a0時，f(x)ln x，顯然在定義域內(nèi)不滿足f(x)0時，令f(x)0，得x1(舍去)，x2，所以x，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(0，)(，)f(x)0f(x)極大值所以f(x)maxf()ln 1.綜上可得，a的取值范圍是(1，).1設函數(shù)yf(x)的導函數(shù)為f(x)，若yf(x)的圖象在點P(1，f(1)處的切線方程為xy20，則f(1)f(1)_.押題依據(jù)曲線的切線問題是導數(shù)幾何意義的應用，是高考考查的熱點，對于“過某一點的切線”問題，也是易錯易混點答案4解析依題意有f(1)1,1f(1)20，即f(1)3，所以f(1)f(1)4.2已知函數(shù)f(x)x3ax2bxa27a在x1處取得極大值10，則的值為_押題依據(jù)函數(shù)的極值是單調(diào)性與最值的“橋梁”，理解極值概念是學好導數(shù)的關鍵極值點、極值的求法是高考的熱點答案解析由題意知f(x)3x22axb，f(1)0，f(1)10，即解得或經(jīng)檢驗滿足題意，故.3已知函數(shù)f(x)x2ax3在(0,1)上為減函數(shù)，函數(shù)g(x)x2aln x在(1,2)上為增函數(shù)，則a的值等于_押題依據(jù)函數(shù)單調(diào)性問題是導數(shù)最重要的應用，體現(xiàn)了“以直代曲”思想，要在審題中搞清“在(0,1)上為減函數(shù)”與“函數(shù)的減區(qū)間為(0,1)”的區(qū)別答案2解析函數(shù)f(x)x2ax3在(0,1)上為減函數(shù)，1，得a2.又g(x)2x，依題意g(x)0在x(1,2)上恒成立，得2x2a在x(1,2)上恒成立，有a2，a2.4已知函數(shù)f(x)x，g(x)x22ax4，若任意x10,1，存在x21,2，使f(x1)g(x2)，則實數(shù)a的取值范圍是_押題依據(jù)不等式恒成立或有解問題可以轉化為函數(shù)的值域解決考查了轉化與化歸思想，是高考的一個熱點答案解析由于f(x)10，因此函數(shù)f(x)在0,1上單調(diào)遞增，所以x0,1時，f(x)minf(0)1.根據(jù)題意可知存在x1,2，使得g(x)x22ax41，即x22ax50，即a能成立，令h(x)，則要使ah(x)在x1,2能成立，只需使ah(x)min，又函數(shù)h(x)在x1,2上單調(diào)遞減，所以h(x)minh(2)，故只需a.A組專題通關1設函數(shù)f(x)在(0，)內(nèi)可導，且f(ex)xex，則f(1)_.答案2解析令tex，f(t)tln t(t0)，所以f(x)xln x(x0)f(x)1，f(1)2.2曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程是_答案y解析f(x)的導數(shù)f(x)，曲線在點(1，f(1)處的切線斜率k0， 切點為，曲線在點(1，f(1)處的切線方程為y.3已知a0，函數(shù)f(x)(x22ax)ex.若f(x)在1,1上是單調(diào)遞減函數(shù)，則a的取值范圍是_答案，)解析f(x)exx22(1a)x2a，f(x)在1,1上單調(diào)遞減，f(x)0在1,1上恒成立令g(x)x22(1a)x2a，則解得a.4函數(shù)f(x)x33x的極小值為_答案2解析f(x)3x23，令f(x)0，得x1或x1.當x(1,1)時，f(x)0，函數(shù)yf(x)在(，1)或(1，)上是增函數(shù)，故當x1時，函數(shù)f(x)取得極小值f(1)13312.5已知函數(shù)f(x)xaln x，若曲線yf(x)在點(a，f(a)處的切線過原點，則實數(shù)a的值為_答案e解析因為f(x)1，因此f(a)2ln a1ae.6已知函數(shù)f(x)asin xbx34(a，bR)，f(x)為f(x)的導函數(shù)，則f(2 014)f(2 014)f(2 015)f(2 015)_.答案8解析因為f(x)asin xbx34(a，bR)，所以f(x)acos x3bx2.因為f(x)4asin xbx3為奇函數(shù)，且f(x)acos x3bx2為偶函數(shù)，所以f(2 014)f(2 014)f(2 015)f(2 015)f(2 014)4f(2 014)488.7已知函數(shù)f(x)x32x，若 (a0且a1)，則實數(shù)a的取值范圍是_答案解析因為f(x)3x220，f(x)f(x)，所以f(x)x32x為R上單調(diào)遞增的奇函數(shù)，因此由得即1loga3，當a1時，a3，當0a0，解得a，所以a的取值范圍是(，)9(2016北京)設函數(shù)f(x)xeaxbx，曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程為y(e1)x4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間解(1)f(x)的定義域為R.f(x)eaxxeaxb(1x)eaxb.依題設，即解得a2，be.(2)由(1)知f(x)xe2xex，由f(x)(1xex1)及e2x0知，f(x)與1xex1同號令g(x)1xex1，則g(x)1ex1.當x(，1)時，g(x)0，g(x)在區(qū)間(，1)上單調(diào)遞減；當x(1，)時，g(x)0，g(x)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增故g(1)1是g(x)在區(qū)間(，)上的最小值，從而g(x)0，x(，)，綜上可知，f(x)0，x(，)故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)10已知函數(shù)f(x)ln x，x1,3(1)求f(x)的最大值與最小值；(2)若f(x)4at對任意的x1,3，t0,2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍解(1)函數(shù)f(x)ln x，f(x)，令f(x)0，得x2或x2(舍去)x1,3，當1x2時，f(x)0；當2x0.f(x)在(1,2)上是單調(diào)減函數(shù)，在(2,3)上是單調(diào)增函數(shù)，f(x)在x2處取得極小值f(2)ln 2.又f(1)，f(3)ln 3，ln 31，(ln 3)ln 310，f(1)f(3)，當x1時，f(x)取得最大值為.當x2時，f(x)取得最小值為ln 2.(2)由(1)知，當x1,3時，f(x)，故對任意x1,3，f(x)對任意t0,2恒成立，即at恒成立，記g(t)at，t0,2解得a0，則ef(2 015)_f(2 016)(填“”“解析令g(x)，則g(x)g(2 016)，即，ef(2 015)f(2 016)12(2016江蘇蘇北三市高三最后一次模擬)若點P，Q分別是曲線y與直線4xy0上的動點，則線段PQ長的最小值為_答案解析設兩直線4xym與y相切，P為切點由y得4x1，因此P(1,5)或P(1，3)，m9或m7，兩直線4xym,4xy0間距離分別為或，故線段PQ長的最小值為.13設函數(shù)f(x)x3mx2m(m0)(1)當m1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間；(2)設g(x)|f(x)|，求函數(shù)g(x)在區(qū)間0，m上的最大值解(1)當m1時，f(x)x3x21.f (x)3x22xx(3x2)由f (x)0，解得x0或x.所以函數(shù)f(x)的減區(qū)間是(，0)，(，). (2)依題意m0.因為f(x)x3mx2m，所以f (x)3x22mxx(3x2m)由f (x)0，得x或x0. 當0x時，f (x)0，所以f(x)在(0，)上為增函數(shù)；當xm時，f (x)0，所以f(x)在(，m)上為減函數(shù)；所以，f(x)極大值f()m3m.當m3mm，即m時，ymaxm3m. 當m3mm，即0m時，ymaxm.綜上，ymax