高考數(shù)學(xué) 考前3個月知識方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識方法篇 專題4 三角函數(shù)與平面向量 第16練 三角函數(shù)的化簡與求值 文

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第16練　三角函數(shù)的化簡與求值 [題型分析高考展望]　三角函數(shù)的化簡與求值在高考中頻繁出現(xiàn)，重點考查運(yùn)算求解能力．運(yùn)算包括對數(shù)字的計算、估值和近似計算，對式子的組合變形與分解變形，屬于比較簡單的題目，這就要求在解決此類題目時不能丟分，由于三角函數(shù)部分公式比較多，要熟練記憶、掌握并能靈活運(yùn)用． 體驗高考 1．(2015課標(biāo)全國Ⅰ)sin 20cos 10－cos 160sin 10等于(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　D 解析　sin 20cos 10－cos 160sin 10 ＝sin 20cos 10＋cos 20sin 10 ＝sin 30＝. 2．(2015重慶)若tan α＝2tan ，則等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析?。? ＝＝ ＝＝＝3. 3．(2016四川)cos2－sin2＝________. 答案　 解析　由題可知，cos2－sin2＝cos＝. 4．(2016課標(biāo)全國甲)若cos＝，則sin 2α等于(　　) A. B. C．－ D．－ 答案　D 解析　因為sin 2α＝cos＝2cos2－1， 又因為cos＝， 所以sin 2α＝2－1＝－， 故選D. 5．(2016課標(biāo)全國丙)若tan α＝，則cos2α＋2sin 2α等于(　　) A. B. C．1 D. 答案　A 解析　tan α＝， 則cos2α＋2sin 2α＝ ＝＝. 高考必會題型 題型一　利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡與求值 基本公式：sin2α＋cos2α＝1；tan α＝. 基本方法：(1)弦切互化；(2)“1”的代換，即1＝sin2α＋cos2α；(3)在進(jìn)行開方運(yùn)算時，注意判斷符號． 例1　已知tan α＝2，求： (1)的值； (2)3sin2α＋3sin αcosα－2cos2α的值． 解　(1)方法一　∵tan α＝2， ∴cosα≠0， ∴＝ ＝＝＝. 方法二　由tan α＝2，得sin α＝2cos α，代入得 ＝ ＝＝. (2)3sin2α＋3sin αcosα－2cos2α ＝ ＝ ＝＝. 點評　本題(1)(2)兩小題的共同點：都是正弦、余弦的齊次多項式．對于這樣的多項式一定可以化成切函數(shù)，分式可以分子分母同除“cosα”的最高次冪，整式可以看成分母為“1”，然后用sin2α＋cos2α代換“1”，變成分式后再化簡． 變式訓(xùn)練1　已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值： (1)； (2)sin2α＋sin 2α. 解　由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝＝－. (2)原式＝ ＝＝. 題型二　利用誘導(dǎo)公式化簡與求值 1．六組誘導(dǎo)公式分兩大類，一類是同名變換，即“函數(shù)名不變，符號看象限”；一類是異名變換，即“函數(shù)名稱變，符號看象限”． 2．誘導(dǎo)公式化簡的基本原則：負(fù)化正，大化小，化到銳角為最好！ 例2　(1)設(shè)f(α)＝，則f＝________. (2)化簡：＋ ＝________. 答案　(1)　(2)0 解析　(1)∵f(α)＝ ＝＝＝， ∴f＝ ＝ ＝＝. (2)原式＝＋ ＝－sin α＋sin α＝0. 點評　熟練運(yùn)用誘導(dǎo)公式和基本關(guān)系式，并確定相應(yīng)三角函數(shù)值的符號是解題的關(guān)鍵．另外，切化弦是常用的規(guī)律技巧． 變式訓(xùn)練2　(1)(2016課標(biāo)全國乙)已知θ是第四象限角，且sin＝，則tan＝________. (2)已知cos＝a(|a|≤1)，則cos＋sin＝________. 答案　(1)－　(2)0 解析　(1)將θ－轉(zhuǎn)化為(θ＋)－. 由題意知sin(θ＋)＝，θ是第四象限角， 所以cos(θ＋)＞0， 所以cos(θ＋)＝＝. tan(θ－)＝tan(θ＋－) ＝－tan[－(θ＋)] ＝－＝－ ＝－＝－. (2)cos＝cos ＝－cos＝－a. sin＝sin＝cos＝a， ∴cos＋sin＝0. 題型三　利用其他公式、代換等化簡求值 兩角和與差的三角函數(shù)的規(guī)律有三個方面：(1)變角，目的是溝通題設(shè)條件與結(jié)論中所涉及的角，其手法通常是“配湊”．(2)變名，通過變換函數(shù)名稱達(dá)到減少函數(shù)種類的目的，其手法通常有“切化弦”“升冪與降冪”等．(3)變式，根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行變形，使其更貼近某個公式或某個期待的目標(biāo)，其手法通常有“常值代換”“逆用變用公式”“通分與約分”“分解與組合”“配方與平方”等． 例3　化簡： (1)sin 50(1＋tan 10)； (2). 解　(1)sin 50(1＋tan 10) ＝sin 50(1＋tan 60tan 10) ＝sin 50 ＝sin 50 ＝ ＝＝＝1. (2)原式＝ ＝ ＝ ＝＝cos 2x. 點評　(1)二倍角公式是三角變換的主要公式，應(yīng)熟記、巧用，會變形應(yīng)用． (2)重視三角函數(shù)的“三變”：“三變”是指“變角、變名、變式”．變角：對角的分拆要盡可能化成同名、同角、特殊角；變名：盡可能減少函數(shù)名稱；變式：對式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等．在解決求值、化簡、證明問題時，一般是觀察角度、函數(shù)名、所求(或所證明)問題的整體形式中的差異，再選擇適當(dāng)?shù)墓胶愕茸冃危? 變式訓(xùn)練3　(1)在△ABC中，已知三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，則tan ＋tan ＋tan tan的值為________． (2)的值是(　　) A. B. C. D. (3)若α∈，且3cos 2α＝sin，則sin 2α的值為(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　(1)　(2)C　(3)D 解析　(1)因為三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列， 且A＋B＋C＝π， 所以A＋C＝，＝，tan ＝， 所以tan ＋tan ＋tan tan ＝tan＋tan tan ＝＋tan tan ＝. (2)原式＝ ＝ ＝＝. (3)cos 2α＝sin＝sin ＝2sincos 代入原式，得6sincos＝sin， ∵α∈，sin(－α)≠0， ∴cos＝， ∴sin 2α＝cos ＝2cos2－1＝－. 高考題型精練 1．(2015陜西)“sin α＝cosα”是“cos 2α＝0”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　A 解析　∵sin α＝cosα?cos 2α＝cos2α－sin2α＝0； cos 2α＝0?cosα＝sin α?/ sin α＝cosα，故選A. 2．(2016課標(biāo)全國丙)若tan θ＝－，則cos 2θ等于(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　D 解析　tan θ＝－，則cos 2θ＝cos2θ－sin2θ ＝＝＝. 3．若tan＝，且－＜α＜0，則等于(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　A 解析　由tan＝＝，得tan α＝－. 又－＜α＜0，所以sin α＝－. 故＝ ＝2sin α＝－. 4．已知f(x)＝sin2，若a＝f(lg 5)，b＝f(lg)，則(　　) A．a(chǎn)＋b＝0 B．a(chǎn)－b＝0 C．a(chǎn)＋b＝1 D．a(chǎn)－b＝1 答案　C 解析　a＝f(lg 5)＝sin2(lg 5＋) ＝＝， b＝f(lg)＝sin2(lg＋)＝ ＝，則可得a＋b＝1. 5．已知sin＋sin α＝，則sin的值是(　　) A．－ B. C. D．－ 答案　D 解析　sin＋sin α＝ ?sin cosα＋cossinα＋sin α＝ ?sin α＋cosα＝?sin α＋cosα＝， 故sin＝sin αcos＋cosαsin ＝－＝－. 6．若(4tan α＋1)(1－4tan β)＝17，則tan(α－β)等于(　　) A. B. C．4 D．12 答案　C 解析　由已知得4tan α－16tan αtan β＋1－4tan β＝17， ∴tan α－tan β＝4(1＋tan αtan β)， ∴tan(α－β)＝＝4. 7．(2015江蘇)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，則tan β的值為________． 答案　3 解析　∵tan α＝－2， ∴tan(α＋β)＝＝＝， 解得tan β＝3. 8．設(shè)當(dāng)x＝θ時，函數(shù)f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，則cosθ＝________. 答案　－ 解析　f(x)＝sin x－2cos x ＝＝sin(x－φ)， 其中sin φ＝，cosφ＝， 當(dāng)x－φ＝2kπ＋(k∈Z)時，函數(shù)f(x)取到最大值， 即θ＝2kπ＋＋φ時，函數(shù)f(x)取到最大值， 所以cosθ＝－sin φ＝－. 9．已知α∈，且2sin2α－sin αcosα－3cos2α＝0，則＝________. 答案　 解析　∵α∈，且2sin2α－sin αcosα－3cos2α＝0， ∴(2sin α－3cos α)(sin α＋cosα)＝0， ∴2sin α＝3cos α，又sin2α＋cos2α＝1， ∴cosα＝，sin α＝， ∴ ＝＝. 10．(2015四川)已知sin α＋2cos α＝0，則2sin αcosα－cos2α的值是________． 答案　－1 解析　∵sin α＋2cos α＝0，∴sin α＝－2cos α， ∴tan α＝－2.又∵2sin αcosα－cos2α ＝＝， ∴原式＝＝－1. 11．(2015廣東)已知tan α＝2. (1)求tan的值； (2)求的值． 解　(1)tan＝ ＝＝＝－3. (2) ＝ ＝ ＝＝＝1. 12．已知函數(shù)f(x)＝cos2x＋sin xcosx，x∈R. (1)求f的值； (2)若sin α＝，且α∈，求f. 解　(1)f＝cos2＋sin cos ＝2＋＝. (2)因為f(x)＝cos2x＋sin xcosx ＝＋sin 2x ＝＋(sin 2x＋cos 2x) ＝＋sin， 所以f ＝＋sin ＝＋sin ＝＋. 又因為sin α＝，且α∈， 所以cosα＝－， 所以f＝＋ ＝.