高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 專題七 概率與統(tǒng)計(jì) 第1講 概率練習(xí) 文

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第1講概率1(2016課標(biāo)全國乙改編)為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中，余下的2種花種在另一個(gè)花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是_答案解析將4種顏色的花任選兩種種在一個(gè)花壇中，余下2種種在另一個(gè)花壇，有(紅黃)、(白紫)，(白紫)、(紅黃)，(紅白)、(黃紫)，(黃紫)、(紅白)，(紅紫)、(黃白)，(黃白)、(紅紫)，共6種種法，其中紅色和紫色不在一個(gè)花壇的種數(shù)有(紅黃)、(白紫)，(白紫)、(紅黃)，(紅白)、(黃紫)，(黃紫)，(紅白)，共4種，故所求概率為P.2(2016課標(biāo)全國乙改編)某公司的班車在7：30,8：00，8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是_答案解析如圖所示，畫出時(shí)間軸：小明到達(dá)的時(shí)間會(huì)隨機(jī)的落在圖中線段AB中，而當(dāng)他的到達(dá)時(shí)間落在線段AC或DB時(shí)，才能保證他等車的時(shí)間不超過10分鐘，根據(jù)幾何概型得所求概率P.3(2016北京改編)袋中裝有偶數(shù)個(gè)球，其中紅球、黑球各占一半甲、乙、丙是三個(gè)空盒，每次從袋中任意取出兩個(gè)球，將其中一個(gè)球放入甲盒，如果這個(gè)球是紅球，就將另一個(gè)球放入乙盒，否則就放入丙盒重復(fù)上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，給出以下四種說法，其中正確的序號(hào)是_乙盒中黑球不多于丙盒中黑球；乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多；乙盒中紅球不多于丙盒中紅球；乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多答案解析取兩個(gè)球往盒子中放有4種情況：(1)紅紅，則乙盒中紅球數(shù)加1；(2)黑黑，則丙盒中黑球數(shù)加1；(3)紅黑(紅球放入甲盒中)，則乙盒中黑球數(shù)加1；(4)黑紅(黑球放入甲盒中)，則丙盒中紅球數(shù)加1.因?yàn)榧t球和黑球個(gè)數(shù)一樣，所以(1)和(2)的情況一樣多(3)和(4)的情況完全隨機(jī)，(3)和(4)對(duì)中的乙盒中的紅球數(shù)與丙盒中的黑球數(shù)沒有任何影響(1)和(2)出現(xiàn)的次數(shù)是一樣的，所以對(duì)中的乙盒中的紅球數(shù)與丙盒中的黑球數(shù)的影響次數(shù)一樣4(2016山東)在1,1上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k，則事件“直線ykx與圓(x5)2y29相交”發(fā)生的概率為_答案解析由已知得，圓心(5,0)到直線ykx的距離小于半徑，3，解得k，由幾何概型得P.1.以填空題的形式考查古典概型、幾何概型的基本應(yīng)用；2.將古典概型與概率的性質(zhì)相結(jié)合，考查知識(shí)的綜合應(yīng)用能力熱點(diǎn)一古典概型1古典概型的概率P(A).2古典概型的兩個(gè)特點(diǎn)：所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等例1(2016山東)某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)推出了一項(xiàng)趣味活動(dòng)參加活動(dòng)的兒童需轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)動(dòng)后，待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù)設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x，y.獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下：若xy3，則獎(jiǎng)勵(lì)玩具一個(gè)；若xy8，則獎(jiǎng)勵(lì)水杯一個(gè)；其余情況獎(jiǎng)勵(lì)飲料一瓶假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻，四個(gè)區(qū)域劃分均勻，小亮準(zhǔn)備參加此項(xiàng)活動(dòng)(1)求小亮獲得玩具的概率；(2)請(qǐng)比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由解用數(shù)對(duì)(x，y)表示兒童參加活動(dòng)先后記錄的數(shù)，則基本事件空間與點(diǎn)集S(x，y)|xN，yN,1x4,1y4一一對(duì)應(yīng)因?yàn)镾中元素的個(gè)數(shù)是4416.所以基本事件總數(shù)n16.(1)記“xy3”為事件A，則事件A包含的基本事件數(shù)共5個(gè)，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，所以P(A)，即小亮獲得玩具的概率為.(2)記“xy8”為事件B，“3xy8”為事件C.則事件B包含的基本事件數(shù)共6個(gè)即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)所以P(B).事件C包含的基本事件數(shù)共5個(gè)，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)所以P(C).因?yàn)?，所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率思維升華求古典概型概率的步驟：(1)反復(fù)閱讀題目，收集題目中的各種信息，理解題意；(2)判斷試驗(yàn)是否為古典概型，并用字母表示所求事件；(3)利用列舉法求出總的基本事件的個(gè)數(shù)n及事件A中包含的基本事件的個(gè)數(shù)m；(4)計(jì)算事件A的概率P(A).跟蹤演練1(1)某學(xué)校高三有A，B兩個(gè)自習(xí)教室，甲、乙、丙三名同學(xué)隨機(jī)選擇其中一個(gè)教室自習(xí)，則他們?cè)谕蛔粤?xí)教室上自習(xí)的概率為_(2)書架上有3本數(shù)學(xué)書，2本物理書，從中任意取出2本，則取出的兩本書都是數(shù)學(xué)書的概率為_答案(1)(2) 解析(1)P.(2)取出的兩本書共有10種不同組合，其中兩本書都是數(shù)學(xué)書的組合有3種，則取出的兩本書都是數(shù)學(xué)書的概率為.熱點(diǎn)二幾何概型1幾何概型的概率公式：P(A).2幾何概型應(yīng)滿足兩個(gè)條件：基本事件的無限性和每個(gè)基本事件發(fā)生的等可能性例2(1)在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)a , 則是函數(shù)fx22ax4的零點(diǎn)的概率為_(2)在區(qū)間0,1上隨機(jī)取兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b，則函數(shù)f(x)x3axb在區(qū)間0,1上有且只有一個(gè)零點(diǎn)的概率為_答案(1)(2)解析(1)4a2440，a2或a2，區(qū)間3,5的長(zhǎng)度為8，滿足a2或a2的是3，22,5，總長(zhǎng)度為4，因此所求概率為P.(2)由已知，則當(dāng)函數(shù)f(x)x3axb在區(qū)間0,1上有且只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，需滿足b(ab)0，分別作出平面區(qū)域，如圖，可知，當(dāng)點(diǎn)(a，b)落于圖中陰影區(qū)域內(nèi)時(shí)滿足題意，故所求概率為.思維升華當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)殚L(zhǎng)度、面積、體積、弧長(zhǎng)、夾角等時(shí)，應(yīng)考慮使用幾何概型求解；利用幾何概型求概率時(shí)，關(guān)鍵是試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有時(shí)需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域跟蹤演練2(1)在區(qū)間1，1上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)k，使直線yk(x2)與圓x2y21相交的概率為_(2)在矩形ABCD中，AB2，BC1，O為AB邊的中點(diǎn)，若在該矩形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則取到的點(diǎn)與O點(diǎn)的距離大于1的概率為_答案(1)(2)1解析(1)直線與圓相交，則圓心到直線的距離小于半徑，即d1,3k21，k，故所求概率為.(2)由題設(shè)，所求質(zhì)點(diǎn)應(yīng)在矩形ABCD內(nèi)且在以O(shè)為圓心，1為半徑的半圓外由于矩形的面積為2，以O(shè)為圓心，1為半徑的半圓的面積為，所以滿足條件的概率為P1.熱點(diǎn)三互斥事件與對(duì)立事件1事件A，B互斥，那么事件AB發(fā)生(即A，B中有一個(gè)發(fā)生)的概率，等于事件A，B分別發(fā)生的概率的和，即P(AB)P(A)P(B)2在一次試驗(yàn)中，對(duì)立事件A和不會(huì)同時(shí)發(fā)生，但一定有一個(gè)發(fā)生，因此有P()1P(A)例3某商場(chǎng)在元旦舉行購物抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，規(guī)定顧客從裝有編號(hào)為0,1,2,3,4的五個(gè)相同小球的抽獎(jiǎng)箱中一次任意摸出兩個(gè)小球，若取出的兩個(gè)小球的編號(hào)之和等于7則中一等獎(jiǎng)，等于6或5則中二等獎(jiǎng)，等于4則中三等獎(jiǎng)，其余結(jié)果為不中獎(jiǎng)(1)求中二等獎(jiǎng)的概率；(2)求不中獎(jiǎng)的概率解(1)記“中二等獎(jiǎng)”為事件A.從五個(gè)小球中一次任意摸出兩個(gè)小球，不同的結(jié)果有0,1，0,2，0,3，0,4，1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4，共10個(gè)基本事件記兩個(gè)小球的編號(hào)之和為x，由題意可知，事件A包括兩個(gè)互斥事件：x5，x6.事件x5的取法有2種，即1,4，2,3，故P(x5)；事件x6的取法有1種，即2,4，故P(x6)，所以P(A)P(x5)P(x6).(2)記“不中獎(jiǎng)”為事件B，則“中獎(jiǎng)”為事件，由題意可知，事件包括三個(gè)互斥事件：中一等獎(jiǎng)(x7)，中二等獎(jiǎng)(事件A)，中三等獎(jiǎng)(x4)事件x7的取法有1種，即3,4，故P(x7)；事件x4的取法有0,4，1,3，共2種，故P(x4)，由(1)可知，P(A)，所以P()P(x7)P(x4)P(A).所以不中獎(jiǎng)的概率為P(B)1P()1.思維升華事件的互斥和對(duì)立是既有聯(lián)系又有區(qū)別的兩個(gè)概念，要充分利用對(duì)立事件是必然有一個(gè)發(fā)生的互斥事件在判斷這些問題時(shí)，先要判斷兩個(gè)事件是不是互斥事件(即是否不可能同時(shí)發(fā)生)，然后判斷這兩個(gè)事件是不是對(duì)立事件(即是否必然有一個(gè)發(fā)生)在解答與兩個(gè)事件有關(guān)的問題時(shí)一定要仔細(xì)斟酌，全面考慮，防止出現(xiàn)錯(cuò)誤跟蹤演練3(1)從裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球的袋中任取3個(gè)球，若事件A“所取的3個(gè)球中至少有1個(gè)白球”，則事件A的對(duì)立事件是_(2) 俗話說：“三個(gè)臭皮匠頂個(gè)諸葛亮”但由于臭皮匠太“臭”，三個(gè)往往還頂不了一個(gè)諸葛亮已知諸葛亮單獨(dú)解出某道奧數(shù)題的概率為0.8，每個(gè)臭皮匠單獨(dú)解出該道奧數(shù)題的概率是0.3.則至少要_個(gè)臭皮匠能頂一個(gè)諸葛亮答案(1)所取的3個(gè)球都是紅球(2)5解析(1)事件A“所取的3個(gè)球中至少有1個(gè)白球” 說明有白球，白球的個(gè)數(shù)可能是1或2，包括事件“1個(gè)白球2個(gè)紅球”，“2個(gè)白球1個(gè)紅球”，事件A的對(duì)立事件為所取的3個(gè)球都是紅球(2)若有3個(gè)臭皮匠，解出該道奧數(shù)題的概率為1(10.3)30.6570.8，若有4個(gè)臭皮匠，解出該道奧數(shù)題的概率為1(10.3)40.759 90.8，若有5個(gè)臭皮匠，解出該道奧數(shù)題的概率為1(10.3)50.831 930.8，故至少要5個(gè)臭皮匠能頂一個(gè)諸葛亮.1將一骰子拋擲兩次，所得向上的點(diǎn)數(shù)分別為m和n，則函數(shù)ymx3nx1在1，)上為增函數(shù)的概率是_押題依據(jù)古典概型是高考考查概率問題的核心，考查頻率很高；古典概型和函數(shù)、方程、不等式、向量等知識(shí)的交匯是高考命題的熱點(diǎn)答案解析將一骰子拋擲兩次，所得向上的點(diǎn)數(shù)(m，n)的所有事件為(1,1)，(1,2)，(6,6)，共36個(gè)由題可知，函數(shù)ymx3nx1在1，)上單調(diào)遞增，所以y2mx2n0在1，)上恒成立，所以2mn，則不滿足條件的(m，n)有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，共6種情況，所以滿足條件的共有30種情況，則函數(shù)ymx3nx1在1，)上單調(diào)遞增的概率為.2已知集合Mx|1x4，xR，Nx|x23x20，在集合M中任取一個(gè)元素x，則“x(MN)”的概率是_押題依據(jù)與長(zhǎng)度(角度、弧度、周長(zhǎng)等)有關(guān)的幾何概型問題也是高考命題的熱點(diǎn)，在高考中多以填空題的形式出現(xiàn)，題目難度不大答案解析因?yàn)镸x|1x0，解得a2，又a2,3，2a1或2a3，區(qū)間范圍的長(zhǎng)度為2，所求概率P.14.甲、乙兩家商場(chǎng)對(duì)同一種商品開展促銷活動(dòng)，對(duì)購買該商品的顧客，兩家商場(chǎng)的獎(jiǎng)勵(lì)方案如下：甲商場(chǎng)：顧客轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示圓盤，當(dāng)指針指向陰影部分(圖中四個(gè)陰影部分均為扇形，且每個(gè)扇形圓心角均為15，邊界忽略不計(jì))即為中獎(jiǎng)乙商場(chǎng)：從裝有3個(gè)白球、3個(gè)紅球的盒子中一次性摸出2個(gè)球(球除顏色外不加區(qū)分)，如果摸到的是2個(gè)紅球，即為中獎(jiǎng)問：購買該商品的顧客在哪家商場(chǎng)中獎(jiǎng)的可能性大？解如果顧客去甲商場(chǎng)，試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閳A盤，面積為R2(R為圓盤的半徑)，陰影區(qū)域的面積為，所以在甲商場(chǎng)中獎(jiǎng)的概率為P1.如果顧客去乙商場(chǎng)，記盒子中3個(gè)白球?yàn)閍1，a2，a3,3個(gè)紅球?yàn)閎1，b2，b3，記(x，y)為一次摸球的結(jié)果，則一切可能的結(jié)果有：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共15種摸到的2個(gè)球都是紅球有(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共3種，所以在乙商場(chǎng)中獎(jiǎng)的概率為P2.由于P1P2，所以顧客在乙商場(chǎng)中獎(jiǎng)的可能性大