高考數學二輪復習 第1部分 小題速解方略—爭取高分的先機 專題六 解析幾何綜合提升訓練 理

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專題六　綜合提升訓練(六) (用時40分鐘，滿分80分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．(2016廣東實驗中學測試)若拋物線y＝ax2的焦點坐標是(0,1)，則a＝(　　) A．1　　　　　　　　　　 B. C．2 D. 解析：選B.因為拋物線方程為x2＝y，所以其焦點坐標為，則有＝1，a＝，所以選B. 2．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一個焦點與圓x2＋y2－10x＝0的圓心重合，且雙曲線的離心率等于，則該雙曲線的標準方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：選A.因為圓x2＋y2－10x＝0的圓心為(5,0)，所以c＝5，又雙曲線的離心率等于，所以a＝，b＝2，故選A. 3．已知在平面直角坐標系xOy中，拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，M是拋物線C上的點，若△OFM的外接圓與拋物線C的準線相切，且該圓的面積為9π，則p＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：選B.∵△OFM的外接圓與拋物線C的準線相切， ∴△OFM的外接圓的圓心到準線的距離等于圓的半徑， ∵圓的面積為9π，∴圓的半徑為3，又圓心在OF的垂直平分線上，|OF|＝，∴＋＝3，解得p＝4. 4．已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的離心率e＝，右焦點F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的兩個根分別為x1，x2，則點P(x1，x2)在(　　) A．圓x2＋y2＝2上 B．圓x2＋y2＝2內 C．圓x2＋y2＝2外 D．以上三種情況都有可能 解析：選B.由題意知e＝，，∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋＝＋＝－＝＜2，∴點P(x1，x2)在圓x2＋y2＝2內． 5．已知F1，F2分別是雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，若在雙曲線左支上存在一點P與點F2關于直線y＝－對稱，則該雙曲線的離心率為(　　) A. B. C．2 D. 解析：選A.由題意，過F2(c,0)且垂直于y＝－的直線方程為y＝(x－c)，它與y＝－的交點坐標為，∴點P的坐標為，∵點P在雙曲線上，∴－＝1，整理得c2＝5a2，∴＝5，∴e＝＝，選A. 6．(2016山東聊城實驗中學三診)設a，b，c分別是△ABC中角A，B，C所對的邊，則直線sin Ax＋ay－c＝0與bx－sin By＋sin C＝0的位置關系是(　　) A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 解析：選C.由題意可得直線sin Ax＋ay－c＝0的斜率k1＝－，bx－sin By＋sin C＝0的斜率k2＝，故k1k2＝－＝－1，則直線sin Ax＋ay－c＝0與直線bx－sin By＋sin C＝0垂直，故選C. 7．(2016山東德州一模)已知拋物線y2＝8x與雙曲線－y2＝1(a＞0)的一個交點為M，F為拋物線的焦點，若|MF|＝5，則該雙曲線的漸近線方程為(　　) A．5x3y＝0 B．3x5y＝0 C．4x5y＝0 D．5x4y＝0 解析：選A.拋物線y2＝8x的焦點為F(2,0)，準線方程為x＝－2，設M(m，n)，則由拋物線的定義可得|MF|＝m＋2＝5，解得m＝3，由n2＝24，可得n＝2.將M(3，2)代入雙曲線－y2＝1(a＞0)，可得－24＝1(a＞0)，解得a＝，故雙曲線的漸近線方程為y＝x，即5x3y＝0.故選A. 8．(2016重慶巴蜀中學月考)已知F1，F2分別為橢圓C：＋＝1的左、右焦點，點E是橢圓C上的動點，則的最大值、最小值分別為(　　) A．9,7 B．8,7 C．9,8 D．17,8 解析：選B.由題意可知橢圓的左、右焦點坐標分別為F1(－1,0)，F2(1,0)，設E(x，y)(－3≤x≤3)，則＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以＝x2－1＋y2＝x2－1＋8－x2＝＋7，所以當x＝0時，有最小值7，當x＝3時，有最大值8，故選B. 9．(2016河北唐山摸底)已知雙曲線P：－＝1(a＞0，b＞0)的右頂點為A，與x軸平行的直線交P于B，C兩點，記∠BAC＝θ，若P的離心率為，則(　　) A．θ∈ B．θ＝ C．θ∈ D．θ＝ 解析：選B.∵e＝＝，∴c＝a，∴b2＝c2－a2＝a2，∴雙曲線方程可變形為x2－y2＝a2.設B(x0，y0)，由對稱性可知C(－x0，y0)，∵點B(x0，y0)在雙曲線上，∴x－y＝a2. ∵A(a,0)，∴＝(x0－a，y0)，＝(－x0－a，y0)， ∴＝(x0－a)(－x0－a)＋y＝a2－x＋y＝0， ∴⊥，即θ＝.故B正確． 10．(2016甘肅張掖二模)點A是拋物線C1：y2＝2px(p＞0)與雙曲線C2：－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線的交點(異于原點)，若點A到拋物線C1的準線的距離為p，則雙曲線C2的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析：選B.取雙曲線的其中一條漸近線：y＝x，聯立? 故A，∵點A到拋物線C1的準線的距離為p，∴＋＝p，∴＝， ∴雙曲線C2的離心率e＝＝＝＝，故選B. 11．已知拋物線y2＝4x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，且PA⊥l，A為垂足．若直線AF的傾斜角為120，則|PF|＝(　　) A．2 B. C．4 D.＋1 解析：選C.設A(xA，yA)，P(xP，yP)，易知xA＝－1，依題意，拋物線的焦點坐標為F(1,0)，準線方程為x＝－1.因為直線AF的傾斜角為120，所以tan 120＝，所以yA＝2.因為PA⊥l，所以yP＝yA＝2，代入拋物線方程y2＝4x中，得xP＝3，所以|PF|＝|PA|＝3－(－1)＝4.故選C. 12．已知雙曲線的標準方程為－＝1，F為其右焦點，A1，A2分別是實軸的左、右端點，設P為雙曲線上不同于A1，A2的任意一點，直線A1P，A2P與直線x＝a分別交于M，N兩點，若＝0，則a的值為(　　) A. B. C. D. 解析：選B.∵雙曲線－＝1，右焦點F(5,0)，A1(－3,0)，A2(3,0)，設P(x，y)，M(a，m)，N(a，n)， ∵P，A1，M三點共線，∴＝，m＝， ∵P，A2，N三點共線，∴＝，∴n＝. ∵－＝1，∴＝，∴＝.又＝，＝，∴＝(a－5)2＋＝(a－5)2＋， ∵＝0，∴(a－5)2＋＝0， ∴25a2－90a＋81＝0，∴a＝.故選B. 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上) 13．以拋物線y2＝4x的焦點為圓心，與該拋物線的準線相切的圓的標準方程為________． 解析：拋物線y2＝4x的焦點為(1,0)，準線為x＝－1，故所求圓的圓心為(1,0)，半徑為2，所以該圓的標準方程為(x－1)2＋y2＝4. 答案：(x－1)2＋y2＝4 14．已知橢圓＋＝1的左、右焦點分別為F1，F2，點P在橢圓上，若|PF1|＝2，則∠F1PF2的正弦值為________． 解析：在橢圓＋＝1中，a2＝9，b2＝2，c2＝a2－b2＝7，所以a＝3，c＝.因為|PF1|＝2，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，所以|PF2|＝6－2＝4，所以cos∠F1PF2＝＝＝－，所以∠F1PF2＝120，sin∠F1PF2＝sin 120＝. 答案： 15．已知過雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點的直線m的斜率為，若原點到直線m的距離等于右焦點到該雙曲線的一條漸近線的距離的2倍，則＝________. 解析：設雙曲線的右焦點為(c,0)，得直線m的方程為y＝(x－c)，即ax－by－ac＝0，原點到直線m的距離d1＝＝a.右焦點到雙曲線的一條漸近線y＝x的距離d2＝＝b.因為d1＝2d2，所以a＝2b，＝2. 答案：2 16．若雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，離心率為e，過F2的直線與雙曲線的右支相交于A，B兩點，若△F1AB是以點A為直角頂點的等腰直角三角形，則e2＝________. 解析：由雙曲線的定義有|AF1|－|AF2|＝2a， |BF1|－|BF2|＝2a，兩式相加得|AF1|＋|BF1|－(|AF2|＋|BF2|)＝4a，又|AF1|＝|AB|，所以|BF1|＝4a，|AF1|＝2a， |AF2|＝2a－2a.在Rt△AF1F2中，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2，即4c2＝(2a)2＋(2a－2a)2，解得e2＝＝5－2. 答案：5－2