《高中數(shù)學(xué) 第1章 不等關(guān)系與基本不等式 1.1.1 實數(shù)大小的比較 1.1.2 不等式的性質(zhì)學(xué)案 北師大版選修4-5》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第1章 不等關(guān)系與基本不等式 1.1.1 實數(shù)大小的比較 1.1.2 不等式的性質(zhì)學(xué)案 北師大版選修4-5（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1.1 實數(shù)大小的比較
1.2 不等式的性質(zhì)
1．理解實數(shù)大小與實數(shù)運算間的關(guān)系，會用作差(商)法比較大?。?重點)
2．理解并掌握不等式的性質(zhì)．(重點、易錯易混點)
3．能用不等式的性質(zhì)解決一些簡單的問題．(難點)
[基礎(chǔ)初探]
教材整理1 實數(shù)大小的比較
閱讀教材P1～P3“思考交流”以上部分，完成下列問題．
1．實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的，在數(shù)軸上不同的兩點中，右邊的點表示的實數(shù)比左邊的點表示的實數(shù)大．
2．兩實數(shù)大小與運算間的關(guān)系
(1)a＞b?a－b＞0；a＜b?a－b＜0；a＝b?a－b＝0.
(2)當(dāng)a>0，b＞0時，＞1?a＞b，＜1?a＜b；＝1?a＝b.
判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”)
(1)若>1，則a>b.( )
(2)?x∈R，x2>2x.( )
(3)若a>b>c且a＋b＋c＝0，則a>0，c<0.( )
【解析】 (1) 因為b的正負不確定．
(2) 因為x2－2x＝x(x－2)，其正負隨x的范圍的變化而改變．
(3)√ 因為a>b，a>c，所以2a>b＋c，
即3a>a＋b＋c＝0，所以a>0，又因為c
b＋c，則a－b________c.
(2)若a>b>0，則________.
(3)若a>b，cb>0,0 (2)< (3)> (4)>
[質(zhì)疑手記]
預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：
疑問1：
解惑：
疑問2：
解惑：
疑問3：
解惑：
[小組合作型]
實數(shù)大小的比較
(1)已知x＞3，比較x3＋3與3x2＋x的大?。?
(2)若m＞0，試比較mm與2m的大?。?
【精彩點撥】 (1)只需考查兩者差同0的大小關(guān)系；
(2)注意到2m＞0，可求商比較大小，但要注意到用函數(shù)的性質(zhì)．
【自主解答】 (1)x3＋3－3x2－x
＝x2(x－3)－(x－3)
＝(x－3)(x＋1)(x－1)．
∵x＞3，∴(x－3)(x＋1)(x－1)＞0，
∴x3＋3＞3x2＋x.
(2)＝m，
當(dāng)m＝2時，m＝1，此時mm＝2m，
當(dāng)0＜m＜2時，0＜＜1，m＜1，
∴mm＜2m.
當(dāng)m＞2時，＞1，m＞1，∴mm＞2m.
比較大小的常用方法及步驟
1．求差法：a≥b?a－b≥0，a≤b?a－b≤0.
一般步驟是：作差→變形→判號→定論．
變形是作差法的關(guān)鍵，配方和因式分解是常用的變形手段．
2．求商法：當(dāng)a>0，b>0時，把比較a，b的大小轉(zhuǎn)化為比較與1的大小關(guān)系，此即為作商比較法．
理論依據(jù)是不等式的性質(zhì)：
若a>0，b>0，則≥1?a≥b，≤1?a≤b.
一般步驟為：作商→變形→與1比較大小→定論．
[再練一題]
1．已知x，y均為正數(shù)，設(shè)m＝＋，n＝，試比較m與n的大小.
【導(dǎo)學(xué)號：94910000】
【解】 m－n＝＋－`
＝－＝＝，
∵x，y均為正數(shù)，
∴x＞0，y＞0，xy＞0，x＋y＞0，(x－y)2≥0，
∴m－n≥0，即m≥n.
利用不等式性質(zhì)判斷命題的真假
對于實數(shù)a，b，c判斷下列命題的真假．
(1)若a>b，則acbc2，則a>b；
(3)若aab>b2；
(4)若a|b|；
(5)若c>a>b>0，則>.
【精彩點撥】 本題考查不等式性質(zhì)的應(yīng)用及邏輯推理能力．解答此題需要依據(jù)實數(shù)的基本性質(zhì)，實數(shù)的符號的運算法則以及不等式性質(zhì)，然后經(jīng)過合理邏輯推理即可判斷．
【自主解答】 (1)由于c的符號未知，因而不能判斷ac，bc的大小關(guān)系，故該命題是假命題．
(2)由ac2>bc2知c≠0，而c2>0，
∴a>b，故該命題是真命題．
(3)?a2>ab；
又?ab>b2，
∴a2>ab>b2，故該命題是真命題．
(4)兩個負實數(shù)，較小的離原點遠，其絕對值反而大，故該命題是真命題．
(5)?0，故該命題是真命題．
1．判斷命題的真假往往用舉反例予以否定，或從條件入手，看是否推出與結(jié)論一致的結(jié)論．
2．運用不等式的性質(zhì)判斷時，要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不能想當(dāng)然隨意捏造性質(zhì)．
[再練一題]
2．判斷下列命題是否正確，并說明理由．
(1)若a＞b，則ac2＞bc2；(2)若＞，則a＞b；
(3)若a＞b，ab≠0，則＜；(4)若a＞b，c＞d，則ac＞bd.
【解】 (1)錯誤．當(dāng)c＝0時不成立．
(2)正確．∵ c2≠0且c2＞0，在＞兩邊同乘以c2，∴a＞b.
(3)錯誤．a(chǎn)＞b?＜成立的條件是ab＞0.
(4)錯誤．a(chǎn)＞b，c＞d?/ ac＞bd，例如當(dāng)a，b，c，d為負數(shù)時不成立．
[探究共研型]
不等式性質(zhì)的簡單應(yīng)用
探究1 甲同學(xué)認為a＞b?＜，乙同學(xué)認為a＞b＞0?＜，丙同學(xué)認為a＞b，ab＞0?＜，請你思考一下，他們誰說得正確？
【提示】 甲說得不正確．當(dāng)a>0，b<0時不成立；乙說得是正確的，但不全面，當(dāng)0>a>b時也有<；丙說得非常正確．
探究2 根據(jù)60b>0，c.
【證明】 ∵c－d>0，
∵a>b>0，∴a－c>b－d>0.(*)
由(*)式知(a－c)2>(b－d)2>0，
∴>.
又∵e<0，∴<.
即>.
[構(gòu)建體系]
1．設(shè)a∈R，則下面式子正確的是( )
A．3a＞2a B．a(chǎn)2＜2a
C.＜a D．3－2a＞1－2a
【答案】 D
2．已知m，n∈R，則＞成立的一個充要條件是( )
【導(dǎo)學(xué)號：94910001】
A．m＞0＞n B．n＞m＞0
C．m＜n＜0 D．mn(m－n)＜0
【解析】 ∵＞?－＞0?＞0?mn(n－m)＞0?mn(m－n)＜0.
【答案】 D
3．若6≤x≤13,2≤y≤7，則x－y的取值范圍是________．
【解析】 ∵2≤y≤7，∴－7≤－y≤－2，又∵6≤x≤13，
所以－7＋6≤x－y≤－2＋13，即－1≤x－y≤11.
【答案】 [－1,11]
4．已知a＜b＜0，那么下列不等式成立的是________．(填序號)
①＜；②ab＞b2；
③＞；④＜1.
【解析】 ∵a＜b＜0，∴＞，①不成立；由b＜0，a＜b，∴ab＞b2，②成立；又a＜b＜0，∴0＜＜1，＞1，因此＞不成立；＝＋1＜1不成立，即①，③，④不正確，只有②成立．
【答案】?、?
5．已知一次函數(shù)f(x)＝ax＋b，且－1≤f(－1)≤2，－2≤f(2)≤3，求f(3)的取值范圍．
【解】 ∵
又∵f(3)＝3a＋b＝－(－a＋b)＋(2a＋b)，
∴－≤f(3)≤.
我還有這些不足：
(1)
(2)
我的課下提升方案：
(1)
(2)
學(xué)業(yè)分層測評(一)
(建議用時：45分鐘)
[學(xué)業(yè)達標(biāo)]
一、選擇題
1．設(shè)a，b，c，d∈R且a＞b，c＞d，則下列結(jié)論正確的是( )
A．a(chǎn)＋c＞b＋d B．a(chǎn)－c＞b－d
C．a(chǎn)c＞bd D．＞
【解析】 ∵a＞b，c＞d，∴a＋c＞b＋d.
【答案】 A
2．已知a，b 是實數(shù)，則“a＞0且b＞0”是“a＋b＞0且ab＞0”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分又不必要條件
【解析】 當(dāng)a＞0且b＞0時，一定有a＋b＞0且ab＞0.反之，當(dāng)a＋b＞0，ab＞0時，一定有a＞0，b＞0.
【答案】 C
3．設(shè)角α，β滿足－<α<β<，則α－β的范圍是( )
A．－π<α－β<0 B．－π<α－β<π
C．－<α－β<0 D．－<α－β<
【解析】 ∵α<β，∴α－β<0.①
又－<α<，－<β<，∴－<－β<，
∴－π<α－β<π，結(jié)合①得－π<α－β<0，故選A.
【答案】 A
4．若x≠2或y≠－1，M＝x2＋y2－4x＋2y，N＝－5，則M與N的大小關(guān)系是( )
A．M＞N B．M＜N
C．M＝N D．不能確定
【解析】 M－N＝x2＋y2－4x＋2y－(－5)
＝(x－2)2＋(y＋1)2.
∵x≠2或y≠－1，∴x－2≠0或y＋1≠0，
∴(x－2)2或(y＋1)2均非負且至少一個大于零，
∴M＞N.
【答案】 A
5．設(shè)a，b為非零實數(shù)，若a＜b，則下列不等式成立的是( )
【導(dǎo)學(xué)號：94910002】
A．a(chǎn)2＜b2 B．a(chǎn)2b＜ab2
C.＜ D．＜
【解析】 取a＝－2，b＝1時，有a＜b，顯然A，B，D錯誤．對于C，∵－＝＜0.
∴＜總成立，C正確．
【答案】 C
二、填空題
6．若1＜a＜3，－4＜b＜2，那么a－|b|的取值范圍是________．
【解析】 ∵－4＜b＜2，∴0≤|b|＜4，
∴－4＜－|b|≤0.
又1＜a＜3，∴－3＜a－|b|＜3.
【答案】 (－3,3)
7．給出四個條件：
①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0.
能得出＜成立的有________．
【解析】?。?－＜0?＜0，
∴①②④可推出＜成立．
【答案】?、佗冖?
8．若a＞1，b＜1，則ab＋1與a＋b大小關(guān)系為ab＋1______a＋b.
【解析】 ab＋1－a－b＝a(b－1)－(b－1)
＝(a－1)(b－1)，
∵a＞1，b＜1，∴(a－1)(b－1)＜0，
∴ab＋1－a－b＜0，
ab＋1＜a＋b.
【答案】?。?
三、解答題
9．若a，b，c滿足b＋c＝3a2－4a＋6，b－c＝a2－4a＋4，試比較a，b，c的大小．
【解】 b－c＝a2－4a＋4＝(a－2)2≥0.
∴b≥c.
由題意可得方程組
解得b＝2a2－4a＋5，c＝a2＋1.
∴c－a＝a2＋1－a＝2＋＞0，
∴c＞a，∴b≥c＞a.
10．已知a，b，x，y都是正數(shù)，且＞，x＞y，求證：＞.
【證明】 因為a，b，x，y都是正數(shù)，且＞，x＞y，
所以＞，所以＜.
故＋1＜＋1，
即0<＜，
所以＞.
[能力提升]
1．設(shè)a，b為實數(shù)，則“00，b>0時，b<；當(dāng)a<0，b<0時，b>.
∴“0b>0，則下列各式中恒成立的是( )
A.> B．>
C．a(chǎn)＋>b＋ D．a(chǎn)a>bb
【解析】 選取適當(dāng)?shù)奶厥庵?，若a＝2，b＝1，可知＝，＝2，由此可知選項A不成立．利用不等式的性質(zhì)可知，當(dāng)a>b>0時，<，由此可知，選項C不恒成立．取a＝，b＝，則a>b>0，則aa＝bb，故選項D不恒成立．故選B.
【答案】 B
3．設(shè)x，y為實數(shù)，滿足3≤xy2≤8,4≤≤9，則的最大值是________.
【導(dǎo)學(xué)號：94910003】
【解析】 由4≤≤9，得16≤≤81.
又3≤xy2≤8，
∴≤≤，
∴2≤≤27.又x＝3，y＝1滿足條件，這時＝27.
∴的最大值是27.
【答案】 27
4．已知m∈R，a＞b＞1，f(x)＝，試比較f(a)與f(b)的大?。?
【解】 f(a)－f(b)＝－
＝.
∵a＞b＞1，
∴(a－1)(b－1)＞0，b－a＜0.
當(dāng)m＞0時，f(a)－f(b)＜0，f(a)＜f(b)．
當(dāng)m＝0時，f(a)＝f(b)．
當(dāng)m＜0時，f(a)－f(b)＞0，f(a)＞f(b)．
高中數(shù)學(xué) 第1章 不等關(guān)系與基本不等式 1.1.1 實數(shù)大小的比較 1.1.2 不等式的性質(zhì)學(xué)案 北師大版選修4-5
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