小學(xué)三年級(jí) 矩形圖法分析應(yīng)用題詳解

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.第十四講矩形圖法一、本講內(nèi)容：矩形圖中的經(jīng)典模型 矩形圖的其它應(yīng)用二、前鋪知識(shí)雞兔同籠綜合/盈虧問(wèn)題題進(jìn)階三、后續(xù)知識(shí)平均數(shù)進(jìn)階四、課前測(cè)試：4.1 雞兔同籠，頭共46，足共128，雞兔各幾只？解題思路分析：1） 從頭46可以確定雞兔一共46只2） 從足共128，可以確定雞和兔的腳一共有128條,按照常識(shí),一只兔子有4條腿，一只雞2條腿3） 從題中可以確定總只數(shù)和總腿數(shù)數(shù)量知道，并知道每只雞和兔的腿數(shù)，因此可考慮使用假設(shè)法或者方程來(lái)計(jì)算假設(shè)法解題方法分析：A） 假設(shè)46頭全部為雞，則一共有的腿數(shù)量為46X2=92 條，發(fā)現(xiàn)腿數(shù)量比實(shí)際少：128-92=36 條，因此需要考慮需要將部分雞變?yōu)橥?，才能增加總的腿條數(shù)，從圖中可以看出，每當(dāng)一只雞變成兔時(shí)，總腿數(shù)會(huì)增加兩條，因此要補(bǔ)足缺的36條腿，需要有多少只雞變成兔呢？ 就是362=18 只，也就是有18只雞變成兔子后，總腿數(shù)滿(mǎn)足要求假設(shè)法解題過(guò)程：解：假設(shè)46只全部為雞，總腿數(shù)為46 X 2= 92 條，比總腿數(shù)少 128-92=36條 當(dāng)一只雞換成兔子時(shí)，總腿數(shù)增加2條，因此要增加36條腿，需要將362=18 只雞 換成兔子才可以，因此兔子有18只，雞有46 18=28只答：兔子 18只，雞 28只 驗(yàn)證：18 X 4 + 28 X 2 = 72 + 56 =128 條方程法解題方法分析：由于總腿數(shù)可以使用只數(shù)X每只的腿數(shù)來(lái)表示，并知道總只數(shù)，因此考慮假設(shè)兔只有y只，則雞有46-y只，總腿數(shù)為：4y+（46-y）X 2=128方程法解題過(guò)程：解：假設(shè)兔只有y只，則雞有46-y只， 總腿數(shù)為：4y+（46-y）X 2=128 4y+46 X 2 -2y=128 4y + 92 -2y=128 2y=128-92 y= 362 y= 18雞：46-y=46-18=28答：兔子 18只，雞 28只驗(yàn)證：18 X 4 + 28 X 2 = 72 + 56 =128 條4.2 某校安排學(xué)生宿舍，如果每間住5人則有14人沒(méi)有床位；如果每間住7人，則多出4個(gè)床位，問(wèn)宿舍幾間？住宿幾人？分析法解題方法分析：從如果每間住7人，則多出4個(gè)床位，可以判斷最后一間房住了三個(gè)人，我們用圓圈表示人，按照提議可以畫(huà)出如下示意圖從上圖可以看出或者推斷出原先沒(méi)有床位的14人已經(jīng)最后一個(gè)房間中的兩個(gè)人，一共16人在第二次分床位時(shí)，分到前面的房間了，如果假定前面房間原先的人保持不動(dòng)，則每個(gè)房間能夠增加兩個(gè)人，因此可以算出16個(gè)人需要幾間房：162=8 個(gè)房間，因此加上最后一個(gè)房間，一共是 8 + 1 =9個(gè)房間，房間數(shù)量計(jì)算出來(lái)后可以計(jì)算住宿的人數(shù) 5 X 9 +14=59 人分析法解題過(guò)程：解：從題目分析可以確認(rèn)當(dāng)每個(gè)房間分7個(gè)人時(shí)最后一個(gè)房間分了3個(gè)人，也就是，最后一個(gè)房間中出來(lái)兩人和第一次分配沒(méi)有床位的14人，一共16個(gè)人一起被分配到前面房間，考慮原先房間的人不動(dòng)，因此每個(gè)房間可以在分配2人分完需要房間數(shù)量為162=8 個(gè)房間，加上最后一個(gè)沒(méi)有住滿(mǎn)的房間，一共是 8 + 1 =9個(gè)房間，住宿的人數(shù)： 5 X 9 +14=59 人答：房間數(shù)量為9間，住宿人數(shù)為59人。盈虧解題方法分析：從題目中如果每間住7人，則多出4個(gè)床位，這句話(huà)可以確定，假如每間房都分滿(mǎn)7個(gè)人，則少4個(gè)人，這相當(dāng)于虧為4，相當(dāng)于在原先多余14個(gè)人基礎(chǔ)上再增加4個(gè)人，就可以每個(gè)房間都增加兩人，剛好分完。如果每間住5人則有14人沒(méi)有床位，這句話(huà)可以確定盈為14人，按照提議，假設(shè)再增加4個(gè)人，則可以將這18個(gè)人平均每個(gè)房間可以分2個(gè)人剛好分完，按照盈虧計(jì)算方法：(盈數(shù)+虧數(shù))兩次每份分配之差（7-5）=份數(shù)，也就是房間數(shù)量，計(jì)算出房間數(shù)量后，就可以計(jì)算人數(shù)盈虧方式解題過(guò)程：解：從題目可以確定每個(gè)房間分5人時(shí)，多14人，每個(gè)房間分7人時(shí)，少 4人因此房間數(shù)量為：（14+4） （7-5）=9 間住宿人數(shù)：9 X 5 + 14 =59人答：房間數(shù)量為9間，住宿人數(shù)為59人方程解題方法分析：從題目看，房間數(shù)量沒(méi)有發(fā)生變化，總?cè)藬?shù)沒(méi)有發(fā)生變化，總?cè)藬?shù)可以利用房間數(shù)量乘上每個(gè)房間住的人數(shù)來(lái)得到，然后根據(jù)兩次分法人數(shù)不變來(lái)寫(xiě)方程等式。因此可以設(shè)置房間數(shù)量為Y，第一次分法的總?cè)藬?shù)為5Y+14，第二次分配總?cè)藬?shù)為7Y-4，兩次總?cè)藬?shù)相等 5Y+14=7Y-4方程法解題過(guò)程：解：設(shè)房間數(shù)量為Y間，住宿人數(shù)7Y-45Y+14=7Y-414+4=7Y-5Y18=2Y Y=182=9 間住宿人數(shù)：7Y-4=7X9-4=59 人答：房間數(shù)量為9間，住宿人數(shù)為59人4.3 小強(qiáng)由家里到學(xué)校，如果每分鐘走50米，上課就要遲到3分鐘，如果每分鐘走60米，就可以比正常上課時(shí)間提前2分鐘到校。小強(qiáng)家到學(xué)校的路程是多少米？分析法解題思路：從題目看，需要求路程，題目中告訴了兩個(gè)速度，按照路程計(jì)算公式：路程=速度X時(shí)間，因此我們需要先求出小強(qiáng)走的時(shí)間，這樣就可以算路程了題目中告訴了兩個(gè)速度，想到可能會(huì)用到：速度差X時(shí)間=路程差，速度差我們知道是60-50=10米/分鐘，如果能算出兩次的距離差，是否就可以求出時(shí)間呢，那我們看看能否通過(guò)線(xiàn)段圖發(fā)現(xiàn)距離差從題目中的比上課時(shí)間遲到3分鐘和比上課時(shí)間早2分鐘，可以判斷如果按照某個(gè)速度從家到學(xué)校時(shí)剛剛好，不遲到，不早到，這個(gè)時(shí)間我們可以假定為t，因此按照50米/分鐘速度。在走了t這么長(zhǎng)時(shí)間后，小強(qiáng)來(lái)到了A點(diǎn)，A點(diǎn)到學(xué)校還需要3分鐘，其距離為50X3=150米同時(shí)，如果按照60米/分鐘的速度，如果小強(qiáng)到學(xué)校還沒(méi)有到上課時(shí)間，如果他繼續(xù)走完t分鐘時(shí)，他應(yīng)該到了B點(diǎn)，B點(diǎn)離學(xué)校的距離為2分鐘走的距離 60X2=120米在相同的t分鐘時(shí)間內(nèi)，前后兩次的距離差為A到B的距離，距離為 120+150=270米，因此按照距離差=時(shí)間X速度差的公式得到 270米=t分鐘X10米/分鐘，可以看出t=27分鐘，所以按照50米/分鐘的速度去學(xué)校時(shí)，27分鐘后小強(qiáng)來(lái)到了A點(diǎn)，所以按照50米/分鐘的速度，小強(qiáng)到學(xué)校的時(shí)間需要t+3=27+3=30分鐘，那么家到學(xué)校的距離為50米/分鐘X30分鐘=1500米分析法解題過(guò)程解：從題目來(lái)看，兩次的速度差為 60米/分鐘-50米/分鐘=10米/分鐘 假設(shè)兩次走的時(shí)間一樣時(shí)，兩次的距離差可以從下圖看出來(lái)為：50X3+60X2=270米按照距離差=速度差X時(shí)間，從知道了速度差10米/分鐘以及距離差270米，我們可以計(jì)算出走的時(shí)間：時(shí)間=距離差速度差=27010=27分鐘因此家到學(xué)校的距離為50X27+50X3=50X（27+3）=50X30=1500米答：小強(qiáng)家到學(xué)校距離為1500米方程解題方法分析：從題目中的比上課時(shí)間遲到3分鐘和比上課時(shí)間早2分鐘，可以判斷如果按照某個(gè)速度從家到學(xué)校時(shí)剛剛好，不遲到，不早到，這個(gè)時(shí)間我們可以假定為t分鐘，因此我們考慮使用時(shí)間t來(lái)表示小強(qiáng)家到學(xué)校的距離：如果速度為50米/分鐘時(shí)，要遲到3分鐘，因此時(shí)間為t+3分鐘，家到學(xué)校距離為 50X（t+3）如果速度為60米/分鐘時(shí)。要找到2分鐘，因此時(shí)間為t-2分鐘，家到學(xué)校距離為 60X（t-2）按照距離=速度X時(shí)間，利用小強(qiáng)家到學(xué)校距離不變來(lái)寫(xiě)方程50X（t+3）=60X（t-2）然后去括號(hào)解方程方程法解題過(guò)程：解：根據(jù)圖示，設(shè)按照50米/分鐘的速度走，到上課時(shí)間時(shí)，用了t分鐘，來(lái)到了A點(diǎn)，因此按照60米/分鐘的速度來(lái)到學(xué)校時(shí)，使用的時(shí)間為（t-2）分鐘列方程如下：50t+50X3=60（t-2） 50t+150=60t-120 150+120=60t-50t 10t=270 t=27 分鐘距離：60 X （27-2）=60X25=1500米答：小強(qiáng)家到學(xué)校的路程是1500米。五、模塊一：矩形圖中的經(jīng)典模型例1：某個(gè)長(zhǎng)方形原本的長(zhǎng)是10cm，如果它的寬減少3cm，長(zhǎng)增加5cm，面積保持不變，那么原本長(zhǎng)方形的面積為多少？矩形分析法解題思路分析：按照題意，畫(huà)出下圖，原長(zhǎng)方形為圖中斜線(xiàn)部分+A部分，變化后的圖形為圖中斜線(xiàn)部分+B部分，由于兩個(gè)圖形的面積相等，因此圖中A部分和B部分的面積相等按照題中出現(xiàn)面積關(guān)鍵點(diǎn)，因此想到長(zhǎng)方形的面積公式：長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)X寬按照公式可以計(jì)算出A的面積為10X5=50平方厘米，因此圖形B的面積也為50平方厘米，按照長(zhǎng)方的面積公式 50=5X？，因此可以計(jì)算出B的一邊長(zhǎng)度為10cm這樣就可以求出原長(zhǎng)方形B的寬+5cm，計(jì)算結(jié)果為10+5=15cm，然后按照長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式計(jì)算面積為10X15=150平方厘米矩形分析法解題過(guò)程：解：按照題意，畫(huà)出如下圖形，根據(jù)面積相等可知A的面積=B的面積A的面積為：10X5=50平方厘米計(jì)算B長(zhǎng)方不知道的一邊寬度：505=10cm按照?qǐng)D形可以知道原長(zhǎng)方形的寬度為5+10=15cm原長(zhǎng)方的面積為：10X15=150 cm2答：原長(zhǎng)方形面積為150平方厘米方程法題思路分析：按照題中要求面積，因此需要知道長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，長(zhǎng)度題目告訴為10cm，因此可以設(shè)寬為Ycm，因此原長(zhǎng)方形面積為10Y平方厘米我們來(lái)看變化后長(zhǎng)方的長(zhǎng)度為15cm，寬度為（Y-5）cm，那么面積為15X（Y-5）平方厘米，按照面積相等建立方程10Y=15 X（Y-5），然后解方程方程法解題過(guò)程：解：設(shè)原長(zhǎng)方形的寬為Ycm，縮短后的新長(zhǎng)方形寬度為（Y-5）cm按照面積相等列方程如下：10Y=15 X（Y-5）10Y=15Y-15X575=15Y-10Y5Y=75Y=15 cm面積為：10X15=150 cm2答：原長(zhǎng)方形面積為150平方厘米六、模塊二 ：經(jīng)典模型的應(yīng)用在小學(xué)階段各種應(yīng)用題的學(xué)習(xí)中，我們學(xué)習(xí)了很多不同的公式，大部分的公式都可以總結(jié)為：一個(gè)數(shù)X另一個(gè)數(shù)=乘積。例如在平均數(shù)問(wèn)題中有“平均數(shù)X數(shù)量=總數(shù)”，在行程問(wèn)題中有“速度X時(shí)間=路程”, 雞兔同籠問(wèn)題中有“每只雞的腿數(shù)X雞的只數(shù)=雞的總共腿數(shù)”而長(zhǎng)方形的面積公式恰好也是類(lèi)似的公式“長(zhǎng)X寬=面積”，那么我們就類(lèi)比這個(gè)公式可以將其它問(wèn)題都轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形的面積來(lái)處理，從而實(shí)現(xiàn)了將具體的應(yīng)用題轉(zhuǎn)化為幾何方面 的面積問(wèn)題例1：早上8:00,小明從家里去學(xué)校，如果小明每分鐘走60米，恰好能不遲到，如果每分鐘少走10米，那么就會(huì)遲到6分鐘，那么小明家距離學(xué)校多少米？方程法解題思路分析從題目看小明家到學(xué)校的距離沒(méi)法發(fā)生變化，但速度在前后兩次發(fā)生了變化，導(dǎo)致到學(xué)校的時(shí)間發(fā)生了變化，由于有距離、速度、時(shí)間出現(xiàn)，可以想到距離=速度X時(shí)間，從題目看速度知道，時(shí)間和距離不知道，考慮計(jì)算方便，我們可以設(shè)置剛好不遲到的時(shí)間為t分鐘，那么小明家到學(xué)校的距離可以表示為60t，當(dāng)速度減少10米/分鐘時(shí)，那么小明到學(xué)校的時(shí)間需要花（t+6）分鐘，因?yàn)榻档退俣群髸?huì)遲到6分鐘，那么小明家到學(xué)校的距離也可以表示為（60-10）X （t+6）=50t+300，因?yàn)榫嚯x沒(méi)有發(fā)生變化，前后兩次速度表示的距離應(yīng)該相等，因此可以用等式表示60t=50X（t+6）,然后解方程方程法解題過(guò)程：解：設(shè)小明按照60米/分鐘速度到學(xué)校的時(shí)間為t分鐘根據(jù)距離不變，寫(xiě)方程如下：60t=（60-10）X（t+6）60t=50t+50X610t=300t=30 分鐘距離為：60t=60X30=1800米答：小明家到學(xué)校距離為1800米 矩形圖分析法解題思路分析：由于距離=時(shí)間X速度，和長(zhǎng)方形的面積公式：面積=長(zhǎng)X寬 類(lèi)型，因此可以考慮將時(shí)間看為長(zhǎng)，速度看為寬，距離看作面積，這樣我們可以畫(huà)下圖圖形速度為60米/分鐘：，可以畫(huà)出如下長(zhǎng)方形如果每分鐘少走10米，相當(dāng)于寬減少10米/分鐘，遲到6分鐘，可以認(rèn)為長(zhǎng)度增加了6分鐘，按照距離不變，也就是A+ 斜線(xiàn)部分的面積和斜線(xiàn)部分+B的面積相等，也就是A=B的面積，從圖可以看出B的面積等于50X6=300，因此A的面積也等于300，A的面積等于10XA的長(zhǎng)，因此10XA的長(zhǎng)=300，A的長(zhǎng)度也就是時(shí)間=30，現(xiàn)在速度和時(shí)間都有了，計(jì)算距離就方便了：距離=速度X時(shí)間 距離=60X30=1800米矩形圖分析法解題過(guò)程：解：按照題意，可以考慮假定長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為時(shí)間，寬為速度，這樣可以畫(huà)出下圖由于距離保持不變，也就是面積不變，因此A圖形面積等于B圖形面積B的面積為50X6=300，因此A的長(zhǎng)度為面積寬=30010=3030就是按照60米/分鐘到學(xué)校不遲到的時(shí)間，因此家到學(xué)校的距離為60X30=1800米答：小明家到學(xué)校距離為1800米例2：養(yǎng)豬專(zhuān)業(yè)戶(hù)王大伯說(shuō)：“如果賣(mài)掉75頭豬，那么飼料可維持20夭，如果買(mǎi)進(jìn)100頭豬，那 么飼料只能維持15天?！眴?wèn)：王大伯一共養(yǎng)了多少頭豬？方程解題法解題分析：從題目看，飼料總數(shù)沒(méi)有發(fā)生變化，但豬的數(shù)量和能夠喂的天數(shù)在變化，因此考慮每天每頭豬吃的飼料是一樣的，從題目問(wèn)有多少頭豬考慮，我們可以假設(shè)豬的數(shù)量為Y頭，因此賣(mài)掉75頭時(shí)，可以用下面的等式表示總飼料：賣(mài)掉后剩下的豬（Y-75）頭X喂的天數(shù)，也就是20X（Y-75）如果是利用買(mǎi)家100頭豬后表示總飼料：買(mǎi)進(jìn)后總的豬（Y+100）頭X喂的天數(shù)，也就是15X（Y+100）根據(jù)總飼料不變得等式：20X（Y-75）=15X（Y+100），然后解方程方程解題法解題過(guò)程：解：設(shè)王大伯一共養(yǎng)了Y頭豬根據(jù)豬飼料總數(shù)不變，等方程20X（Y-75）=15X（Y+100）20Y-20X75=15Y+15X100 5Y=1500+20X75 5Y=3000 Y=600 （頭）答：王大伯一共養(yǎng)了600頭豬矩形圖分析法解題分析： 從題目看，飼料總數(shù)沒(méi)有發(fā)生變化，但豬的數(shù)量和能夠喂的天數(shù)在變化，因此考慮每天每頭豬吃的飼料是一樣的，都為1份，那么總飼料份數(shù)=豬的數(shù)量X喂的天數(shù)；這個(gè)和長(zhǎng)方形面積公式一致，我們考慮將豬的數(shù)量看為長(zhǎng)，喂的天數(shù)看為寬；可以得如下長(zhǎng)方形，如果不買(mǎi)不賣(mài)豬的數(shù)量為AI線(xiàn)段表示，天數(shù)為AC，飼料總數(shù)為ACKI的面積AIXAC；如果賣(mài)掉75頭豬，則剩余豬的數(shù)量為AH，線(xiàn)段HI=75頭，喂的天數(shù)為AD，20天（AD=20天），飼料總數(shù)為AHED的面積；如果買(mǎi)進(jìn)100頭豬，則豬的數(shù)量為AL，增加的100頭用IL表示IL=100頭：買(mǎi)進(jìn)豬后的天數(shù)為ML天，按照題目中條件天數(shù)為15天，因此ML=15天，總飼料數(shù)量為ALMB長(zhǎng)方形的面積，由于總飼料沒(méi)有變化，因此長(zhǎng)方形AHED和長(zhǎng)方形ALMB的面積相等，從圖中可以看出長(zhǎng)方形BGED的面積和長(zhǎng)方形HLMG的面積相等，長(zhǎng)方形HLMG的面積=HL X ML=（75+100）X 15；長(zhǎng)方形BGFD的面積=BGXBD=BGX（AD-AB）=BGX（20-15）=5BG根據(jù)面積相當(dāng)BG=面積BD=面積5=（75+100）X 155=525BG就是賣(mài)掉75頭后剩余的豬數(shù)量525頭，所以總豬的數(shù)量為AI=AH+HI=525+75=600頭矩形圖分析法解題過(guò)程：解：根據(jù)題意可以畫(huà)出如下圖形，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)表示豬的頭數(shù)，寬表示喂的天數(shù)，長(zhǎng)方形的面積表示總飼料按照總飼料不變，長(zhǎng)方形BDEG的面積和長(zhǎng)方形HLMG的面積相等長(zhǎng)方形HLMG的面積為（100+75）X15=2625長(zhǎng)方形BDEG的面積也為1625，該長(zhǎng)方形寬BD=5，因此長(zhǎng)方形長(zhǎng)BG為16255=525所以原先王大伯養(yǎng)的豬數(shù)量為AH+HI=525+75=600頭答：王大伯一共養(yǎng)了600頭豬盈虧法解題分析這個(gè)題目我們根據(jù)題意可以這么理解，當(dāng)每頭豬分20桶飼料時(shí)，有75頭豬沒(méi)有分到飼料，因此如果要每頭豬都分到20桶飼料，那么還缺20X75桶飼料，這個(gè)是虧，如果每頭豬分15桶飼料時(shí)，還剩飼料，剩的飼料可以分給100頭豬，因此剩余的飼料為15X100桶，所以按照盈虧計(jì)算法，前后兩次的飼料總數(shù)差為：盈+虧=15X100+20X75=3000，導(dǎo)致飼料變化的原因是每次分的桶數(shù)不一樣導(dǎo)致的，因此兩次分的桶數(shù)差為：20-15=5桶所以有豬的頭數(shù)為30005=600頭盈虧法解題過(guò)程：解：按照題意，如果不買(mǎi)也不買(mǎi)豬考慮，如果每頭豬分20份飼料，就有75頭無(wú)法分到飼料；飼料缺份數(shù)為：20X75=1500份如果每頭豬分15份飼料，剩余的飼料可以再分給100頭豬，因此飼料多的份數(shù)為：100X15=1500份所以按照盈虧法計(jì)算養(yǎng)的豬的頭數(shù)為：（20X75+100X15）（20-15）=600 （頭）答：王大伯一共養(yǎng)了600頭豬分析法解題法解題分析：下圖上半部分可以看出，賣(mài)掉75頭豬后，剩余的豬每頭豬都可以吃20天當(dāng)不賣(mài)而是買(mǎi)回100頭豬時(shí)，如下圖的下半部分所示，那么每頭豬可以吃15天吃15天時(shí)豬比可以吃20天時(shí)豬的數(shù)量多75+100=175頭豬，這就可以理解為原先賣(mài)完后剩余的豬，如果每頭豬拿出5天的飼料，可以滿(mǎn)足新增加的175頭豬吃15天，這樣就可以算出原先賣(mài)掉后剩余的豬數(shù)量為175X155=525頭，考慮原先賣(mài)掉的75頭，那么一共就是75+525=600頭豬分析法解題過(guò)程：解：按照題意可以用下圖表示，豬數(shù)量和飼料、吃的天數(shù)的關(guān)系從圖中看出，前后兩次豬的數(shù)量不一樣，吃15天時(shí)豬的數(shù)量比吃20天時(shí)豬數(shù)量多175頭由于吃的天數(shù)相差5天，可以計(jì)算出第一次賣(mài)掉后剩下的豬數(shù)量為：175X155=525頭，考慮原先賣(mài)掉的75頭，那么一共就是75+525=600頭豬答：王大伯一共養(yǎng)了600頭豬練一練一艘遠(yuǎn)洋輪船上共有28名海員，船上的淡水可以供全體海員用40天，輪船離開(kāi)港口10 天后在海上救起了12名遇難的外國(guó)船員，剩下的淡水可以供船上的人用多少天？分析法解題法：【解題分析】從題目看是10天后，救起了12名船員，因此按照題意，在10天后，救起其他船員時(shí)，如果不救的情況28名船員還可以使用30天淡水，假設(shè)每個(gè)人一天使用一份水，這樣船上淡水總量為28X30份，但現(xiàn)在救起了12名，那么總的船員數(shù)量為28+12=40人，總的淡水份數(shù)人數(shù)就是天數(shù)解題過(guò)程：解：按照題意，在救國(guó)外船員時(shí)，船上的淡水可以供28人使用30天，假設(shè)每個(gè)船員每天使用1份水，則船上有淡水30X28份救起12人后，人數(shù)變?yōu)?0人，所以使用天數(shù)為28X3040=21天答：剩下的淡水可以供船上的人用21天矩形圖分析法： 【解題過(guò)程】假設(shè)1個(gè)人1天用水1份，用橫線(xiàn)表示人數(shù)，用豎線(xiàn)表示天數(shù)，則面積就可以表示淡水總量，救人時(shí)單位總量可以表示為長(zhǎng)方形ABCD的面積30X28救人后船上人數(shù)增加12人，變成了40人，淡水使用天數(shù)會(huì)減少，因此淡水總量可以用長(zhǎng)方形AEFG面積表示：AG人數(shù)XGF天數(shù)，由于淡水總量不變，因此長(zhǎng)方形ABCD的面積和長(zhǎng)方形AEFG面積相等，因此40 X GF=30X28 GF=30X2840=21 天答：剩下的淡水可以供船上的人用21天七、模塊三：矩形圖的其它用法例1：有甲、乙兩個(gè)車(chē)間生產(chǎn)零件.甲車(chē)間共20名工人，每人每天平均生產(chǎn)50個(gè)零件，乙車(chē)間每人每天平均生產(chǎn)40個(gè)零件，兩個(gè)車(chē)間每人每天平均生產(chǎn)44個(gè)零件.請(qǐng)問(wèn)：乙車(chē)間有多少名工人？分析法解題法：【解題分析】從題目看我們知道每天平均生產(chǎn)44個(gè)，甲車(chē)間每個(gè)人生產(chǎn)50個(gè)，每個(gè)人比平均數(shù)多50-44=6個(gè)，那么甲車(chē)間20人一共比平均數(shù)多6X20=120個(gè)，但乙車(chē)間每個(gè)人只生產(chǎn)了40個(gè)，每個(gè)人要比平均數(shù)少4個(gè)，因此甲車(chē)間多的就要分給乙車(chē)間的工人，每個(gè)工人分4個(gè)，讓大家一樣多，到平均數(shù)，因此120個(gè)里有多少個(gè)4個(gè)，就是乙車(chē)間的人數(shù)解題過(guò)程：解：甲車(chē)間每個(gè)人生產(chǎn)數(shù)比平均數(shù)多6個(gè)，總共多20X6=120個(gè)乙車(chē)間每個(gè)人生產(chǎn)比平均數(shù)少4個(gè)，甲車(chē)間多的要分給乙車(chē)間每人4個(gè)才能是平均數(shù)，因此乙車(chē)間人數(shù)為1204=30 人答：乙車(chē)間有30名工人方程法解題法：【解題分析】從題目看我們不知道乙車(chē)間人數(shù)，因此可以考慮假設(shè)乙車(chē)間人數(shù)為Y人那么乙車(chē)間生產(chǎn)數(shù)量為40Y甲車(chē)間生產(chǎn)數(shù)量為50X20=1000使用平均數(shù)計(jì)算總的生產(chǎn)數(shù)量為44 X（Y+20）按照甲車(chē)間生產(chǎn)數(shù)量+乙車(chē)間生產(chǎn)數(shù)量=總數(shù)量寫(xiě)方程解題過(guò)程：解：設(shè)乙車(chē)間人數(shù)為Y人甲車(chē)間生產(chǎn)數(shù)量為50X20=1000乙車(chē)間生產(chǎn)數(shù)量為40Y寫(xiě)方程如下：（Y+20）X 44 = 40Y+1000 44Y+20X44=40Y+1000 44Y-40Y=100-880 4Y=120 Y=30答：乙車(chē)間有30名工人矩形圖分析法： 【解題過(guò)程】我們考慮生產(chǎn)零件總數(shù)等于人數(shù)X每個(gè)人生產(chǎn)的數(shù)量，這個(gè)和長(zhǎng)方形面積公式類(lèi)似面積=長(zhǎng)X寬；因此我們可以用長(zhǎng)表示人數(shù)，寬表示每個(gè)人生產(chǎn)的數(shù)量，面積表示總數(shù)從圖形可以看出長(zhǎng)方形ABCD面積表示甲車(chē)間生產(chǎn)的數(shù)量，長(zhǎng)方形DGJL面積表示乙車(chē)間生產(chǎn)的數(shù)量，長(zhǎng)方形AEIL面積表示甲、乙車(chē)間生產(chǎn)的總數(shù)量，其面積為前面兩個(gè)長(zhǎng)方形面積之和，因此推斷長(zhǎng)方形BEFC和長(zhǎng)方形GFIJ面積相等，從圖上可以看出BE=6，EF=20，IJ=4所以GJ=SGFIJ IJ=SBEFC 4=EF X BE 4=20X6 4=30所以乙車(chē)間人數(shù)為30人答：乙車(chē)間有30名工人例2: 園園買(mǎi)回3元一本和2元一本的兩種本子共20本，并用去56元，求買(mǎi)回來(lái)的兩種本子各多 少本？分析法解題法：【解題分析】按照題意，假設(shè)20本全部是3元一本的則需要20X3=60元，比實(shí)際多用60-56=4元如果按照下圖將其中一本換成2元一本的則需要錢(qián)數(shù)位19X3+1X2=59元，如果是2本換成2元的則需要錢(qián)數(shù)為18X3+2X2=58元，因此推斷每降一本三元的換成1本2元的就少花1元，全部是3元一本的會(huì)多4元，那么需要將41=4本3元一本的換成2元一本的，則剛好需要56元，16X3+4X2=56元解題過(guò)程：解：如果20本全部是3元一本，則需要錢(qián)數(shù)為：20X3=60元，多60-56=4元如果將一本3元的換成2元一本的則可以少3-2=1元41=4將4本3元一本的換成2元一本的，則需要錢(qián)數(shù)（20-4）X3+ 4X2=56元，剛好2元一本的4本3元一本的本數(shù)：20-4=16本答：2元一本的4本，3元一本的16本方程法解題法：【解題分析】題目知道總本數(shù)，需要求每種本子的數(shù)量，又知道每本的價(jià)格及總錢(qián)數(shù)，因此考慮設(shè)其中的一種本子數(shù)量為Y本，則另外一種的本子數(shù)量為（20-Y）本按照總錢(qián)數(shù)等于每種本子的錢(qián)數(shù)和寫(xiě)方程等式解題過(guò)程：解：設(shè)2元一本的本數(shù)為Y本，3元一本的為（20-Y）本2Y+3 X（20-Y）=56 2Y+60-3Y=56 60-56=3Y-2Y Y=43元一本的數(shù)量為（20-Y）=20-4=16本乙車(chē)間生產(chǎn)數(shù)量為40Y答：2元一本的4本，3元一本的16本八、本講鞏固8.1：某個(gè)長(zhǎng)方形原本的長(zhǎng)是20厘米，如果它的長(zhǎng)減少4厘米，寬再增加5厘米，面積保持 不變，那么原本長(zhǎng)方形的面積為多少？【解題過(guò)程】按照題意，可以使用長(zhǎng)方形ABCD表示原長(zhǎng)方形，長(zhǎng)AB=20cm，長(zhǎng)度減少4cm，寬度增加5cm后變成長(zhǎng)方形AHFE，長(zhǎng)AH=EF=20-4=16cm由于原長(zhǎng)方形和新長(zhǎng)方形面積相等，所以長(zhǎng)方形DEFG的面積和長(zhǎng)方形BCGH面積相等；SDEFG =EF X DE=16 X 5=80cm2 ；所以SBCGH =CG X BC= SDEFG =80cm2BC=80CG=804=20cm所以SABCD=AB X BC =20X20=400 cm2答：原本長(zhǎng)方形的面積為400 cm28.2：小明有若干粒巧克力，如果每天吃10 粒，那么正好整數(shù)天吃完，如果每天少吃2 粒，正好可以多吃5天，那么小明原本共有多少粒巧克力？矩形圖分析法： 【解題過(guò)程】總巧克力數(shù)量等于每天吃的粒數(shù)X吃的天數(shù)，這個(gè)和長(zhǎng)方形面積公式類(lèi)似面積=長(zhǎng)X寬；因此我們可以用長(zhǎng)表示天數(shù)，寬表示每天吃的數(shù)量，面積表示總巧克力數(shù)量從圖形可以看出長(zhǎng)方形ABCD面積表示每天吃10粒時(shí)巧克力總數(shù)量，長(zhǎng)方形AEFH面積表示每天吃8粒時(shí)巧克力總數(shù)量，由于巧克力總數(shù)量不變，因此長(zhǎng)方形DEGC和長(zhǎng)方形BGFH的面積相等，從圖上可以看出BH=5，BG=8，CG=2BGFH的面積：BH X BG=5X8=40，因此長(zhǎng)方形DEGC的面積也為40EG=40 CG=40 2=20從圖上看出EG=AB，所以AB=20，因此每天吃10粒的天數(shù)為20天巧克力粒數(shù)為：20X10=200粒 答：小明原本共有200粒巧克力方程法解題法：【解題分析】從提題目知道每天吃的巧克力的粒數(shù)，因此如果知道天數(shù)就可以方便的算出總巧克力粒數(shù)，因此我們可以考慮假設(shè)每天吃10粒的天數(shù)為Y天，按照總數(shù)=每天的粒數(shù)X天數(shù)，同時(shí)總數(shù)不變寫(xiě)方程，解方程解題過(guò)程：解：設(shè)每天10?？梢猿訷天，那么每天少吃2粒，也就是每天8粒時(shí)，吃的天數(shù)為（Y+5）天，寫(xiě)方程如下10Y =8 X （Y+5）10Y-8Y=8X5 2Y=40 Y=20 天巧克力總粒數(shù)：20X10=200粒答：小明原本共有200粒巧克力8.3：早上8 :00，小明從家里去學(xué)校，如果小明每分鐘走60米，恰好能不遲到，如果每 分鐘多走10米，那么就會(huì)提前5分鐘到達(dá)，那么小明家距離學(xué)校多少米？矩形圖分析法： 【解題過(guò)程】距離=速度X時(shí)間，這個(gè)和長(zhǎng)方形面積公式類(lèi)似面積=長(zhǎng)X寬；因此我們可以用長(zhǎng)表示時(shí)間，寬表示速度，面積表示距離從圖形可以看出長(zhǎng)方形ABCD面積及長(zhǎng)方形AEFH面積都可以表示小明家道學(xué)校的距離，因此長(zhǎng)方形DEFG和長(zhǎng)方形BCGH的面積相等，從圖上可以看出BH=5，BC=60，F(xiàn)G=10BCGH的面積：BC X BH=60X5=300，因此長(zhǎng)方形DEFG的面積也為300DG=300 GF=300 10=30DG表示按照70米/分鐘速度到學(xué)校的時(shí)間30分鐘，所以距離為：70X30=2100米 答：小明家距離學(xué)校2100米方程法解題法：【解題分析】根據(jù)：距離=速度X時(shí)間，從題目知道速度，因此可以設(shè)時(shí)間為Y，然后根據(jù)距離不變寫(xiě)方程，解方程解題過(guò)程：解：設(shè)每分鐘60米速度到學(xué)校時(shí)間為Y分鐘，那么速度增加10米/分鐘后，到學(xué)校時(shí)間為（Y-5）分鐘，按照距離相等寫(xiě)方程如下70X（Y-5） =60Y70Y-60Y=70X5 10Y=350 Y=35 分鐘距離：60X35=2100米答：小明家距離學(xué)校2100米8.4：某次考試，四年級(jí)一班的同學(xué)平均分是86分，四年級(jí)二班的同學(xué)平均分是91分，兩 個(gè)班的總平均分是89分，已知一班有30人，那么二班有多少人？矩形圖分析法： 【解題過(guò)程】總分=每個(gè)學(xué)生分?jǐn)?shù)X人數(shù)，這個(gè)和長(zhǎng)方形面積公式類(lèi)似面積=長(zhǎng)X寬；因此我們可以用長(zhǎng)表示人數(shù)，寬表示每個(gè)學(xué)生分?jǐn)?shù)，面積表示總分從圖形可以看出長(zhǎng)方形ABCD面積可以表示二班總分，長(zhǎng)方形DGJL面積可以表示一班總分；長(zhǎng)方形AEIL面積表示一、二班一共的總分，其面積為ABCD面積、DGJL面積兩個(gè)長(zhǎng)方形面積之和，因此推斷長(zhǎng)方形BEFC和長(zhǎng)方形GFIJ面積相等，從圖上可以看出BE=91-89=2，DL=30，IJ=AE-JL=89-86=3所以BC= SBEFC BE= SGFIJ 2=IJ X GJ 2=3X30 2=45所以二班人數(shù)為45人答：二班有45人方程法解題法：【解題分析】根據(jù)：總分=每個(gè)學(xué)生分?jǐn)?shù)X人數(shù)，從題目知道每個(gè)人平均分和一班人數(shù)，因此可以設(shè)二班人數(shù)為Y人，然后根據(jù)總分不變寫(xiě)方程，解方程解題過(guò)程：解：設(shè)二班人數(shù)為Y人，一二班總?cè)藬?shù)為（30+Y）人，寫(xiě)方程如下91Y + 86 X 30 =89X（30+Y）91Y-89Y=89X30 - 86 X 30 2Y=（89-86）X 30 Y=45 人答：二班有45人分析法解題法：【解題分析】從題目看我們知道兩個(gè)班總平均分為89分，一班平均分為86分，有30個(gè)人，因此需要滿(mǎn)足兩個(gè)班的總平均分，還差 （89-86）X30 = 90分，這個(gè)需要二班高于總平均分部分來(lái)給一班；一班平均分為91分，平均每個(gè)人要比總平均數(shù)多2分，那需要多少個(gè)人才能提供一班少的90分呢，因此算90分里有多少個(gè)2分，這樣就可以算出二班人數(shù)解題過(guò)程：解：一班平均分比比總平均數(shù)少3分，30個(gè)人總共少30X3=90個(gè)二班平均分比總平均分多2分，就是每個(gè)人比總平均分舵多2分，因此二班人數(shù)X2=一班總少的份數(shù)二班人數(shù)：902=45 人答：二班有45人8.5：在已考的5次考試中，張明的平均成績(jī)?yōu)?80分（每次考試的滿(mǎn)分是100分），為了使 平均成績(jī)盡快達(dá)到92分或以上，他至少還要連考多少次滿(mǎn)分？矩形圖分析法： 【解題過(guò)程】總分=每次考的分?jǐn)?shù)X次數(shù)，這個(gè)和長(zhǎng)方形面積公式類(lèi)似面積=長(zhǎng)X寬；因此我們可以用長(zhǎng)表示考試次數(shù)，寬表示每次考的分?jǐn)?shù)，面積表示總分用長(zhǎng)方形ABCD面積可以表示考100分次數(shù)的總分，長(zhǎng)方形DGJL面積可以表示平均80分的5次的總分；長(zhǎng)方形AEIL面積表示總的考試次數(shù)的總分，其面積為ABCD面積、DGJL面積兩個(gè)長(zhǎng)方形面積之和，因此推斷長(zhǎng)方形BEFC和長(zhǎng)方形GFIJ面積相等，從圖上可以看出BE=100-92=8，F(xiàn)I=GJ=DL=5，IJ=FG=AE-JL=92-80=12所以BC= SBEFC BE= SGFIJ 8=IJ X GJ 8=12X5 8=608=7 4所以至少要連考8次100分平均分才能達(dá)到92分以上答：張明至少還要連考8次滿(mǎn)分方程法解題法：【解題分析】根據(jù)：總分=每次考的分?jǐn)?shù)X次數(shù)，從題目知道平均分92分、平均分80分機(jī)平均80分的次數(shù)，還有考100分，但考100分次數(shù)不知道，因此可以設(shè)考100分的次數(shù)為Y次，然后根據(jù)總分不變寫(xiě)方程，解方程解題過(guò)程：解：設(shè)考100分的次數(shù)為Y次，總的考試次數(shù)為（5+Y）次，寫(xiě)方程如下100Y + 80 X 5 =92X（5+Y）100Y-92Y=92X5 - 80 X 5 8Y=（92-80）X 5 Y=7 4 因此次數(shù)為8次答：張明至少還要連考8次滿(mǎn)分九、復(fù)習(xí)鞏固9.1：松松和星星兩家相距2016米，兩人從各自家中同時(shí)出發(fā)，向?qū)Ψ郊抑星斑M(jìn)，松松每秒走 1米，星星每秒走2米.那么多少秒之后兩人之間的距離還剩下216米？分析法解題法解題分析：根據(jù)題目可以畫(huà)出如下示意圖，在松松走到A點(diǎn)，星星走到B點(diǎn)時(shí)，他們相距216米，因此AB=216，知道松松和星星家之間的總距離為2016米，因此他們一共走的距離為2016-216=1800米，然后按照距離=速度X時(shí)間方式計(jì)算時(shí)間：時(shí)間=距離速度解題過(guò)程：解：按照題意可以畫(huà)出上圖示意圖，AB表示他們相距216米他們一共走的距離為2016-216=1800米松松的速度為1米/秒，星星的速度為2米/秒，他們總的速度為1+2=3米/秒按照時(shí)間=距離速度得時(shí)間：18003=600秒答：600秒之后兩人之間的距離還剩下216米方程法解題法解題分析：題目中有速度、距離、時(shí)間，因此想到 距離=速度X時(shí)間的公式，從題目知道總距離、速度，最后兩個(gè)人得距離，要求時(shí)間，因此我們可以考慮設(shè)走的時(shí)間為T(mén)秒，然后根據(jù)每個(gè)人走的路程、總路程來(lái)寫(xiě)方程，解方程解題過(guò)程：解：設(shè)T秒之后兩人之間的距離還剩下216米，根據(jù)總路程寫(xiě)方程如下1T + 2T+216 =2016 3T=1800 T=600 (秒)答：600秒之后兩人之間的距離還剩下216米9.2：松松和星星在進(jìn)行賽跑，兩人處于同一起跑線(xiàn)，由于松松跑得慢，所以星星讓松松先 跑了6秒，結(jié)果兩人同時(shí)到達(dá)終點(diǎn).已知松松的速度每秒3米，星星的速度是每秒5米，那 么松松一共跑了多少秒？他們比賽的路程是多少米？分析法解題法解題分析：根據(jù)題目可以畫(huà)出如下示意圖，在松松從A跑到C點(diǎn)是先跑6秒跑的距離，其距離為3X6=18米，當(dāng)松松在C點(diǎn)繼續(xù)跑時(shí)，星星開(kāi)始從A點(diǎn)跑，由于他們同時(shí)到B點(diǎn)終點(diǎn)，因此星星從A到B的時(shí)間和松松從C到B點(diǎn)跑的時(shí)間一樣，所以星星在到達(dá)B點(diǎn)時(shí)比松松多跑18米，但用的時(shí)間一樣。從題目中知道松松的速度為3米/秒，星星的速度為5米/秒，因此如果他們都跑1秒時(shí)，星星跑5米，松松跑3米，星星每秒多跑2米，從前面分析，星星多跑了18米，那么星星跑的時(shí)間為182=9秒解題過(guò)程：解：按照題意可以畫(huà)出上圖示意圖，AC為松松先跑的距離：3X6=18米；松松從C跑到終點(diǎn)B和星星從A跑到終點(diǎn)B的時(shí)間一樣，但星星多跑了18米，按照速度差X時(shí)間=距離差，知道時(shí)間=距離差速度差星星跑的時(shí)間為：18（5-3）=9秒松松先跑6秒，松松跑的時(shí)間為：9+6=15秒按照距離=時(shí)間X速度得，A到B的距離：5 X 9 = 45米答：松松一共跑了15秒；他們比賽的路程是45米方程法解題法解題分析：題目中有速度、距離、時(shí)間，因此想到 距離=速度X時(shí)間的公式，從題目知道兩個(gè)人各自的速度，距離和時(shí)間不知道，但兩個(gè)人比賽跑的距離相等，為了方便計(jì)算，可以考慮星星跑的時(shí)間為T(mén)秒，那么松松先跑6秒，因此松松跑的時(shí)間為（T+6）秒然后根據(jù)每個(gè)人跑的路程一樣來(lái)寫(xiě)方程，解方程解題過(guò)程：解：設(shè)星星跑了T秒到終點(diǎn)，松松跑了（T+6）秒，根據(jù)兩個(gè)人跑的距離一樣寫(xiě)方程如下 5T=3X（T+6）5T-3T=3X6 2T=18 T=9 (秒)松松跑的時(shí)間：T+6=9+6=15秒距離為：5X9=45米答：松松一共跑了15秒；他們比賽的路程是45米9.3：甲、乙、丙、丁在比較他們的身高，甲說(shuō):“我最高.”乙說(shuō):“我不最矮.”丙 說(shuō)：“我沒(méi)甲高，但還有人比我矮.”丁說(shuō)：“我最矮.”實(shí)際測(cè)量的結(jié)果表明，只有一人說(shuō)錯(cuò)了.請(qǐng)將他們按身高次序從高到矮排列 出來(lái).【解題過(guò)程】解：按照題意可以畫(huà)出下表最高第二高第二矮最矮甲甲乙可能乙可能乙丙可能丙可能丙丁丁1） 從上面表格看，如果丁錯(cuò)，那么其他人是正確的，就沒(méi)有最矮的人，因此丁說(shuō)的是對(duì)的2） 如果甲是對(duì)的話(huà)，加上定也是對(duì)的，乙和丙，無(wú)論誰(shuí)在第二高或者第二矮，都成立，這樣就沒(méi)有錯(cuò)的，因此甲不能正確，因此甲說(shuō)錯(cuò)了3） 甲錯(cuò)了，他不在最高，乙、丙都是對(duì)的，因此按照丙說(shuō)沒(méi)有甲高，有人比我矮，推斷甲在第二高，丙在第二矮，這樣乙在最高和他說(shuō)不是最矮相一致4） 所以身高順序?yàn)椋阂?、甲、丙、丁，如下圖最高第二高第二矮最矮甲甲乙乙丙丙丁丁答：身高順序從高到矮排列：乙、甲、丙、丁.