人教版九年級(jí)上冊 期中試卷(3)
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期中試卷(3) 一、選擇題(本大題共6小題,每小題3分,共18分) 1.(3分)下列函數(shù)中不是二次函數(shù)的有( ?。? A.y=x(x﹣1) B.y=﹣1 C.y=﹣x2 D.y=(x+4)2﹣x2 2.(3分)將一元二次方程x2﹣2x﹣2=0配方后所得的方程是( ) A.(x﹣2)2=2 B.(x﹣1)2=2 C.(x﹣1)2=3 D.(x﹣2)2=3 3.(3分)如圖,不是中心對(duì)稱圖形的是( ) A. B. C. D. 4.(3分)已知關(guān)于x的一元二次方程(a﹣1)x2+x+a2﹣1=0的一個(gè)根是0,則a的值為( ) A.1 B.﹣1 C.1或﹣1 D. 5.(3分)如圖,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=3,BC=5,將腰DC繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°至DE,連接AE,則△ADE的面積是( ?。? A.1 B.2 C.3 D.4 6.(3分)如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分,圖象過點(diǎn)A(﹣3,0),對(duì)稱軸為x=﹣1.給出四個(gè)結(jié)論: ①b2>4ac;②2a+b=0;③3a+c=0;④a+b+c=0. 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( ?。? A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 二、填空題(本大題共6小題,每小題3分,共18分) 7.(3分)拋物線y=a(x+1)(x﹣3)(a≠0)的對(duì)稱軸是直線 ?。? 8.(3分)已知m,n是方程x2+4x﹣7=0的兩根,則代數(shù)式的值為 ?。? 9.(3分)已知x能使得+有意義,則點(diǎn)P(x+2,x﹣3)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P′在第 象限. 10.(3分)已知二次函數(shù)y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)(3,0)和(4,0),則這個(gè)二次函數(shù)的解析式是 . 11.(3分)若拋物線y=x2與直線y=x+2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,1)和(2,4),則方程x2﹣x﹣2=0的解為 ?。? 12.(3分)如圖,A(,1),B(1,).將△AOB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)150°得到△A′OB′,則此時(shí)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為 . 三、解答題(本大題共5小題,每小題6分,共30分) 13.(6分)用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋? (1)x2﹣3x+1=0 (2)x(x﹣2)+2x﹣4=0. 14.(6分)如圖,某小區(qū)在寬20m,長32m的矩形地面上修筑同樣寬的人行道(圖中陰影部分),余下的部分種上草坪.要使草坪的面積為540m2,求道路的寬. 15.(6分)如圖,有一座拋物線型拱橋,橋下面在正常水位AB時(shí)寬20米,水位上升3米就達(dá)到警戒線CD,這時(shí)水面寬度為10米.若洪水到來時(shí),水位以每小時(shí)0.2米的速度上升從警戒線開始,再持續(xù)多少小時(shí)才能到拱橋頂?(平面直角坐標(biāo)系是以橋頂點(diǎn)為點(diǎn)O的) 16.(6分)如圖,方格紙中有三個(gè)點(diǎn)A,B,C,要求作一個(gè)四邊形使這三個(gè)點(diǎn)在這個(gè)四邊形的邊(包括頂點(diǎn))上,且四邊形的頂點(diǎn)在方格的頂點(diǎn)上. (1)在甲圖中作出的四邊形是中心對(duì)稱圖形但不是軸對(duì)稱圖形; (2)在乙圖中作出的四邊形是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形; (3)在丙圖中作出的四邊形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形. 17.(6分)已知二次函數(shù)y=﹣x2﹣x+ (1)用配方法把該二次函數(shù)的解析式化為y=a(x+h)2+k的形式; (2)指出該二次函數(shù)圖象的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸. 四、(本大題共4小題,每小題8分,共32分) 18.(8分)已知x1,x2是方程x2﹣4x+2=0的兩根,求:(1)的值;(2)(x1﹣x2)2的值. 19.(8分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,Rt△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(﹣3,2),B(0,4),C(0,2). (1)將△ABC以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°,畫出旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的△A1B1C;平移△ABC,若點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2的坐標(biāo)為(0,﹣4),畫出平移后對(duì)應(yīng)的△A2B2C2; (2)若將△A1B1C繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可以得到△A2B2C2;請直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo); (3)在x軸上有一點(diǎn)P,使得PA+PB的值最小,請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo). 20.(8分)已知關(guān)于x的方程x2﹣(2k+1)x+4(k﹣)=0 (1)求證:無論k取何值,這個(gè)方程總有實(shí)數(shù)根; (2)若等腰三角形ABC的一邊長a=4,另兩邊b、c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根,求△ABC的周長. 21.(8分)小李按市場價(jià)格30元/千克收購了一批海鮮1000千克存放在冷庫里,據(jù)預(yù)測,海鮮的市場價(jià)格將每天每千克上漲1元.冷凍存放這批海鮮每天需要支出各種費(fèi)用合計(jì)310元,而且這些海鮮在冷庫中最多存放160天,同時(shí)平均每天有3千克的海鮮變質(zhì). (1)設(shè)x天后每千克該海鮮的市場價(jià)格為y元,試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式; (2)若存放x天后,將這批海鮮一次性出售.設(shè)這批海鮮的銷售總額為P元,試寫出P與x之間的函數(shù)關(guān)系式; (3)小李將這批海鮮存放多少天后出售可獲得最大利潤,最大利潤是多少元?(利潤W=銷售總額﹣收購成本﹣各種費(fèi)用) 五、(本大題10分) 22.(10分)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),DE⊥BC,垂足為點(diǎn)E,連接CD. (1)如圖1,DE與BC的數(shù)量關(guān)系是 ??; (2)如圖2,若P是線段CB上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合),連接DP,將線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段DF,連接BF,請猜想DE、BF、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論; (3)若點(diǎn)P是線段CB延長線上一動(dòng)點(diǎn),按照(2)中的作法,請?jiān)趫D3中補(bǔ)全圖形,并直接寫出DE、BF、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系. 六、(本大題12分) 23.(12分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=x2+mx+n經(jīng)過點(diǎn)A(3,0)、B(0,﹣3),點(diǎn)P是直線AB上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)M,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t. (1)分別求出直線AB和這條拋物線的解析式. (2)若點(diǎn)P在第四象限,連接AM、BM,當(dāng)線段PM最長時(shí),求△ABM的面積. (3)是否存在這樣的點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P、M、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形?若存在,請求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo);若不存在,請說明理由. 參考答案與試題解析 一、選擇題(本大題共6小題,每小題3分,共18分) 1.(3分)下列函數(shù)中不是二次函數(shù)的有( ) A.y=x(x﹣1) B.y=﹣1 C.y=﹣x2 D.y=(x+4)2﹣x2 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的定義.菁 【分析】依據(jù)二次函數(shù)的定義回答即可. 【解答】解:A、整理得y=x2﹣x,是二次函數(shù),與要求不符; B、y=﹣1是二次函數(shù),與要求不符; C、y=﹣x2是二次函數(shù),與要求不符; D、整理得:y=8x+16是一次函數(shù),與要求相符. 故選:D. 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是二次函數(shù)的定義,掌握二次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵. 2.(3分)將一元二次方程x2﹣2x﹣2=0配方后所得的方程是( ?。? A.(x﹣2)2=2 B.(x﹣1)2=2 C.(x﹣1)2=3 D.(x﹣2)2=3 【考點(diǎn)】解一元二次方程-配方法.菁 【分析】配方法解一元二次方程,解題時(shí)要注意解題步驟的準(zhǔn)確使用,把左邊配成完全平方式,右邊化為常數(shù). 【解答】解:∵x2﹣2x﹣2=0, ∴x2﹣2x=2, ∴x2﹣2x+1=2+1, ∴(x﹣1)2=3. 故選:C. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法解一元二次方程.配方法的一般步驟: (1)把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊; (2)把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1; (3)等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方. 選擇用配方法解一元二次方程時(shí),最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1,一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù). 3.(3分)如圖,不是中心對(duì)稱圖形的是( ?。? A. B. C. D. 【考點(diǎn)】中心對(duì)稱圖形.菁 【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念即可求解. 【解答】解:根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念:在同一平面內(nèi),如果把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度,旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合,可知A、B、C是中心對(duì)稱圖形;D不是中心對(duì)稱圖形. 故選D. 【點(diǎn)評(píng)】掌握中心對(duì)稱圖形的概念.中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心,旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合. 4.(3分)已知關(guān)于x的一元二次方程(a﹣1)x2+x+a2﹣1=0的一個(gè)根是0,則a的值為( ?。? A.1 B.﹣1 C.1或﹣1 D. 【考點(diǎn)】一元二次方程的解.菁 【專題】計(jì)算題. 【分析】由一元二次方程(a﹣1)x2+x+a2﹣1=0的一個(gè)根是0,將x=0代入方程得到關(guān)于a的方程,求出方程的解得到a的值,將a的值代入方程進(jìn)行檢驗(yàn),即可得到滿足題意a的值. 【解答】解:∵一元二次方程(a﹣1)x2+x+a2﹣1=0的一個(gè)根是0, ∴將x=0代入方程得:a2﹣1=0, 解得:a=1或a=﹣1, 將a=1代入方程得二次項(xiàng)系數(shù)為0,不合題意,舍去, 則a的值為﹣1. 故選:B. 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程的解,以及一元二次方程的解法,方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值. 5.(3分)如圖,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=3,BC=5,將腰DC繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°至DE,連接AE,則△ADE的面積是( ?。? A.1 B.2 C.3 D.4 【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);全等三角形的性質(zhì);全等三角形的判定;直角梯形.菁 【專題】壓軸題. 【分析】求△ADE的面積,已知底AD=3,過E作EF垂直于AD交AD的延長線于F,EF就是高,然后再找和高相等的等量關(guān)系,三角形EDF全等于三角形CDG,EF=CG=2,則△ADE的面積就能求出來. 【解答】解:過點(diǎn)D作DG垂直于BC于G,過E作EF垂直于AD交AD的延長線于F, ∵∠EDF+∠CDF=90°,∠CDF+∠CDG=90°, ∴∠EDF=∠CDG, 又∵∠EFD=∠CGD=90°,DE=DC, ∴△EDF≌△CDG(AAS), ∴EF=CG, ∴CG=BC﹣BG=5﹣3=2, ∴EF=2, ∴S△ADE=×AD×EF=×3×2=3. 故選C. 【點(diǎn)評(píng)】本題需要把旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形的面積公式結(jié)合求解.考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力.注意旋轉(zhuǎn)變化前后,對(duì)應(yīng)角相等. 6.(3分)如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分,圖象過點(diǎn)A(﹣3,0),對(duì)稱軸為x=﹣1.給出四個(gè)結(jié)論: ①b2>4ac;②2a+b=0;③3a+c=0;④a+b+c=0. 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( ?。? A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.菁 【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系,由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系,然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理,進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷. 【解答】解:∵拋物線的開口方向向下, ∴a<0; ∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn), ∴b2﹣4ac>0,即b2>4ac,①正確; 由圖象可知:對(duì)稱軸x==﹣1, ∴2a=b,2a+b=4a, ∵a≠0, ∴2a+b≠0,②錯(cuò)誤; ∵圖象過點(diǎn)A(﹣3,0), ∴9a﹣3b+c=0,2a=b, ∴9a﹣6a+c=0,c=﹣3a,③正確; ∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上, ∴c>0 由圖象可知:當(dāng)x=1時(shí)y=0, ∴a+b+c=0,④正確. 故選:C. 【點(diǎn)評(píng)】考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系,解答本題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)系數(shù)符號(hào)由拋物線開口方向、對(duì)稱軸、拋物線與y軸的交點(diǎn)、拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定. 二、填空題(本大題共6小題,每小題3分,共18分) 7.(3分)拋物線y=a(x+1)(x﹣3)(a≠0)的對(duì)稱軸是直線 x=1?。? 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì).菁 【分析】先把拋物線的方程變?yōu)閥=ax2﹣2ax﹣3a,由公式x=得拋物線的對(duì)稱軸為x=1. 【解答】解:y=a(x+1)(x﹣3) =ax2﹣2ax﹣3a 由公式得, 拋物線的對(duì)稱軸為x=1. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的對(duì)稱軸的求法,同學(xué)們要熟練記憶拋物線的對(duì)稱軸公式x=. 8.(3分)已知m,n是方程x2+4x﹣7=0的兩根,則代數(shù)式的值為 3?。? 【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系;二次根式的性質(zhì)與化簡.菁 【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得m+n=﹣4,mn=﹣7,然后將代數(shù)式化簡代入即可求得答案. 【解答】3解:∵m,n是方程x2+4x﹣7=0的兩根, ∴m+n=﹣4,mn=﹣7, ∴===3, 故答案為:3. 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法. 9.(3分)已知x能使得+有意義,則點(diǎn)P(x+2,x﹣3)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P′在第 二 象限. 【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件;關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo).菁 【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式,求出x的范圍,根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)解答. 【解答】解:由題意得,x+1≥0,2﹣x≥0, 解得,﹣1≤x≤2, 則x+2>0,x﹣3<0,即點(diǎn)P(x+2,x﹣3)在第四象限, 故點(diǎn)P(x+2,x﹣3)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P′在第二象限, 故答案為:二. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式有意義的條件、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn),掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵. 10.(3分)已知二次函數(shù)y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)(3,0)和(4,0),則這個(gè)二次函數(shù)的解析式是 y=x2﹣7x+12?。? 【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式.菁 【專題】計(jì)算題. 【分析】由于已知了二次函數(shù)與x軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo),則可設(shè)交點(diǎn)式易得其解析式. 【解答】解:設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x﹣3)(x﹣4), 而a=1, 所以二次函數(shù)的解析式為y=(x﹣3)(x﹣4)=x2﹣7x+12. 故答案為y=x2﹣7x+12. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式:在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí),要根據(jù)題目給定的條件,選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式,從而代入數(shù)值求解.一般地,當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí),常選擇一般式,用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解;當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí),常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解;當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解. 11.(3分)若拋物線y=x2與直線y=x+2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,1)和(2,4),則方程x2﹣x﹣2=0的解為 ﹣1或2?。? 【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn).菁 【分析】利用方程組的解,確定一元二次方程的解即可. 【解答】解:∵y=x2與直線y=x+2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,1)和(2,4), ∴消去y得到x2﹣x﹣2=0的解為x=﹣1或2, 故答案為﹣1或2. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)與cX軸的交點(diǎn)、解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題,屬于中考常考題型. 12.(3分)如圖,A(,1),B(1,).將△AOB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)150°得到△A′OB′,則此時(shí)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為 (﹣1,﹣)或(﹣2,0)?。? 【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn).菁 【分析】作輔助線,構(gòu)建直角三角形,根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)求直角△AOC三邊的長,再分兩種情況討論:逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°或順時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°,根據(jù)旋轉(zhuǎn)角得特殊角,由30°角的直角三角形的性質(zhì)可以依次求出A′的坐標(biāo). 【解答】解:過A作AC⊥x軸于C, ∵A(,1), ∴OC=,AC=1, 由勾股定理得:OA=2, tan∠AOC==, ∴∠AOC=30°, 分兩種情況: ①將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°得到△A′OB′,如圖1, 此時(shí)OA在x軸上,則A′的坐標(biāo)為(﹣2,0), ②將△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°得到△A′OB′,如圖2, 過A′作A′D⊥x軸于D, ∵∠AOC=30°,∠AOA′=150°, ∴∠A′OC=150°﹣30°=120°, ∴∠A′OD=60°, 在Rt△A′OD中,∠DA′O=30°,A′O=2, ∴OD=1,A′D=, ∴A′的坐標(biāo)為(﹣1,﹣), 則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為:(﹣2,0)或(﹣1,﹣); 故答案為:(﹣2,0)或(﹣1,﹣). 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn),根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)判斷出點(diǎn)A′的位置,注意構(gòu)建直角三角形,同時(shí)還要分情況討論求解. 三、解答題(本大題共5小題,每小題6分,共30分) 13.(6分)用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋? (1)x2﹣3x+1=0 (2)x(x﹣2)+2x﹣4=0. 【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-公式法.菁 【分析】(1)公式法求解可得; (2)因式分解法求解可得. 【解答】解:(1)∵a=1,b=﹣3,c=1, ∴△=9﹣4×1×1=5, ∴x=; (2)∵x(x﹣2)+2(x﹣2)=0, ∴(x﹣2)(x+2)=0, ∴x﹣2=0或x+2=0, 解得:x=2或x=﹣2. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接開平方法,配方法,公式法,因式分解法,要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法. 14.(6分)如圖,某小區(qū)在寬20m,長32m的矩形地面上修筑同樣寬的人行道(圖中陰影部分),余下的部分種上草坪.要使草坪的面積為540m2,求道路的寬. 【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.菁 【專題】幾何圖形問題. 【分析】本題中我們可以根據(jù)矩形的性質(zhì),先將道路進(jìn)行平移,然后根據(jù)矩形的面積公式列方程求解. 【解答】解法一:原圖經(jīng)過平移轉(zhuǎn)化為圖1. 設(shè)道路寬為X米, 根據(jù)題意,得(20﹣x)(32﹣x)=540. 整理得x2﹣52x+100=0. 解得x1=50(不合題意,舍去),x2=2. 答:道路寬為2米. 解法二:原圖經(jīng)過平移轉(zhuǎn)化為圖2. 設(shè)道路寬為x米, 根據(jù)題意,20×32﹣(20+32)x+x2=540 整理得x2﹣52x+100=0. 解得x1=50(不合題意,舍去),x2=2. 答:道路寬為2米. 【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于面積問題應(yīng)熟記各種圖形的面積公式.本題中按原圖進(jìn)行計(jì)算比較復(fù)雜時(shí),可根據(jù)圖形的性質(zhì)適當(dāng)?shù)倪M(jìn)行轉(zhuǎn)換化簡,然后根據(jù)題意列出方程求解. 15.(6分)如圖,有一座拋物線型拱橋,橋下面在正常水位AB時(shí)寬20米,水位上升3米就達(dá)到警戒線CD,這時(shí)水面寬度為10米.若洪水到來時(shí),水位以每小時(shí)0.2米的速度上升從警戒線開始,再持續(xù)多少小時(shí)才能到拱橋頂?(平面直角坐標(biāo)系是以橋頂點(diǎn)為點(diǎn)O的) 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用.菁 【分析】先設(shè)拋物線的解析式為y=ax2,再找出幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),代入解析式后可求得拋物線的解析式,把b=﹣1代入即可求出CD的長度,進(jìn)而求出時(shí)間. 【解答】解:設(shè)所求拋物線的解析式為: y=ax2. 設(shè)D(5,b),則B(10,b﹣3), 把D、B的坐標(biāo)分別代入y=ax2得:, 解得:, ∴y=﹣x2; ∵b=﹣1, ∴拱橋頂O到CD的距離為1,=5小時(shí). 所以再持續(xù)5小時(shí)到達(dá)拱橋頂5小時(shí). 【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.借助二次函數(shù)解決實(shí)際問題是解題的關(guān)鍵. 16.(6分)如圖,方格紙中有三個(gè)點(diǎn)A,B,C,要求作一個(gè)四邊形使這三個(gè)點(diǎn)在這個(gè)四邊形的邊(包括頂點(diǎn))上,且四邊形的頂點(diǎn)在方格的頂點(diǎn)上. (1)在甲圖中作出的四邊形是中心對(duì)稱圖形但不是軸對(duì)稱圖形; (2)在乙圖中作出的四邊形是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形; (3)在丙圖中作出的四邊形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形. 【考點(diǎn)】中心對(duì)稱圖形;軸對(duì)稱圖形.菁 【分析】(1)平行四邊形是中心對(duì)稱圖形但不是軸對(duì)稱圖形; (2)等腰梯形是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形; (3)正方形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形. 【解答】解:(1)甲圖:平行四邊形, (2)乙圖:等腰梯形, (3)丙圖:正方形. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形,熟練掌握幾個(gè)常見的四邊形是哪類圖形是關(guān)鍵:①平行四邊形是中心對(duì)稱圖形但不是軸對(duì)稱圖形;②等腰梯形是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形;③矩形、菱形、正方形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形. 17.(6分)已知二次函數(shù)y=﹣x2﹣x+ (1)用配方法把該二次函數(shù)的解析式化為y=a(x+h)2+k的形式; (2)指出該二次函數(shù)圖象的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸. 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的三種形式.菁 【分析】(1)根據(jù)配方法,先提取﹣,然后配成完全平方式,整理即可; (2)根據(jù)a是負(fù)數(shù)以及頂點(diǎn)式解析式分別求解即可. 【解答】解:(1)y=﹣x2﹣x+, =﹣(x2+2x+1)++, =﹣(x+1)2+4; (2)∵a=﹣<0, ∴開口向下; 頂點(diǎn)坐標(biāo)(﹣1,4); 對(duì)稱軸為直線x=﹣1. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的三種形式:(1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數(shù));(2)頂點(diǎn)式:y=a(x﹣h)2+k;(3)交點(diǎn)式(與x軸):y=a(x﹣x1)(x﹣x2). 四、(本大題共4小題,每小題8分,共32分) 18.(8分)已知x1,x2是方程x2﹣4x+2=0的兩根,求:(1)的值;(2)(x1﹣x2)2的值. 【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系.菁 【分析】易得到兩根之和與兩根之積的具體數(shù)值,把所求代數(shù)式整理成與之有關(guān)的式子而求解. 【解答】解:∵x1+x2=4,x1x2=2. (1)=2. (2)(x1﹣x2)2=(x1+x2)2﹣4x1x2=42﹣4×2=8. 【點(diǎn)評(píng)】解決本題的關(guān)鍵是把所求的代數(shù)式整理成與根與系數(shù)有關(guān)的形式. 19.(8分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,Rt△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(﹣3,2),B(0,4),C(0,2). (1)將△ABC以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°,畫出旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的△A1B1C;平移△ABC,若點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2的坐標(biāo)為(0,﹣4),畫出平移后對(duì)應(yīng)的△A2B2C2; (2)若將△A1B1C繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可以得到△A2B2C2;請直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo); (3)在x軸上有一點(diǎn)P,使得PA+PB的值最小,請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo). 【考點(diǎn)】作圖-旋轉(zhuǎn)變換;軸對(duì)稱-最短路線問題.菁 【分析】(1)延長AC到A1,使得AC=A1C,延長BC到B1,使得BC=B1C,利用點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2的坐標(biāo)為(0,﹣4),得出圖象平移單位,即可得出△A2B2C2; (2)根據(jù)△△A1B1C繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可以得到△A2B2C2進(jìn)而得出,旋轉(zhuǎn)中心即可; (3)根據(jù)B點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)為A2,連接AA2,交x軸于點(diǎn)P,再利用相似三角形的性質(zhì)求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可. 【解答】解:(1)如圖所示: (2)如圖所示:旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為:(,﹣1); (3)∵PO∥AC, ∴=, ∴=, ∴OP=2, ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣2,0). 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圖形的平移與旋轉(zhuǎn)和相似三角形的性質(zhì)等知識(shí),利用軸對(duì)稱求最小值問題是考試重點(diǎn),同學(xué)們應(yīng)重點(diǎn)掌握. 20.(8分)已知關(guān)于x的方程x2﹣(2k+1)x+4(k﹣)=0 (1)求證:無論k取何值,這個(gè)方程總有實(shí)數(shù)根; (2)若等腰三角形ABC的一邊長a=4,另兩邊b、c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根,求△ABC的周長. 【考點(diǎn)】根的判別式;等腰三角形的性質(zhì).菁 【專題】證明題. 【分析】(1)先計(jì)算判別式的值得到△=4k2﹣12k+9,配方得到△=(2k﹣3)2,根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)易得△≥0,則根據(jù)判別式的意義即可得到結(jié)論; (2)分類討論:當(dāng)b=c時(shí),則△=(2k﹣3)2=0,解得k=,然后解方程得到b=c=2,根據(jù)三角形三邊關(guān)系可判斷這種情況不符號(hào)條件;當(dāng)a=b=4或a=c=4時(shí),把x=4代入方程可解得k=,則方程化為x2﹣6x+8=0,解得x1=4,x2=2,所以a=b=4,c=2或a=c=4,b=2,然后計(jì)算△ABC的周長. 【解答】(1)證明:△=(2k+1)2﹣4×4(k﹣) =4k2+4k+1﹣16k+8, =4k2﹣12k+9 =(2k﹣3)2, ∵(2k﹣3)2≥0,即△≥0, ∴無論k取何值,這個(gè)方程總有實(shí)數(shù)根; (2)解:當(dāng)b=c時(shí),△=(2k﹣3)2=0,解得k=,方程化為x2﹣4x+4=0,解得b=c=2,而2+2=4,故舍去; 當(dāng)a=b=4或a=c=4時(shí),把x=4代入方程得16﹣4(2k+1)+4(k﹣)=0,解得k=,方程化為x2﹣6x+8=0,解得x1=4,x2=2,即a=b=4,c=2或a=c=4,b=2, 所以△ABC的周長=4+4+2=10. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式:用一元二次方程根的判別式(△=b2﹣4ac)判斷方程的根的情況:當(dāng)△>0時(shí),方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根;當(dāng)△=0時(shí),方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根;當(dāng)△<0時(shí),方程無實(shí)數(shù)根.也考查了等腰三角形的性質(zhì). 21.(8分)小李按市場價(jià)格30元/千克收購了一批海鮮1000千克存放在冷庫里,據(jù)預(yù)測,海鮮的市場價(jià)格將每天每千克上漲1元.冷凍存放這批海鮮每天需要支出各種費(fèi)用合計(jì)310元,而且這些海鮮在冷庫中最多存放160天,同時(shí)平均每天有3千克的海鮮變質(zhì). (1)設(shè)x天后每千克該海鮮的市場價(jià)格為y元,試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式; (2)若存放x天后,將這批海鮮一次性出售.設(shè)這批海鮮的銷售總額為P元,試寫出P與x之間的函數(shù)關(guān)系式; (3)小李將這批海鮮存放多少天后出售可獲得最大利潤,最大利潤是多少元?(利潤W=銷售總額﹣收購成本﹣各種費(fèi)用) 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用.菁 【分析】(1)依題意可求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式. (2)存放x天,每天損壞3千克,則剩下1000﹣3x,P與x之間的函數(shù)關(guān)系式為P=(x+30)(1000﹣3x) (3)依題意化簡得出w與x之間的函數(shù)關(guān)系式,求得x=100時(shí)w最大. 【解答】解:(1)y=x+30; (2)p=(x+30)(1000﹣3x)=﹣3x2+910x+30000; (3)W=P﹣30×1000﹣310x=﹣3x2+910x+30000﹣30000﹣310x =﹣3x2+600x, ∵﹣3<0, ∴W有最大值, 當(dāng)x==100時(shí), ∵100<160, ∴W最大值==30000. ∴存放100天后出售時(shí)獲得最大利潤,最大利潤為30000元. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,正確列出函數(shù)表達(dá)式并熟悉二次函數(shù)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵. 五、(本大題10分) 22.(10分)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),DE⊥BC,垂足為點(diǎn)E,連接CD. (1)如圖1,DE與BC的數(shù)量關(guān)系是 DE=BC??; (2)如圖2,若P是線段CB上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合),連接DP,將線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段DF,連接BF,請猜想DE、BF、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論; (3)若點(diǎn)P是線段CB延長線上一動(dòng)點(diǎn),按照(2)中的作法,請?jiān)趫D3中補(bǔ)全圖形,并直接寫出DE、BF、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系. 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的判定與性質(zhì);含30度角的直角三角形.菁 【分析】(1)由∠ACB=90°,∠A=30°得到∠B=60°,根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)得到DB=DC,則可判斷△DCB為等邊三角形,由于DE⊥BC,DE=BC; (2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠PDF=60°,DP=DF,易得∠CDP=∠BDF,則可根據(jù)“SAS”可判斷△DCP≌△DBF,則CP=BF,利用CP=BC﹣BP,DE=BC可得到BF+BP=DE; (3)與(2)的證明方法一樣得到△DCP≌△DBF得到CP=BF,而CP=BC+BP,則BF﹣BP=BC,所以BF﹣BP=DE. 【解答】解:(1)∵∠ACB=90°,∠A=30°, ∴∠B=60°, ∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn), ∴DB=DC, ∴△DCB為等邊三角形, ∵DE⊥BC, ∴DE=BC; 故答案為DE=BC. (2)BF+BP=DE.理由如下: ∵線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段DF, ∴∠PDF=60°,DP=DF, 而∠CDB=60°, ∴∠CDB﹣∠PDB=∠PDF﹣∠PDB, ∴∠CDP=∠BDF, 在△DCP和△DBF中 , ∴△DCP≌△DBF(SAS), ∴CP=BF, 而CP=BC﹣BP, ∴BF+BP=BC, ∵DE=BC, ∴BC=DE, ∴BF+BP=DE; (3)如圖, 與(2)一樣可證明△DCP≌△DBF, ∴CP=BF, 而CP=BC+BP, ∴BF﹣BP=BC, ∴BF﹣BP=DE. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì):判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”;全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等.也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及含30度的直角三角形三邊的關(guān)系. 六、(本大題12分) 23.(12分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=x2+mx+n經(jīng)過點(diǎn)A(3,0)、B(0,﹣3),點(diǎn)P是直線AB上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)M,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t. (1)分別求出直線AB和這條拋物線的解析式. (2)若點(diǎn)P在第四象限,連接AM、BM,當(dāng)線段PM最長時(shí),求△ABM的面積. (3)是否存在這樣的點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P、M、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形?若存在,請求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo);若不存在,請說明理由. 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.菁 【分析】(1)待定系數(shù)法分別求解可得; (2)根據(jù)題意可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(t,t﹣3),則M(t,t2﹣2t﹣3),繼而可得PM=(t﹣3)﹣(t2﹣2t﹣3)=﹣(t﹣)2+,知PM最長值為,根據(jù)S△ABM=S△BPM+S△APM可得答案; (3)由PM∥OB,可知當(dāng)PM=OB時(shí)點(diǎn)P、M、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,據(jù)此可分以下三種情況:①當(dāng)P在第四象限;②當(dāng)P在第一象限;③當(dāng)P在第三象限;由PM=OB=3列出關(guān)于t的方程分別求解可得. 【解答】解:(1)把A(3,0)B(0,﹣3)代入y=x2+mx+n,得 , 解得:, 所以拋物線的解析式是y=x2﹣2x﹣3. 設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b, 把A(3,0)B(0,﹣3)代入y=kx+b,得:, 解得:, 所以直線AB的解析式是y=x﹣3; (2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(t,t﹣3),則M(t,t2﹣2t﹣3), ∵p在第四象限, ∴PM=(t﹣3)﹣(t2﹣2t﹣3)=﹣t2+3t=﹣(t﹣)2+, 當(dāng)t=時(shí),二次函數(shù)取得最大值,即PM最長值為, 則S△ABM=S△BPM+S△APM=××3=. (3)存在, 理由如下: ∵PM∥OB, ∴當(dāng)PM=OB時(shí),點(diǎn)P、M、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形, ①當(dāng)P在第四象限:PM=OB=3,PM最長時(shí)只有,所以不可能有PM=3. ②當(dāng)P在第一象限:PM=OB=3,(t2﹣2t﹣3)﹣(t﹣3)=3, 解得t1=,t2=(舍去), 所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是; ③當(dāng)P在第三象限:PM=OB=3,t2﹣3t=3,解得t1=(舍去),t2=, 所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是. 所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是或. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的綜合題:先利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,然后根據(jù)解析式表示點(diǎn)的坐標(biāo),再利用坐標(biāo)表示線段的長,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求線段的最大值.同時(shí)考查了平行四邊形的判定定理以及一元二次方程的解法. 第29頁(共29頁)- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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