高中數(shù)學(xué) 2.7向量應(yīng)用舉例課件 北師大版必修4.ppt

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§7 向量應(yīng)用舉例,【題型示范】 類型一 向量在解析幾何中的應(yīng)用 【典例1】 (1)(2014·蘇州高一檢測)過點(diǎn)P(1,1)，且法向量為n=(4,-3)的直線l的方程為____________. (2)已知點(diǎn)A(-1，2)，直線l:4x-3y+9=0. 求：①過點(diǎn)A且與直線l平行的直線方程. ②過點(diǎn)A且與直線l垂直的直線方程.,【解題探究】1.直線l的法向量與直線有什么關(guān)系？ 2.如何由直線l方程中x，y的系數(shù)確定題(2)中直線方程的斜率k？ 【探究提示】1.垂直. 2.①由直線l得到其方向向量u= 再定k. ②由直線l得到其法向量n=(4,-3)再確定k.,【自主解答】(1)設(shè)M(x,y)是直線l上任一點(diǎn)， 則 =(x-1,y-1), 又n⊥ ，故(4，-3)·(x-1,y-1)=0，即4x-3y-1=0. 答案：4x-3y-1=0,(2)方法一：直線l的斜率 向量u= 與直線l平行. ①設(shè)P是過A且與l平行的直線上的動(dòng)點(diǎn)，P的坐標(biāo)是(x,y)，則 =(x+1,y-2)，所求直線與l平行，當(dāng)且僅當(dāng)u∥ ,轉(zhuǎn)化為 坐標(biāo)表示，即為1×(y-2)- ×(x+1)=0,整理得4x-3y+10=0, 這就是所求的過A且與l平行的直線方程.,②設(shè)Q(x,y)為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，則 =(x+1,y-2)，點(diǎn)Q在過A 且垂直于l的直線上，當(dāng)且僅當(dāng)u· =0,轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示，即 為1×(x+1)+ ×(y-2)=0, 整理得3x+4y-5=0, 這就是所求的過A且與l垂直的直線方程.,方法二：因?yàn)橄蛄?4，-3)與直線l垂直， 所以n=(4,-3)是l的法向量. ①設(shè)P(x,y)為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，則 =(x+1,y-2).點(diǎn)P在與l平行 的直線上，當(dāng)且僅當(dāng)n· =0.轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示即為4(x+1)+ (-3)(y-2)=0,整理得4x-3y+10=0，這就是所求的過A且與l平行 的直線方程.,②設(shè)Q(x,y)為一動(dòng)點(diǎn)，則 =(x+1,y-2),點(diǎn)Q在與l垂直的直 線上，當(dāng)且僅當(dāng) 與n共線，即n∥ ,轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示即為 4(y-2)+3(x+1)=0, 整理得：3x+4y-5=0, 即為過A且與l垂直的直線方程.,【延伸探究】若把題(2)的直線換成4x-5y+1=0,其他條件不 變，怎樣求過點(diǎn)A且與直線l垂直的直線方程. 【解析】取直線l的法向量n=(4，-5)， 設(shè)點(diǎn)P(x,y)在所求直線上，且 =(x+1,y-2).由題意知 與 n平行，即4(y-2)-(-5)(x+1)=0, 所以5x+4y-3=0.,【方法技巧】 1.直線的法向量n,2.利用方向向量及法向量求直線方程的關(guān)鍵及常用結(jié)論 (1)關(guān)鍵是探尋所求直線的方向向量同已知直線方向向量或法向量的關(guān)系. (2)常用結(jié)論如下: ①所求直線與已知直線平行，則和已知直線的方向向量平行，和已知直線的法向量垂直. ②所求直線與已知直線垂直，則和已知直線的方向向量垂直，和已知直線的法向量平行.,【變式訓(xùn)練】求通過點(diǎn)A(－2,1)，且平行于向量a＝(3,1)的直 線方程． 【解題指南】在直線上任取一點(diǎn)P(x，y)，則 ＝(x＋2，y－ 1)，由 ∥a，利用向量平行的條件可寫出方程． 【解析】設(shè)P(x，y)是所求直線上的任一點(diǎn)， ＝(x＋2，y－1)． 因?yàn)? ∥a，所以(x＋2)×1－3(y－1)＝0. 即所求直線方程為x－3y＋5＝0.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】求證直線l1:y=3x-1與l2: 互相垂直. 【證明】在y=3x-1中，分別令x1=0,x2=1，得y1=-1,y2=2.則A(0,-1),B(1,2)是直線l1上的兩個(gè)點(diǎn)，類似地，可得l2上的兩點(diǎn)C(0,2)，D(3,1). 所以 =(1,2)-(0,-1)=(1,3)， =(3，1)-(0,2)=(3,-1), =(1,3)·(3,-1)=0, 所以AB⊥CD,故l1⊥l2.,類型二 向量在平面幾何中的應(yīng)用 【典例2】 (1)(2013·新課標(biāo)全國卷Ⅱ)已知正方形ABCD的邊長為2，E為 CD的中點(diǎn)，則 =_______. (2)如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，DC邊的中 點(diǎn)，BE，BF分別與AC交于R，T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR，RT，TC之間 的關(guān)系嗎？,【解題探究】1.題(1)中能否用簡易方法求 2.向量 與 與 分別有什么關(guān)系？ 【探究提示】1.建立坐標(biāo)系，用坐標(biāo)法求 2.向量 與 與 分別共線.,【自主解答】(1)以點(diǎn)Ｂ為原點(diǎn)，以 的方向?yàn)閤軸，y軸 的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則A(０,２)，E(２,１)，D(２, ２)，B(０,０)，所以 =(2,-1), =(2,2)，所以 =2. 答案：2,(2)設(shè) 則 =a+b. 由 與 共線，因此，存在實(shí)數(shù)m，使得 =m(a+b). 又由 與 共線， 因此，存在實(shí)數(shù)n，使得 由 得m(a+b)=a+,整理得 由于向量a,b不共線， 所以 解得 所以 同理 于是 所以AR=RT=TC.,【方法技巧】 1.用向量證明平面幾何問題的兩種基本思路 (1)向量的線性運(yùn)算法的四個(gè)步驟： ①選取基底;②用基底表示相關(guān)向量;③利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積找相應(yīng)關(guān)系;④把幾何問題向量化. (2)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法的四個(gè)步驟： ①建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；②把相關(guān)向量坐標(biāo)化;③用向量的坐標(biāo)運(yùn)算找相應(yīng)關(guān)系;④把幾何問題向量化.,2.用向量解決平面幾何問題的常用策略 (1)證明線段相等、平行，常運(yùn)用向量加法的三角形法則、平 行四邊形法則，有時(shí)也用到向量減法的定義. (2)證明線段平行、三角形相似、判斷兩直線是否平行，常運(yùn) 用向量平行的條件：a∥b?a=λb(b≠0)，或者a∥b?x1y2- x2y1=0. (3)證明線段的垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形，判 斷兩直線是否垂直等，常運(yùn)用向量垂直的條件：a⊥b?a·b =0，或者a⊥b?x1x2+y1y2=0.,(4)求與夾角相關(guān)的問題，往往利用向量的夾角公式cos θ= 如求三角形的面積用公式S= absin C時(shí)，可能會(huì)利用 夾角公式求出cos C，進(jìn)而求出sin C. (5)向量的坐標(biāo)法，對(duì)于有些平面幾何問題，如矩形、正方形、 直角三角形等，可建立平面直角坐標(biāo)系，把向量用坐標(biāo)表示， 通過代數(shù)運(yùn)算解決幾何問題.,【變式訓(xùn)練】求等腰直角三角形中兩直角邊上的中線所成的鈍角的余弦值. 【解析】如圖，分別以等腰直角三角形的兩直角邊為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系， 設(shè)A(2a,0),B(0,2a)， 則D(a,0),C(0,a)，,從而可求： =(－2a,a), =(a,－2a),不妨設(shè) , 的夾角為θ, 則cos θ= = = 故所求鈍角的余弦值為,【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知DE是△ABC的中位線，用向量的方法證明： DE= BC，且DE∥BC. 【證明】易知 所以 即DE= BC，又D不在BC上，所以DE∥BC.,類型三 向量在物理中的應(yīng)用 【典例3】 (1)(2014·安慶高一檢測)用兩條成60°角的繩索拉船，每條繩的拉力是12 N，則合力為( ),(2)一只漁船在航行中遇險(xiǎn)，發(fā)出求救警報(bào)，在遇險(xiǎn)地西南方 向10 n mile處有一只貨船收到警報(bào)立即偵察，發(fā)現(xiàn)遇險(xiǎn)漁船沿 南偏東75°，以9 n mile/h的速度向前航行，貨船以 21 n mile/h的航速前往營救，并在最短時(shí)間內(nèi)與漁船靠近， 求貨船的位移.(其中cos 21°47′= ),【解題探究】1.合力與每條繩的拉力有什么關(guān)系？ 2.貨船的位移指什么？ 【探究提示】1.合力為兩個(gè)拉力的和. 2.位移指貨船與漁船相遇時(shí)所經(jīng)過的路程和方向.,【自主解答】(1)選D.設(shè)兩拉力分別為F1和F2，則F1與F2的夾角為60°. 合力F合,則F合=F1+F2, 所以|F合|= = =,(2)如圖，設(shè)漁船在A處遇險(xiǎn)，貨船在B處發(fā)現(xiàn)漁船遇險(xiǎn)，兩船在C處相遇，所經(jīng)時(shí)間為t(h). 由已知，∠BAC=45°+75°=120°， 因?yàn)?所以 即 所以(21t)2=(9t)2-2×9t×10×cos 120°+100.,化簡得36t2-9t-10=0, 即(3t-2)(12t+5)=0. 因?yàn)閠＞0，所以 所以 又 所以 即 所以36=196-2×14×10×cos∠ABC+100.,由此解得cos∠ABC= 所以∠ABC=21°47′. 故貨船的位移是北偏東66°47′，距離為14 n mile.,【方法技巧】向量解決物理問題的步驟,【變式訓(xùn)練】某人騎車以每小時(shí)a千米的速度向東行駛，感到風(fēng)從正北方向吹來，而當(dāng)速度為每小時(shí)2a千米時(shí)，感到風(fēng)從東北方向吹來，試求實(shí)際風(fēng)速和方向.,【解析】設(shè)a表示此人以每小時(shí)a千米的速度向東行駛的向量，無風(fēng)時(shí)此人感到風(fēng)速為-a， 設(shè)實(shí)際風(fēng)速為v， 那么此時(shí)人感到的風(fēng)速為v-a， 設(shè) 因?yàn)?所以 這就是感到由正北方向吹來的風(fēng)速， 因?yàn)? 所以,于是當(dāng)此人的速度是原來的2倍時(shí)所感受到由東北方向吹來的 風(fēng)速就是 由題意：∠PBO=45°,PA⊥BO,BA=AO， 從而，△POB為等腰直角三角形，所以PO=PB= 即：|v|= 所以實(shí)際風(fēng)速是每小時(shí) 千米的西北風(fēng).,【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知兩個(gè)恒力F1=i+2j,F2=4i-5j，作用于同一質(zhì)點(diǎn)，此質(zhì)點(diǎn)從A(20，15)移動(dòng)到B(7，0)，其中i,j分別是x軸，y軸正方向上的單位向量.試求： (1)F1,F2分別對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功. (2)F1，F(xiàn)2的合力F對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功.,【解析】因?yàn)锳(20，15),B(7，0), 所以 =(7-20，0-15)=-13i-15j. 因?yàn)閕，j分別是x軸，y軸正方向上的單位向量. 所以i·j=0，i2=1,j2=1.,(1)F1對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功 W1= =(i+2j)·(-13i-15j) =-13i2-41i·j-30j2 =-13-30=-43. F2對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功 W2= =(4i-5j)·(-13i-15j) =-52i2+5i·j+75j2=-52+75=23.,(2)因?yàn)镕=F1+F2=5i-3j, 所以F對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功 W= =(5i-3j)·(-13i-15j) =-65i2-36i·j+45j2=-65+45=-20.,【易錯(cuò)誤區(qū)】應(yīng)用向量解決平面幾何問題中的誤區(qū) 【典例】(2014·合肥高一檢測)在△ABC中， = 則△ABC的形狀一定是( ) A.等邊三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形,【解析】選C.由 得 所以 所以 即,所以 所以 所以∠A=90°. 所以△ABC是直角三角形.,【常見誤區(qū)】,【防范措施】 1.正確將平面幾何中的邊角關(guān)系與向量的運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化 理解平面幾何中垂直、平行、邊長、夾角等幾何關(guān)系與向量平行、垂直、模、夾角等概念與運(yùn)算間的關(guān)系，能正確將幾何關(guān)系與向量運(yùn)算結(jié)果之間進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，如本例中，由向量關(guān)系推得∠A=90°.,2.熟練掌握向量的有關(guān)概念與運(yùn)算 向量的有關(guān)概念與運(yùn)算是將幾何問題向量化后求解的關(guān)鍵，若理解錯(cuò)誤，或運(yùn)用不當(dāng)都將造成失誤，如本例①②③處.,【類題試解】(2013·浙江高考)設(shè)△ABC，P0是邊AB上一定 點(diǎn)，滿足P0B= AB，且對(duì)于邊AB上任一點(diǎn)P，恒有 則( ) A.∠ABC=90° B.∠BAC=90° C.AB=AC D.AC=BC,【解析】選D.設(shè) (0≤λ≤1)， 因?yàn)?所以 所以 即,當(dāng)1≥λ≥ 時(shí)，λ+ ≥ 對(duì)1≥λ≥ 恒成立，即 所以cos B≤ 當(dāng)0≤λ＜ 時(shí)，λ+ ≤ 恒成立， 所以cos B≥ 綜上可得cos B= 又cos B= 所以 即AC=BC.,