高中數(shù)學 3.2.3兩角和與差的正切函數(shù)課件 北師大版必修4.ppt
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2.3 兩角和與差的正切函數(shù),兩角和與差的正切公式,sinαcosβ-cosαsinβ,cosαcosβ+sinαsinβ,sinαcosβ+cosαsinβ,cosαcosβ-sinαsinβ,1.判一判 (正確的打“√”,錯誤的打“×”) (1)tan(α±β)=tan α±tan β.( ) (2)tan(α+β)= ( ) (3)tan(40°+50°)= ( ) (4)tan 120°=tan(30°+90°)= ( ),【解析】(1)錯誤,因為tan(α±β)= (2)錯誤,因為tan(α+β)= (3)錯誤,tan(40°+50°)中40°+50°=90°,不成立. (4)錯誤,因為tan 90°不存在. 答案:(1)× (2)× (3)× (4)×,2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上) (1)tan(30°+45°)=_________. (2)tan(60°-45°)=_________. (3) =_________. (4) =_________.,【解析】(1)原式= 答案: (2)原式= 答案:2-,(3)原式=tan(78°-18°)=tan 60°= . 答案: (4)原式=tan(22°+23°)=tan 45°=1. 答案:1,【要點探究】 知識點 正切的和、差角公式Tα±β 1.公式成立的條件 角α,β以及α±β均不能等于kπ+ (k∈Z),且tanαtanβ ≠1(或tan αtan β≠-1).,2.結(jié)構(gòu)特征 公式Tα±β的右側(cè)為分式形式,其中分子為tan α與tan β的和或差,分母為1與tan αtan β的差或和.,3.符號規(guī)律:分子同,分母反.,【微思考】 (1)正用Tα±β時應(yīng)注意什么? 提示:應(yīng)注意①角α±β及α,β的范圍及分母不為零; ②分子、分母中間符號的選取及“1”的位置. (2)逆用Tα±β的關(guān)鍵是什么? 提示:利用相關(guān)三角知識將逆用的三角函數(shù)式化簡到Tα±β公式右邊的結(jié)構(gòu),再逆用公式.,【即時練】 1.tan(-165°)的值是( ) 2.計算 的值為__________.,【解析】1.選C.原式=tan 15°=tan(60°-45°) = 2. =tan(45°-75°)= 答案:,【題型示范】 類型一 利用Tα±β求值 【典例1】 (1)(2014·渭南高一檢測)已知 那么 =_________. (2)(2013·焦作高一檢測)化簡: =_________. (3)設(shè)tan α,tan β是方程ax2-(2a+1)x+(a+2)=0的兩根,求 tan(α+β)的最小值.,【解題探究】 1.題(1)中β+ ,可拆分為α+β與α- 的關(guān)系嗎? 2.題(2)中所求式子能否化為 的形式? 3.分析公式Tα+β的整體結(jié)構(gòu),題(3)中要求tan(α+β),需要 知道哪些量?,【探究提示】1. 2.可化為 的形式. 3.需要知道tan α與tan β的和與積.,【自主解答】(1)因為 所以 = 答案: (2)原式= 答案:1,(3)由tan α,tan β是方程的兩根得: 且a≠0, 又 所以tan(α+β)= 所以tan(α+β)的最小值是,【延伸探究】 若將題(2)中式子變?yōu)椤? ”,則 其化簡結(jié)果如何? 【解析】原式=,【方法技巧】 1.從三個角度入手直接利用公式Tα±β求值 (1)復角化單角:公式tan(α-β)= 及tan(α+β) = 反映了復角化單角的思想,即要求α±β的正 切函數(shù)值,只需知道tan α和tan β的值,代入求解便可. (2)整體意識:公式Tα±β中有兩個小團體“tan α±tan β ” 及“tan αtan β ”,求解時可利用整體思想代入求解.,(3)角的配湊:公式Tα±β中α,β只代表了角的某一形式,其 可能是單純的α,β,也可能是某些小團體,如等式 中 相當于α, 相當于β.,2.逆用公式的技巧 在三角函數(shù)的化簡、求值過程中,通常存在著兩種形式的逆用: 公式的逆用和特殊角三角函數(shù)的逆用.當式子中出現(xiàn) 這些特殊角的三角函數(shù)值時,往往就是“由值變角”的一種提 示,可以根據(jù)問題的需要,將常數(shù)用三角函數(shù)式表示出來,以 構(gòu)成適合公式的形式,從而達到化簡的目的.,【變式訓練】已知tan(α+β)=5,tan(α-β)=3,求tan 2α, tan 2β, 【解題指南】利用2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α- β). 進行求解.,【解析】tan 2α=tan [(α+β)+(α-β)] = tan 2β=tan [(α+β)-(α-β)] =,【補償訓練】 若 則 =__________. 【解析】 答案:,類型二 利用公式Tα±β求角 【典例2】 (1)(2014·漢中高一檢測)已知tan α,tan β是方程x2+ x+4=0的兩根,且 則α+β的值為 ( ),(2)(2014·上饒高一檢測)已知tan(α-β)= ,tan β= , 且α,β∈(0,π), ①求tan α; ②求2α-β的值.,【解題探究】 1.一元二次方程ax2+bx+c=0中,根與系數(shù)有怎樣的關(guān)系? 2.題(2)中α是否可拆分為α-β與β的和或差?2α-β是否可拆分為α與α-β的和或差? 【探究提示】1.x1+x2= x1x2= 2.α=(α-β)+β,2α-β=α+(α-β).,【自主解答】(1)選B.由已知得,tan α+tan β= tan αtan β=4,所以tan α<0,tan β<0, tan (α+β)= 所以- <α<0,- <β<0, 所以-π<α+β<0,所以α+β=,(2)①tan α=tan(α-β)+β= ②tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]= 又α,β∈(0,π),tan α= <1,tan β= <0, 所以 所以2α-β∈(-π,0),故2α-β=,【方法技巧】利用公式Tα±β求角的步驟 (1)求值.計算待求角的正切函數(shù)值. (2)求范圍.借助已知角的范圍及題目隱含信息,求相關(guān)角的范圍,注意角的范圍越小越好. (3)求角.借助角的范圍及角的三角函數(shù)值求角.,【變式訓練】在△ABC中,tan A+tan B+ = tan Atan B, 則角C等于( ) 【解析】選A.由題意tan A+tan B=- (1-tan Atan B), 故tan(A+B)= 又A+B+C=π,所以,【補償訓練】(2013·新余高一檢測)已知tan(α+β)= , tan β= ,且 (1)求tan α的值. (2)求2α+β的值. 【解析】(1)tan α=tan(α+β-β)=,(2)tan(2α+β)=tan[α+(α+β)]= 又因為 且tan(α+β)= >0,所以α+β∈ 所以2α+β∈(0,π),所以2α+β= .,拓展類型 利用公式Tα±β的變形求值 【備選例題】(1)化簡:tan 10°tan 20°+tan 20°tan 60° +tan 60°tan 10°的值等于( ) A.1 B.2 C.tan 10° D. tan 20° (2)化簡:(1+tan 1°)(1+tan 2°)…(1+tan 44°).,【解析】(1)選A.因為tan (20°+10°) = 所以tan 20°+tan 10°=tan 30°(1-tan 20°tan 10°), 所以原式=tan 10°tan 20°+ tan 30°(1-tan 20°tan 10°) =tan 10°tan 20°+1-tan 20°tan 10°=1.,(2)由兩角和的正切公式可知: 可知:tan 1°+tan 44°=1-tan 1°tan 44°, 所以tan 1°+tan 44°+tan 1°tan 44°=1. 所以(1+tan 1°)(1+tan 44°) =1+tan 1°+tan 44°+tan 1°tan 44°=2, 同理(1+tan 2°)(1+tan 43°)=2,…, 所以(1+tan 1°)(1+tan 2°)…(1+tan 44°)=222.,【方法技巧】 1.兩角和的正切公式的幾種變形 (1)tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β). (2)1-tan αtan β= (3)tan α+tan β+tan α·tan β·tan (α+β)= tan (α+β). (4)tan α·tan β=,2.應(yīng)用Tα±β變形公式的解題技巧 解答由異角正切值的和或差或積構(gòu)成的三角求值問題時,常將待求式變形為滿足Tα±β變形公式的結(jié)構(gòu),從而應(yīng)用變形公式求值.,【規(guī)范解答】兩角和與差的正切公式的綜合應(yīng)用 【典例】(12分)(2014·淮南高一檢測)如圖, 在平面直角坐標系xOy中,以O(shè)x軸為始邊作兩 個銳角α,β,它們的終邊分別與單位圓交于 A,B兩點.已知A,B的橫坐標分別為 (1)求tan(α+β)的值. (2)求α+2β的值.,【審題】抓信息,找思路,【解題】明步驟,得高分,【點題】警誤區(qū),促提升 失分點1:解題時若在①處漏掉α為銳角,會使sin α的結(jié)果出現(xiàn)正負兩個值,則會導致多解而失分. 失分點2:解題時若在②處不會把α+2β變形為(α+β)+β,使得下面無法進行而導致此題最多得6分. 失分點3:解題時若在③處忽視用α和β的范圍來限制α+2β的范圍,而直接得α+2β的值,最多得10分.,【悟題】提措施,導方向 1.確定角的范圍 由于角的范圍會直接影響三角函數(shù)方程解的個數(shù),因此,角的范圍的確定是求角問題中最為關(guān)鍵的因素. 2.注意挖掘隱含條件 在確定所求角的范圍時除了考慮給定的角的范圍外,還要從給定的三角函數(shù)值上進一步縮小角的范圍,防止出現(xiàn)增根.,【類題試解】(2014·寶雞高一檢測)三個相同的正方形并排相 連.求證:α+β+γ= .,【證明】由題圖易知γ= ,所以只需證明α+β= .由題圖 可知,tan α= ,tan β= ,且α,β∈ 則tan(α+β) = 因為0<α< ,0<β< ,所以0 <α+β<π. 而在區(qū)間(0,π)內(nèi),正切值為1的角有且只有1個,即 .所以 α+β= ,所以α+β+γ= .,- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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- 高中數(shù)學 3.2.3兩角和與差的正切函數(shù)課件 北師大版必修4 3.2 正切 函數(shù) 課件 北師大 必修
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