2019-2020年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期初聯(lián)考試題 理（含解析）.doc

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期初聯(lián)考試題 理（含解析） 【試卷綜評】命題把重點放在高中數(shù)學(xué)課程中最基礎(chǔ)、最核心的內(nèi)容上，充分關(guān)注考生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題中必須掌握的核心觀念、思想方法、基本概念和常用技能。試卷對中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容和基本能力，特別是對高中數(shù)學(xué)的主干知識進行較為全面地考查。注重了知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，重點內(nèi)容重點考，沒有片面追求知識及基本思想、方法的覆蓋面，反映了新課程的理念. 一、選擇題：本大題有10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的． 【題文】1．設(shè)全集，集合，集合，則=（ ） A． B． C． D． 【知識點】集合及其運算.A1 【答案解析】A 解析：因為全集，集合，集合，所以，故，故選A. 【思路點撥】根據(jù)已知條件先求出，然后再求即可. 【題文】2．已知函數(shù)為奇函數(shù),且當(dāng)時, 則 （ ） A. B. C. D. 【知識點】奇函數(shù)的性質(zhì);考查函數(shù)的求值. B1 B4 【答案解析】A 解析：∵函數(shù)為奇函數(shù),且當(dāng)時, ∴，故選A． 【思路點撥】利用奇函數(shù)的性質(zhì)，即可求得答案． 【題文】3．若有直線、和平面、，下列四個命題中，正確的是 （ ） A．若，，則 B．若，，，，則 C．若，，則 D．若，，，則 【知識點】面面平行的判定定理;線面平行的定理; 面面垂直的性質(zhì)定理.G4 G5 【答案解析】D 解析：A不對，由面面平行的判定定理知，m與n可能相交，也可能是異面直線；B不對，由面面平行的判定定理知少相交條件； C不對，由面面垂直的性質(zhì)定理知，m必須垂直交線；故選D． 【思路點撥】由面面平行的判定定理和線面平行的定理判斷A、B、D；由面面垂直的性質(zhì)定理判斷C． 【題文】4．在中，“”是“角A、B、C成等差數(shù)列”的 （ ） A．充分不必要條件 B. 充要條件 C．必要不充分條件 D. 既不充分也不必要條件 【知識點】兩角差的余弦公式以及平方關(guān)系；充要條件. C 5 A2 【答案解析】B 解析：因為，整理可得： ，即,;而角A、B、C成等差數(shù)列可得，故在中，“”是“角A、B、C成等差數(shù)列”的充要條件. 故選B. 【思路點撥】先利用兩角差的余弦公式以及平方關(guān)系把原式化簡，然后雙向判斷即可. 【題文】5．直線和直線垂直，則實數(shù)的值為（ ） A．1 B．0 C．2 D．-1或0 【知識點】直線的一般式方程;直線的垂直關(guān)系．H1 H2 【答案解析】D 解析：∵直線mx+（2m-1）y+1=0和直線3x+my+3=0垂直， ∴3m+m（2m-1）=0，解得m=0或m=-1．故選：D． 【思路點撥】本題考查實數(shù)值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意直線垂直的性質(zhì)的合理運用． 【題文】6．如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面， C是圓周上不同于A，B的任意一點，AC=BC=4，， 則二面角A-PB-C的大小的正弦值為（ ） A、 B、 C、 D、 【知識點】二面角的求法.G5 【答案解析】C 解析：如下圖 連接CO，∵AC=BC=4，，∴，∴AB⊥OC， 過O在平面PAB上作OM⊥PB于M，連接CM，由三垂線定理CM⊥PB，∴∠OMC是二面角A-PB-C的平面角，易知,所以在中， 故選C. 【思路點撥】連接CO，過O在平面PAB上作OM⊥PB于M，連接CM，∠OMC是二面角A-PB-C的平面角，由此能求出二面角A-PB-C的大小的正弦值． 【題文】7．若為等差數(shù)列,是其前項和,且S15 =,則tan的值為( ) A． B． C． D． 【知識點】等差數(shù)列的性質(zhì). D2 【答案解析】B 解析：由等差數(shù)列{an}的前n項和的性質(zhì)，， ∴∴,故選B． 【思路點撥】由等差數(shù)列{an}的前n項和的性質(zhì)，n為奇數(shù)時，，求出，進而根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出結(jié)果． 【題文】8．過點（，0）引直線與曲線 交于A,B兩點 ，O為坐標(biāo)原點，當(dāng)△AOB的面積取最大值時，直線的斜率等于（ ） A. B. C. D. 【知識點】直線的斜率；直線與圓的關(guān)系. H1 H4 【答案解析】B 解析：由，得x2+y2=1（y≥0）． 所以曲線表示單位圓在x軸上方的部分（含與x軸的交點）， 設(shè)直線l的斜率為k，要保證直線l與曲線有兩個交點，且直線不與x軸重合， 則-1＜k＜0，直線l的方程為y-0=k(x?)，即kx?y?k＝0． 則原點O到l的距離d=，l被半圓截得的半弦長為． 則S△ABO＝ =． 令，則S△ABO＝，當(dāng)t＝，即時，S△ABO有最大值為．此時由，解得k=．故選B． 【思路點撥】由題意可知曲線為單位圓在x軸上方部分（含與x軸的交點），由此可得到過C點的直線與曲線相交時k的范圍，設(shè)出直線方程，由點到直線的距離公式求出原點到直線的距離，由勾股定理求出直線被圓所截半弦長，寫出面積后利用配方法轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值． 【題文】9．函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像所有交點的橫坐標(biāo)之和等于（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【知識點】正弦函數(shù)的圖象；函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系.B9 C3 【答案解析】C 解析：函數(shù)與的圖象有公共的對稱中心，作出兩個函數(shù)的圖象， 當(dāng)1＜x≤4時，≥，而函數(shù)在（1，4）上出現(xiàn)1.5個周期的圖象，在上是單調(diào)增且為正數(shù)函數(shù)，在（1，4）上出現(xiàn)1.5個周期的圖象，在(，3)上是單調(diào)減且為正數(shù)，∴函數(shù)在x=處取最大值為2≥，而函數(shù)在、上為負(fù)數(shù)與的圖象沒有交點，所以兩個函數(shù)圖象在（1，4）上有兩個交點（圖中C、D），根據(jù)它們有公共的對稱中心（1，0），可得在區(qū)間（-2，1）上也有兩個交點（圖中A、B），并且：xA+xD=xB+xC=2，故所求的橫坐標(biāo)之和為4，故選C. 【思路點撥】的圖象關(guān)于點中心對稱，再由正弦函數(shù)的對稱中心公式，可得函數(shù)的圖象的一個對稱中心也是點，故交點個數(shù)為偶數(shù)，且對稱點的橫坐標(biāo)之和為2,即可得到結(jié)果. 【題文】10．在直角坐標(biāo)平面中，的兩個頂點A、B的坐標(biāo)分別為A（－1，0）， B（1，0），平面內(nèi)兩點G、M同時滿足下列條件：（1） ， （2），（3），則的頂點C的軌跡方程為（ ） A. B. C. D. 【知識點】軌跡方程；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． H5 H9 【答案解析】C 解析：由得，G為重心，由得，M為外心．所以M點在y軸上（M到AB兩點距離相等）．又，則GM∥AB． 設(shè)M為（0，y），G為（x，y）（y≠0），由重心坐標(biāo)公式得C為（3x，3y）． 再由MA=MC，得．整理得：①． 再設(shè)c（x'，y'），由3x=x'，3y=y'得x＝，y＝代入①得：(x′)2+=1.所以△ABC的頂點C的軌跡方程為x2+ =1?(y≠0)．故選C． 【思路點撥】由題目給出的條件，分別得到G為三角形ABC的重心，M為三角形ABC的外心，設(shè)出G點坐標(biāo)，由GM∥AB，可知M和G具有相同的縱坐標(biāo)，由重心坐標(biāo)公式得到C點的坐標(biāo)，然后由M到A和C的距離相等列式可得G的軌跡方程，利用代入法轉(zhuǎn)化為C的軌跡方程． 二、填空題（本大題共7小題，每小題4分，共28分） 【題文】11. 若角的終邊經(jīng)過點P,則的值是 【知識點】任意角的三角函數(shù)的定義. C1 【答案解析】 解析：OP=r＝＝1，∴點P在單位圓上，∴sinα＝，tanα＝，得sinαtanα＝()×()＝．故答案為. 【思路點撥】求出OP的距離，利用任意角的三角函數(shù)的定義求出sinα，tanα，即可求出sinαtanα的值得到結(jié)果． 【題文】12．一個組合體的三視圖如圖，則其體積為________________ 第12題圖 【知識點】由三視圖求體積．G2 【答案解析】 解析：三視圖復(fù)原的幾何體是下部為底面半徑為2高為4的圓柱，上部是底面半徑為2為3的圓錐，所以幾何體的體積為：故答案為：． 【思路點撥】利用三視圖復(fù)原的幾何體的形狀，通過三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積即可． 【題文】13．若則的值為 ____ . 【知識點】分段函數(shù)求函數(shù)值.B1 【答案解析】2 解析：由已知條件可知，所以 ，故答案為2. 【思路點撥】先求出的值，再求即可. 【題文】14. AB為拋物線y2=2px(p>0)的過焦點的弦，若，，則= 。 【知識點】拋物線的應(yīng)用；拋物線的簡單性質(zhì)． H7 【答案解析】 解析：因為拋物線y2=2px的焦點為所以過焦點的弦為y=k（x-），即與y2=2px聯(lián)立有：，所以,同理可得,當(dāng)直線斜率不存在時，結(jié)論也成立．所以=，故答案為. 【思路點撥】根據(jù)拋物線方程可得焦點坐標(biāo)，根據(jù)點斜式設(shè)出焦點弦的方程，與拋物線方程聯(lián)立消去x，根據(jù)韋達(dá)定理可求得同理可求得原式可求． 【題文】15．已知實數(shù)、滿足，且，則的最小值為 【知識點】點到直線的距離;簡單的線性規(guī)劃.H2 E5 【答案解析】 解析：因為實數(shù)、滿足，所以其表示的平面區(qū)域如下圖陰影部分所示： 又因為，所以，故表示的是點到平面區(qū)域內(nèi)的點的距離，易知其最小值是點到直線的距離，根據(jù)點到直線的距離公式可得，所以的最小值為，故答案為. 【思路點撥】先畫出平面區(qū)域，再結(jié)合所表示的幾何意義即可得到結(jié)果. 【題文】16．如右圖，等邊△中，， 則 _________ 【知識點】平面向量數(shù)量積的運算. F3 【答案解析】 解析：由題意，得，； ∴ 故答案為：． 【思路點撥】先表示出向量與，再計算向量的數(shù)量積． 第16題圖 【題文】17．下圖展示了一個由區(qū)間（0，1）到實數(shù)集R的映射過程：區(qū)間（0，1）中的實數(shù)對應(yīng)數(shù)軸上的點M（點A對應(yīng)實數(shù)0，點B對應(yīng)實數(shù)1），如圖①；將線段AB圍成一個圓，使兩端點A、B恰好重合，如圖②；再將這個圓放在平面直角坐標(biāo)系中，使其圓心在軸上，點A的坐標(biāo)為（0，1），在圖形變化過程中，圖①中線段AM的長度對應(yīng)于圖③中的弧ADM的長度，如圖③，圖③中直線AM與軸交于點N（），則的象就是，記作 給出下列命題：①； ②； ③是奇函數(shù)； ④在定義域上單調(diào)遞增，則所有真命題的序號是______________.（填出所有真命題的序號） 【知識點】映射的概念.B1 【答案解析】②④ 解析：①當(dāng)m= 時，M位于左半圓弧的中點上，M點坐標(biāo)為（? ，1? ），直線AM方程為y=x+1，f（）=-1．命題①錯誤； ②當(dāng)m=時，M位于圓與y軸的下交點上，直線為x=0，∴f（）=0．命題②正確； ③∵函數(shù)的定義域為（0，1），∴f（x）是非奇非偶函數(shù)．命題③錯誤； ④由圖3知，當(dāng)m由0到1時，M由A運動到B，N的坐標(biāo)逐漸增大，∴f（x）在定義域上單調(diào)遞增．命題④正確．故正確的答案是②④． 故答案為：②④． 【思路點撥】①m=時，點M恰好處在左半圓弧的中點上，求出直線AM的方程得出N的橫坐標(biāo)；②當(dāng)m=時，M位于圓與y軸的下交點上，直線為x=0，由此判斷命題正確；③由函數(shù)的定義域判斷命題不正確；④由圖3知點M的運動規(guī)律，得出函數(shù)值的變化情況和單調(diào)性. 三、解答題：本大題有5小題，共 72分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 【題文】18．（14分）已知函數(shù)． （1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間； （2）設(shè)△的內(nèi)角的對邊分別為且，，若，求的值。 【知識點】兩角和與差的正弦函數(shù)；二倍角的余弦；三角函數(shù)的周期性及其求法；正弦函數(shù)的單調(diào)性；余弦定理． C3 C4 C5 C6 C8 【答案解析】（1）最小正周期是,單調(diào)遞減區(qū)間 （2）：，. 解析：（1），…………3分 則最小正周期是；…………5分； 由，得 的單調(diào)遞減區(qū)間， 8分 （2），則，…………9分 ,,所以， 所以，，…………11分 因為，所以由正弦定理得，……①…………12分 由余弦定理得，即……②…………11分，由①②解得：，．…………14分 【思路點撥】（1）利用二倍角的正弦與余弦公式及輔助角公式可求得f（x），從而可求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；（2）利用余弦定理與正弦定理可得方程組，解之即可． 【題文】19. （14分）已知二次函數(shù)f(x)的二次項系數(shù)為a，且不等式的解集為（1，3）， （1）若f(x)+6a=0有兩個相等的實根，求f(x)的解析式， （2）若f(x)的最大值為正數(shù)，求a的取值范圍。 【知識點】函數(shù)與方程的綜合運用；函數(shù)的最值及其幾何意義；一元二次不等式的應(yīng)用．B9 B3 E3 【答案解析】（1）（2） 解析：（1）設(shè)，由不等式的解集為（1，3）得 ，又因f(x)+6a=0有兩個相等的實根，則， 解得或（舍去），所以…………7分 （2），即，又， 所以 …………14分 【思路點撥】（1）f（x）為二次函數(shù)且二次項系數(shù)為a，把不等式f（x）＞-2x變形為f（x）+2x＞0因為它的解集為（1，3），則根據(jù)一元二次不等式的解與方程的根的關(guān)系得出f（x）即可；（2）因為f（x）為開口向下的拋物線，利用公式，即．和a＜0聯(lián)立組成不等式組，求出解集即可． 【題文】20．（14分）數(shù)列{}的前項和為，是和的等差中項，等差數(shù)列{}滿足，． （1）求數(shù)列{}，{}的通項公式； （2）若，求數(shù)列的前項和. 【知識點】等比數(shù)列的判斷；裂項相消法. D3 D4 【答案解析】（1） （2） 解析：（1）是和1的等差中項， 當(dāng)時，，， 當(dāng)時，，……………………….2分 ,,……………………………..4分 ∴數(shù)列是以為首項， 為公比的等比數(shù)列， ………………………………………………………………………… 6分 設(shè)的公差為，，. ……………………………………………8分 （2） ……………………… 【思路點撥】（1）先結(jié)合題意利用的關(guān)系求出，然后求出與，再得到即可；（2）把變形后利用裂項相消法即可. 【題文】21. （15分）在直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=CC1=2，∠ACB=90°，E、F分別是BA、BC的中點，G是AA1上一點，且AC1⊥EG. （1）確定點G的位置； （2）求直線AC1與平面EFG所成角θ的大小. 【知識點】直線與平面所成的角．G4 G5 【答案解析】（1）G是AA1的中點.（2） 解析：解法一：（1）以C為原點，分別以CB、CA、CC1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐 標(biāo)系，則F（1，0，0），E（1，1，0），A（0，2，0），C1（0，0，2）， ………………3分 設(shè)G（0，2，h），則 ∴－1×0+1×（－2）+2h=0. ∴h=1，即G是AA1的中點. …………6分 （2）設(shè)是平面EFG的法向量，則 所以平面EFG的一個法向量m=（1，0，1）…………10分 ∵ ∴， 即AC1與平面EFG所成角為 ………………15分 解法二：（1）取AC的中點D，連結(jié)DE、DG，則ED//BC …………1分 ∵BC⊥AC，∴ED⊥AC. 又CC1⊥平面ABC，而ED平面ABC，∴CC1⊥ED. ∵CC1∩AC=C，∴ED⊥平面A1ACC1. ……3分 又∵AC1⊥EG，∴AC1⊥DG.…………4分 連結(jié)A1C，∵AC1⊥A1C，∴A1C//DG. ∵D是AC的中點，∴G是AA1的中點. …………6分 第21題圖 （2）取CC1的中點M，連結(jié)GM、FM，則EF//GM， ∴E、F、M、G共面.作C1H⊥FM，交FM的延長線于H，∵AC⊥平面BB1C1C， C1H平面BB1C1C，∴AC⊥G1H，又AC//GM，∴GM⊥C1H. ∵GM∩FM=M， ∴C1H⊥平面EFG，設(shè)AC1與MG相交于N點，所以∠C1NH為直線AC1與平面EFG所成角θ. ……………………12分 因為 ……15分 【思路點撥】解法一：（1）以C為原點，分別以CB、CA、CC1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出有關(guān)點的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積為零即可求得結(jié)果； （2）求出平面EFG的法向量的一個法向量，利用直線的方向向量與法向量的夾角與直線與平面所成角之間的關(guān)系即可求得結(jié)果； 解法二：（1）取AC的中點D，連接DE、DG，則ED∥BC，利用線面垂直的判定和性質(zhì)定理即可求得結(jié)果；（2）取CC1的中點M，連接GM、FM，則EF∥GM，找出直線與平面所成的角，解三角形即可求得結(jié)果． 【題文】22．（15分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M、N分別是橢圓＋＝1的頂點，過坐標(biāo)原點的直線交橢圓于P，A兩點，其中點P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連結(jié)AC，并延長交橢圓于點B，設(shè)直線PA的斜率為k. (1)若直線PA平分線段MN，求k的值； (2)當(dāng)k＝2時，求點P到直線AB的距離d； (3)對任意的k>0，求證：PA⊥PB. 第22題圖 【知識點】直線與圓錐曲線的綜合問題．A8 【答案解析】（1） （2） (3)見解析 解析：(1)由題設(shè)知，a＝2，b＝，故M(－2,0)，N(0，－)，所以線段MN中點的坐標(biāo)為.由于直線PA平分線段MN，故直線PA過線段MN的中點， 又直線PA過坐標(biāo)原點，所以k＝＝.……………………3分 (2)直線PA的方程為y＝2x，代入橢圓方程得 ＋＝1，解得x＝±， 因此P，A. 于是C，直線AC的斜率為＝1， 故直線AB的方程為x－y－＝0. 因此，d＝＝.……………………7分 (3)解法一： 將直線PA的方程y＝kx代入＋＝1， 解得x＝± . .……………………9分 記μ＝，則P(μ，μk)，A(－μ，－μk)， 于是C(μ，0)，故直線AB的斜率為＝， 其方程為y＝(x－μ)， 代入橢圓方程得(2＋k2)x2－2μk2x－μ2(3k2＋2)＝0，.……………………11分 解得x＝或x＝－μ， 因此B..……………………13分 于是直線PB的斜率k1＝＝＝－. 因此k1k＝－1，所以PA⊥PB. ……………………15分 解法二： 設(shè)P(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＞0，x2＞0，x1≠x2，A(－x1，－y1)，C(x1, 0)，設(shè)直線PB，AB的斜率分別為k1，k2，因為C在直線AB上，所以k2＝＝＝，從而k1k＋1＝2k1k2＋1＝2··＋1 ＝＋1＝＝＝0. 因此k1k＝－1，所以PA⊥PB. ……………………15分 【思路點撥】（1）由題設(shè)寫出點M，N的坐標(biāo)，求出線段MN中點坐標(biāo)，根據(jù)線PA過原點和斜率公式，即可求出k的值； （2）寫出直線PA的方程，代入橢圓，求出點P，A的坐標(biāo)，求出直線AB的方程，根據(jù)點到直線的距離公式，即可求得點P到直線AB的距離d； (3)要證PA⊥PB，只需證直線PB與直線PA的斜率之積為-1，根據(jù)題意求出它們的斜率，即證的結(jié)果．