高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 9.3 圓的方程課件 文.ppt

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第九章 平面解析幾何,9.3 圓的方程,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),題型分類 深度剖析,思想與方法系列,思想方法 感悟提高,練出高分,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),1.圓的定義 在平面內(nèi)，到 的距離等于 的點(diǎn)的 叫圓. 2.確定一個(gè)圓最基本的要素是 和 . 3.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (xa)2(yb)2r2(r0)，其中 為圓心， 為半徑. 4.圓的一般方程 x2y2DxEyF0表示圓的充要條件是 ，其中圓心為 _，半徑r_.,定長,集合,定點(diǎn),圓心,半徑,(a，b),r,D2E24F0,知識(shí)梳理,1,答案,5.確定圓的方程的方法和步驟 確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法，大致步驟為： (1)根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程； (2)根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r或D、E、F的方程組； (3)解出a、b、r或D、E、F代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.,6.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有三種. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2，點(diǎn)M(x0，y0) (1)點(diǎn)在圓上：_； (2)點(diǎn)在圓外： _ ； (3)點(diǎn)在圓內(nèi)： _.,(x0a)2(y0b)2r2,(x0a)2(y0b)2r2,(x0a)2(y0b)2r2,答案,判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”) (1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.( ) (2)已知點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則以AB為直徑的圓的方程是(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.( ) (3)方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圓的充要條件是AC0，B0，D2E24AF0.( ) (4)方程x22axy20一定表示圓.( ),答案,思考辨析,答案,1.(教材改編)x2y24x6y0的圓心坐標(biāo)是_.,圓x2y24x6y0的圓心為(2，3).,(2，3),考點(diǎn)自測(cè),2,解析答案,1,2,3,4,5,2.方程x2y2ax2ay2a2a10表示圓，則a的取值范圍是_.,解析 由題意知a24a24(2a2a1)0，,解析答案,1,2,3,4,5,3.(2015北京改編)圓心為(1,1)且過原點(diǎn)的圓的方程是_.,圓的方程為(x1)2(y1)22.,(x1)2(y1)22,解析答案,1,2,3,4,5,4.(教材改編)圓C的圓心在x軸上，并且過點(diǎn)A(1,1)和B(1,3)，則圓C的方程為_. 解析 設(shè)圓心坐標(biāo)為C(a,0)， 點(diǎn)A(1,1)和B(1,3)在圓C上， CACB，,解得a2，,圓心為C(2,0)，,圓C的方程為(x2)2y210.,(x2)2y210,解析答案,1,2,3,4,5,5.(2015湖北)如圖，已知圓C與x軸相切于點(diǎn)T(1,0)，與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A，B(B在A的上方)，且AB2. (1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_；,解析 由題意，設(shè)圓心C(1，r)(r為圓C的半徑)，,解析答案,1,2,3,4,5,(2)圓C在點(diǎn)B處的切線在x軸上的截距為_.,解析答案,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,返回,題型分類 深度剖析,例1 根據(jù)下列條件，求圓的方程. (1)經(jīng)過P(2,4)、Q(3，1)兩點(diǎn)，并且在x軸上截得的弦長等于6；,題型一 求圓的方程,解析答案,解 設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0，,又令y0，得x2DxF0. ,設(shè)x1，x2是方程的兩根， 由|x1x2|6有D24F36， 由解得D2，E4，F(xiàn)8，或D6，E8，F(xiàn)0. 故所求圓的方程為x2y22x4y80，或x2y26x8y0.,(2)圓心在直線y4x上，且與直線l：xy10相切于點(diǎn)P(3，2).,解析答案,思維升華,解 方法一 如圖，設(shè)圓心(x0，4x0)，,故圓的方程為(x1)2(y4)28.,方法二 設(shè)所求方程為(xx0)2(yy0)2r2，,解析答案,思維升華,因此所求圓的方程為(x1)2(y4)28.,思維升華,思維升華,(1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程. (2)待定系數(shù)法 若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值； 若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D、E、F的方程組，進(jìn)而求出D、E、F的值.,(1)(2014陜西)若圓C的半徑為1，其圓心與點(diǎn)(1,0)關(guān)于直線yx對(duì)稱，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_.,解析 由題意知圓C的圓心為(0,1)，半徑為1， 所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(y1)21.,x2(y1)21,跟蹤訓(xùn)練1,解析答案,(2)過點(diǎn)A(4,1)的圓C與直線xy10相切于點(diǎn)B(2，1)，則圓C的方程為_.,解析 由已知kAB0， 所以AB的中垂線方程為x3. 過B點(diǎn)且垂直于直線xy10的直線方程為y1(x2)，即xy30， ,所以圓心坐標(biāo)為(3,0)，,所以圓C的方程為(x3)2y22.,(x3)2y22,解析答案,命題點(diǎn)1 斜率型最值問題,題型二 與圓有關(guān)的最值問題,解析答案,則圓心(2,0)到直線ykx的距離為半徑時(shí)直線與圓相切，斜率取得最大、最小值.,解析答案,命題點(diǎn)2 截距型最值問題,例3 在例2條件下，求yx的最小值和最大值. 解 設(shè)yxb，則yxb， 僅當(dāng)直線yxb與圓切于第四象限時(shí)，截距b取最小值，,解析答案,命題點(diǎn)3 距離型最值問題,例4 在例2條件下，求x2y2的最大值和最小值. 解 x2y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方， 由平面幾何知識(shí)知，在原點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn) 處取得最大值和最小值(如圖).,解析答案,思維升華,思維升華,與圓有關(guān)的最值問題的常見類型及解題策略 (1)與圓有關(guān)的長度或距離的最值問題的解法.一般根據(jù)長度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解. (2)與圓上點(diǎn)(x，y)有關(guān)代數(shù)式的最值的常見類型及解法.形如u 型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)(a，b)和點(diǎn)(x，y)的直線的斜率的最值問題；形如taxby型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線的截距的最值問題； 形如(xa)2(yb)2型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)(a，b)的距離平方的最值問題.,(1)設(shè)P是圓(x3)2(y1)24上的動(dòng)點(diǎn)，Q是直線x3上的動(dòng)點(diǎn)，則PQ的最小值為 _.,解析 PQ的最小值為圓心到直線的距離減去半徑. 因?yàn)閳A的圓心為(3，1)，半徑為2， 所以PQ的最小值d3(3)24.,4,跟蹤訓(xùn)練2,解析答案,(2)已知M為圓C：x2y24x14y450上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)Q(2,3). 求MQ的最大值和最小值；,解 由圓C：x2y24x14y450， 可得(x2)2(y7)28， 所以圓心C的坐標(biāo)為(2,7)，,解析答案,設(shè)直線MQ的方程為y3k(x2)，,解析答案,例5 設(shè)定點(diǎn)M(3,4)，動(dòng)點(diǎn)N在圓x2y24上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M、ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡.,題型三 與圓有關(guān)的軌跡問題,解析答案,思維升華,解 如圖所示，設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)，,解析答案,又N(x3，y4)在圓上，故(x3)2(y4)24. 因此所求軌跡為圓：(x3)2(y4)24，,思維升華,思維升華,求與圓有關(guān)的軌跡問題時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法： 直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程. 定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程. 幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程. 代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式等.,已知圓x2y24上一定點(diǎn)A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn). (1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；,解 設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x2,2y). 因?yàn)镻點(diǎn)在圓x2y24上， 所以(2x2)2(2y)24， 故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x1)2y21.,跟蹤訓(xùn)練3,解析答案,(2)若PBQ90，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程.,解 設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x，y)，連結(jié)BN. 在RtPBQ中，PNBN. 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連結(jié)ON，則ONPQ， 所以O(shè)P2ON2PN2ON2BN2， 所以x2y2(x1)2(y1)24. 故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2y2xy10.,解析答案,返回,思想與方法系列,典例 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線yx26x1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上，求圓C的方程. 思維點(diǎn)撥 本題可采用兩種方法解答，即代數(shù)法和幾何法.,19.利用幾何性質(zhì)巧設(shè)方程求半徑,思想與方法系列,溫馨提醒,巧妙解法,解析答案,思維點(diǎn)撥,返回,規(guī)范解答 解 一般解法 (代數(shù)法)曲線yx26x1與y軸的交點(diǎn)為(0,1)，,故圓的方程是x2y26x2y10.,設(shè)圓的方程是x2y2DxEyF0 (D2E24F0)，,溫馨提醒,巧妙解法,所以圓C的方程為(x3)2(y1)29.,溫馨提醒,返回,(1)一般解法(代數(shù)法)：可以求出曲線yx26x1與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)，設(shè)圓的方程為一般式，代入點(diǎn)的坐標(biāo)求解析式. (2)巧妙解法(幾何法)：利用圓的性質(zhì)，知道圓心一定在圓上兩點(diǎn)連線的垂直平分線上，從而設(shè)圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)式，簡(jiǎn)化計(jì)算.顯然幾何法比代數(shù)法的計(jì)算量小，因此平時(shí)訓(xùn)練多采用幾何法解題.,溫馨提醒,思想方法 感悟提高,1.確定一個(gè)圓的方程，需要三個(gè)獨(dú)立條件.“選形式、定參數(shù)”是求圓的方程的基本方法，是指根據(jù)題設(shè)條件恰當(dāng)選擇圓的方程的形式，進(jìn)而確定其中的三個(gè)參數(shù). 2.解答圓的問題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)，簡(jiǎn)化運(yùn)算.,方法與技巧,1.求圓的方程需要三個(gè)獨(dú)立條件，所以不論是設(shè)哪一種圓的方程都要列出系數(shù)的三個(gè)獨(dú)立方程. 2.過圓外一定點(diǎn)，求圓的切線，應(yīng)該有兩個(gè)結(jié)果，若只求出一個(gè)結(jié)果，應(yīng)該考慮切線斜率不存在的情況.,失誤與防范,返回,練出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1.已知點(diǎn)A(1，1)，B(1,1)，則以線段AB為直徑的圓的方程是_.,解析 AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)，,圓的方程為x2y22.,x2y22,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,2.設(shè)圓的方程是x2y22ax2y(a1)20，若0a1，則原點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是_. 解析 將圓的一般方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(y1)22a， 因?yàn)?a1， 所以(0a)2(01)22a(a1)20，,所以原點(diǎn)在圓外.,原點(diǎn)在圓外,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,所以圓M的方程為(x1)2y24. 答案 (x1)2y24,解析 由已知，可設(shè)圓M的圓心坐標(biāo)為(a,0)，a2，半徑為r，,4.點(diǎn)P(4，2)與圓x2y24上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是_ _. 解析 設(shè)圓上任一點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(x2)2,(y1)21,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,又圓與直線2xy10相切，,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,所以圓心坐標(biāo)為(1,2)，,則所求圓的方程為(x1)2(y2)25.,答案 (x1)2(y2)25,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,6.若圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)(4,0)，且與直線y1相切，則圓C的方程是 _.,解析答案,7.(2015江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)(1,0)為圓心且與直線mxy2m10(mR)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 _.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解析 直線mxy2m10恒過定點(diǎn)(2，1)，,故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2y22.,(x1)2y22,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,8.(2014湖北)已知圓O：x2y21和點(diǎn)A(2,0)，若定點(diǎn)B(b,0)(b2)和常數(shù)滿足：對(duì)圓O上任意一點(diǎn)M，都有MBMA，則 (1)b_；,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 因?yàn)辄c(diǎn)M為圓O上任意一點(diǎn)， 所以不妨取圓O與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)(1,0)和(1,0). 當(dāng)M點(diǎn)取(1,0)時(shí)，由MBMA，得|b1|； 當(dāng)M點(diǎn)取(1,0)時(shí)，由MBMA，得|b1|3. 消去，得|b1|3|b1|. 兩邊平方，化簡(jiǎn)得2b25b20，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)_.,解析答案,9.一圓經(jīng)過A(4,2)，B(1,3)兩點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的四個(gè)截距的和為2，求此圓的方程.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解 設(shè)所求圓的方程為x2y2DxEyF0. 令y0，得x2DxF0，所以x1x2D. 令x0，得y2EyF0，所以y1y2E. 由題意知DE2，即DE20. 又因?yàn)閳A過點(diǎn)A、B，所以1644D2EF0. 19D3EF0. 解組成的方程組得D2，E0，F(xiàn)12. 故所求圓的方程為x2y22x120.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解 設(shè)P(x，y)，圓P的半徑為r. 則y22r2，x23r2. y22x23，即y2x21. P點(diǎn)的軌跡方程為y2x21.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解 設(shè)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，,y0x01，即y0x01.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,圓P的方程為x2(y1)23.,圓P的方程為x2(y1)23. 綜上所述，圓P的方程為x2(y1)23.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(x2)2(y1)24,解析答案,12.設(shè)P為直線3x4y30上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C：x2y22x2y10的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則四邊形PACB的面積的最小值為_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 依題意，圓C：(x1)2(y1)21的圓心是點(diǎn)C(1,1)，半徑是1，,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,13.若圓x2(y1)21上任意一點(diǎn)(x，y)都使不等式xym0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_.,解析答案,解析 據(jù)題意圓x2(y1)21上所有的點(diǎn)都在直線xym0的右上方，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,14.已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程(x3)2(y3)26，求xy的最大值和最小值.,解 設(shè)xyt，則直線yxt與圓(x3)2(y3)26有公共點(diǎn).,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,15.如圖，經(jīng)過B(1,2)作兩條互相垂直的直線l1和l2，l1交y軸正半軸于點(diǎn)A，l2交x軸正半軸于點(diǎn)C. (1)若A(0,1)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解 由直線l1經(jīng)過兩點(diǎn)A(0,1)，B(1,2)， 得l1的方程為xy10. 由直線l2l1，且直線l2經(jīng)過點(diǎn)B， 得l2的方程為xy30. 所以，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,0).,(2)試問是否總存在經(jīng)過O，A，B，C四點(diǎn)的圓？若存在，求出半徑最小的圓的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,返回,解 因?yàn)锳BBC，OAOC，所以總存在經(jīng)過O，A，B，C四點(diǎn)的圓，且該圓以AC為直徑.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,若l1與y軸不垂直，則兩條直線斜率都存在.,所以直線l1的方程為y2k(x1)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,所以直線l1的方程為y2k(x1)，,解析答案,從而A(0,2k)；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,注意到k0，,返回,