2019-2020年高中數(shù)學(xué)奧賽系列輔導(dǎo)資料函數(shù)奧賽競(jìng)賽練習(xí)教案.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué)奧賽系列輔導(dǎo)資料函數(shù)奧賽競(jìng)賽練習(xí)教案一、選擇題1（xx年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽）已知函數(shù)y=f(x)有反函數(shù)，現(xiàn)將y=f(2x-1)的圖象向左平移2個(gè)單位，所得圖形表示的函數(shù)的反函數(shù)是（ ）ABCD二、填空題2（xx年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）函數(shù)的值域?yàn)開。3（xx年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）不等式的解集為_。4（xx年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽）函數(shù)f(x)對(duì)于任意非負(fù)實(shí)數(shù)x、y都滿足，且f(x)0，f(1)0，則=_。三、解答題5（xx年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽）f(x)是定義在R上的函數(shù)，對(duì)任意的xR，都有f(x+3) f(x)+3和f(x+2) f(x)+2，設(shè)g(x)=f(x)-x，（1）求證g(x)是周期函數(shù)；（2）如果f(998)=1002，求f(xx)的值。6（xx年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）若函數(shù)在區(qū)間a，b上的最小值為2a，最大值為2b，求區(qū)間a，b。7（第一屆“希望杯”全國(guó)邀請(qǐng)賽試題）求函數(shù)在區(qū)間-1，1上的值域。8（第九屆“希望杯”全國(guó)邀請(qǐng)賽試題）若實(shí)數(shù)x滿足不等式。試求函數(shù)的最大值。9（xx年莫斯科師范大學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽）作函數(shù)的圖象。10（xx年莫斯科師范大學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽）函數(shù)是偶函數(shù)還是奇函數(shù)？11（第五屆北京高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽）中國(guó)青年報(bào)2001年3月19日?qǐng)?bào)道：中國(guó)移動(dòng)通信將于3月21日開始在所屬18個(gè)省、市移動(dòng)通信公司陸續(xù)推出“全球通”移動(dòng)電話資費(fèi)“套餐”，這個(gè)：“套餐”的最大特點(diǎn)是針對(duì)不同用戶采取了不同的收費(fèi)方法。具體方案如下：方案代號(hào)基本月租（元）免費(fèi)時(shí)間（分鐘）超過(guò)免費(fèi)時(shí)間的話費(fèi)（元/分鐘）1304806029817006031683300504268600045538810000406568170003577882588030原計(jì)費(fèi)方案的基本月租為50元，每通話一分鐘付0.4元，請(qǐng)問(wèn)：（1）“套餐”中第4種收費(fèi)方式的月話費(fèi)y與月通話量t（月通話量是指一個(gè)月內(nèi)每次通話用時(shí)之和，每次通話用時(shí)以分為單位取整計(jì)算，如某次通話時(shí)間為3分20秒，按4分鐘計(jì)通話用時(shí)）的函數(shù)關(guān)系式；（2）取第4種收費(fèi)方式，通話量多少時(shí)比原計(jì)費(fèi)方式的月通話費(fèi)省錢；（3）據(jù)中國(guó)移動(dòng)xx年公布的中期業(yè)績(jī)，每戶通話平均為每月320分鐘，若一個(gè)用戶的通話量恰好是這個(gè)平均值，那么選擇哪種收費(fèi)方式更合算，并說(shuō)明理由。參考答案1A 由于“抽象”沒(méi)有具體的函數(shù)表達(dá)式，使題目顯得有些難，化難為易的方法因而也就是化抽象為具體，不妨設(shè)f(x)=x+1（這樣符合原題“f(x)有反函數(shù)”的規(guī)定）。于是以下種種全具體化了。反函數(shù)是，向左平移2個(gè)單位所得圖形表示的函數(shù)。這個(gè)函數(shù)的反函數(shù)，再與4個(gè)選擇來(lái)對(duì)照。A項(xiàng)是符合，B項(xiàng)是不合，C項(xiàng)是不合，D項(xiàng)是不合。故選A。2兩邊平方得，從而且。由或y2。任取y2，由，易知x2，于是。任取，同樣由，易知x1。于是。因此，所求函數(shù)的值域?yàn)椤?等價(jià)于或。即或。此時(shí)，或或。解為x4或0x1或。即解集為。4這題f(x)不容易具體化，但是它的值則是可以具體化的。例如設(shè)x=0，y=0。則由，得，f(0)=0。再設(shè)x=0，y=1。得，以f（0）=0代入，已知f(1) 0，。設(shè)x=1，y=1，得，即。設(shè)x=2，y=1，得，。設(shè)x=0，得，。設(shè)x=0，得，即，。至此可求，。5解：本例的難度顯然又有增加，主要是難以具體化。只能在抽象的層面來(lái)解決問(wèn)題（1）g(x)=f(x)-x，可得g(x+2)=f(x+2)-x-2，g(x+3)=f(x+3)-x-3，再以f(x+3) f(x)+3和f(x+2) f(x)+2代換，可得，由可得g(x+4) f(x+2)-x-2f(x)+2-x-2=f(x)-x，g(x+6) f(x+2)-x-2f(x)-x。由可得g(x+6) f(x+3)-x-3f(x)-x，由、知g(x+6)=f(x)-x=g(x)。g(x)是周期函數(shù)獲證（6是它的一個(gè)周期）（2）xx-998=1002是6的整數(shù)倍，所以g(xx)=g(998)，即f(xx)-xx=f(998)-998f(xx)=f(998)+1002=1002+1002=xx。本題的不同之處在于沒(méi)有“具體化”，而是利用f(x+3)與f(x+2)的反復(fù)操作以求g(x+6)與f(x)的關(guān)系，進(jìn)而得到g(x+6)=g(x)，以達(dá)到證明的目的。6解f(x)的最大值只能是，或f(a)，或f(b)，f(x)的最小值只能是f(a)或f(b)其中之一，令，且，即可得關(guān)于a、b的方程組，解出a、b的值。當(dāng)a值由負(fù)值增大到正值時(shí)，區(qū)間a，b在x軸上自左向右移動(dòng)，因此在求f(x)的最值時(shí)，須按區(qū)間a，b的位置分類求解。f(x)圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為，。（1）當(dāng)ab0時(shí)，由f(x)在a，b上單調(diào)遞增得，f(a)=2a，且f(b)=2b即于是a、b是二次方程的兩個(gè)負(fù)根，但此方程兩根異號(hào)，故區(qū)間a，b不存在（2）當(dāng)a0a0時(shí)由f(x)在a，b上單調(diào)遞減得，f(a)=2b，且f(b)=2a，即解得或（舍去）即得區(qū)間1，3。綜上所述，所求區(qū)間為1，3或7解：。值域?yàn)椤?解：。9解：研究2種情況。，即x1。于是。，即x600時(shí)，解不等式50+0.4t268+0.45(t-600)，得600t1040(tN)，綜上，545t1040時(shí)（tN），第4種收費(fèi)方式比原收費(fèi)方式的月通話費(fèi)省錢。（3）因?yàn)榘凑赵瓉?lái)的收費(fèi)方式，320分鐘收費(fèi)178元（即50+0.4320），所以，不會(huì)選擇月租費(fèi)多于178元的收費(fèi)方式，從而只考慮“套餐”中的前三種方式。第一種方式的話費(fèi)為：30+0.6（320-48）=193.2（元）；第二種方式的話費(fèi)為：98+0.6（320-170）=188（元）；第三種方式的話費(fèi)為：168元。故選擇第三種方式。事實(shí)上，相對(duì)于原收費(fèi)方式，當(dāng)通話時(shí)間大于244分鐘時(shí)，第一種方式不合算，當(dāng)通話時(shí)間只有在120分鐘至270分鐘時(shí)，第二種方式較合算。