2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二十一章 概率統(tǒng)計 21.2 相互獨立事件、n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布講義.doc

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2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二十一章 概率統(tǒng)計 21.2 相互獨立事件、n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布講義考點一相互獨立事件1.(xx課標(biāo)改編,4,5分)投籃測試中,每人投3次,至少投中2次才能通過測試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨立,則該同學(xué)通過測試的概率為.答案0.6482.(xx湖南,18,12分)某商場舉行有獎促銷活動,顧客購買一定金額的商品后即可抽獎.每次抽獎都是從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中,各隨機(jī)摸出1個球.在摸出的2個球中,若都是紅球,則獲一等獎;若只有1個紅球,則獲二等獎;若沒有紅球,則不獲獎.(1)求顧客抽獎1次能獲獎的概率;(2)若某顧客有3次抽獎機(jī)會,記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解析(1)記事件A1=從甲箱中摸出的1個球是紅球,A2=從乙箱中摸出的1個球是紅球,B1=顧客抽獎1次獲一等獎,B2=顧客抽獎1次獲二等獎,C=顧客抽獎1次能獲獎.由題意,得A1與A2相互獨立,A1與A2互斥,B1與B2互斥,且B1=A1A2,B2=A1+A2,C=B1+B2.因為P(A1)=,P(A2)=,所以P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=,P(B2)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=P(A1)P()+P()P(A2)=P(A1)1-P(A2)+1-P(A1)P(A2)=+=.故所求概率為P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=+=.(2)顧客抽獎3次可視為3次獨立重復(fù)試驗,由(1)知,顧客抽獎1次獲一等獎的概率為,所以XB.于是P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.故X的分布列為X0123PX的數(shù)學(xué)期望為E(X)=3=.3.(xx山東,18,12分)乒乓球臺面被球網(wǎng)分隔成甲、乙兩部分,如圖,甲上有兩個不相交的區(qū)域A,B,乙被劃分為兩個不相交的區(qū)域C,D,某次測試要求隊員接到落點在甲上的來球后向乙回球.規(guī)定:回球一次,落點在C上記3分,在D上記1分,其他情況記0分.對落點在A上的來球,隊員小明回球的落點在C上的概率為,在D上的概率為;對落點在B上的來球,小明回球的落點在C上的概率為,在D上的概率為.假設(shè)共有兩次來球且落在A,B上各一次,小明的兩次回球互不影響.求:(1)小明兩次回球的落點中恰有一次的落點在乙上的概率;(2)兩次回球結(jié)束后,小明得分之和的分布列與數(shù)學(xué)期望.解析(1)記Ai為事件“小明對落點在A上的來球回球的得分為i分”(i=0,1,3),則P(A3)=,P(A1)=,P(A0)=1-=;記Bi為事件“小明對落點在B上的來球回球的得分為i分”(i=0,1,3),則P(B3)=,P(B1)=,P(B0)=1-=.記D為事件“小明兩次回球的落點中恰有1次的落點在乙上”.由題意得,D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3,由事件的獨立性和互斥性,得P(D)=P(A3B0+A1B0+A0B1+A0B3)=P(A3B0)+P(A1B0)+P(A0B1)+P(A0B3)=P(A3)P(B0)+P(A1)P(B0)+P(A0)P(B1)+P(A0)P(B3)=+=,所以小明兩次回球的落點中恰有1次的落點在乙上的概率為.(2)隨機(jī)變量可能的取值為0,1,2,3,4,6,由事件的獨立性和互斥性,得P(=0)=P(A0B0)=,P(=1)=P(A1B0+A0B1)=P(A1B0)+P(A0B1)=+=,P(=2)=P(A1B1)=,P(=3)=P(A3B0+A0B3)=P(A3B0)+P(A0B3)=+=,P(=4)=P(A3B1+A1B3)=P(A3B1)+P(A1B3)=+=,P(=6)=P(A3B3)=.可得隨機(jī)變量的分布列為012346P所以數(shù)學(xué)期望E=0+1+2+3+4+6=.4.(xx大綱全國,20,12分)設(shè)每個工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某種設(shè)備的概率分別為0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用設(shè)備相互獨立.(1)求同一工作日至少3人需使用設(shè)備的概率;(2)X表示同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù),求X的數(shù)學(xué)期望.解析記Ai表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用設(shè)備,i=0,1,2,B表示事件:甲需使用設(shè)備,C表示事件:丁需使用設(shè)備,D表示事件:同一工作日至少3人需使用設(shè)備.(1)D=A1BC+A2B+A2C,P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=0.52,i=0,1,2,(3分)所以P(D)=P(A1BC+A2B+A2C)=P(A1BC)+P(A2B)+P(A2C)=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P()P(C)=0.31.(6分)(2)X的可能取值為0,1,2,3,4,則P(X=0)=P(A0)=P()P(A0)P()=(1-0.6)0.52(1-0.4)=0.06,P(X=1)=P(BA0+A0C+A1)=P(B)P(A0)P()+P()P(A0)P(C)+P()P(A1)P()=0.60.52(1-0.4)+(1-0.6)0.520.4+(1-0.6)20.52(1-0.4)=0.25,P(X=4)=P(A2BC)=P(A2)P(B)P(C)=0.520.60.4=0.06,P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25,P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38,(10分)數(shù)學(xué)期望EX=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4)=0.25+20.38+30.25+40.06=2.(12分)教師用書專用(5)5.(xx陜西理,19,12分)在一場娛樂晚會上,有5位民間歌手(1至5號)登臺演唱,由現(xiàn)場數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手.各位觀眾須彼此獨立地在選票上選3名歌手,其中觀眾甲是1號歌手的歌迷,他必選1號,不選2號,另在3至5號中隨機(jī)選2名.觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛,因此在1至5號中隨機(jī)選3名歌手.(1)求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率;(2)X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.解析(1)設(shè)A表示事件“觀眾甲選中3號歌手”,B表示事件“觀眾乙選中3號歌手”,則P(A)=,P(B)=.事件A與B相互獨立,觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率為P(A)=P(A)P()=P(A)1-P(B)=.(2)設(shè)C表示事件“觀眾丙選中3號歌手”,則P(C)=,X可能的取值為0,1,2,3,且取這些值的概率分別為P(X=0)=P()=,P(X=1)=P(A )+P(B)+P(C)=+=,P(X=2)=P(AB)+P(AC)+P(BC)=+=,P(X=3)=P(ABC)=,X的分布列為X0123PX的數(shù)學(xué)期望EX=0+1+2+3=.考點二n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布1.(xx四川理,12,5分)同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣,當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時,就說這次試驗成功,則在2次試驗中成功次數(shù)X的均值是.答案2.(xx廣東,13,5分)已知隨機(jī)變量X服從二項分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,則p=.答案3.(xx陜西,19,12分)在一塊耕地上種植一種作物,每季種植成本為1 000元,此作物的市場價格和這塊地上的產(chǎn)量均具有隨機(jī)性,且互不影響,其具體情況如下表:作物產(chǎn)量(kg)300500概率0.50.5作物市場價格(元/kg)610概率0.40.6(1)設(shè)X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤,求X的分布列;(2)若在這塊地上連續(xù)3季種植此作物,求這3季中至少有2季的利潤不少于2 000元的概率.解析(1)設(shè)A表示事件“作物產(chǎn)量為300 kg”,B表示事件“作物市場價格為6元/kg”,由題設(shè)知P(A)=0.5,P(B)=0.4,利潤=產(chǎn)量市場價格-成本,X所有可能的取值為50010-1 000=4 000,5006-1 000=2 000,30010-1 000=2 000,3006-1 000=800.P(X=4 000)=P()P()=(1-0.5)(1-0.4)=0.3,P(X=2 000)=P()P(B)+P(A)P()=(1-0.5)0.4+0.5(1-0.4)=0.5,P(X=800)=P(A)P(B)=0.50.4=0.2,所以X的分布列為X4 0002 000800P0.30.50.2(2)設(shè)Ci表示事件“第i季利潤不少于2 000元”(i=1,2,3),由題意知C1,C2,C3相互獨立,由(1)知,P(Ci)=P(X=4 000)+P(X=2 000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3),3季的利潤均不少于2 000元的概率為P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512;3季中有2季利潤不少于2 000元的概率為P(C2C3)+P(C1C3)+P(C1C2)=30.820.2=0.384,所以,這3季中至少有2季的利潤不少于2 000元的概率為0.512+0.384=0.896.教師用書專用(4)4.(xx四川,17,12分)一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下:每盤游戲都需擊鼓三次,每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂,要么不出現(xiàn)音樂;每盤游戲擊鼓三次后,出現(xiàn)一次音樂獲得10分,出現(xiàn)兩次音樂獲得20分,出現(xiàn)三次音樂獲得100分,沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得-200分).設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為,且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨立.(1)設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X,求X的分布列;(2)玩三盤游戲,至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少?(3)玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn),若干盤游戲后,與最初的分?jǐn)?shù)相比,分?jǐn)?shù)沒有增加反而減少了.請運(yùn)用概率統(tǒng)計的相關(guān)知識分析分?jǐn)?shù)減少的原因.解析(1)X可能的取值為10,20,100,-200.根據(jù)題意,有P(X=10)=,P(X=20)=,P(X=100)=,P(X=-200)=.所以X的分布列為X1020100-200P(2)設(shè)“第i盤游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件Ai(i=1,2,3),則P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=.所以,“三盤游戲中至少有一次出現(xiàn)音樂”的概率為1-P(A1A2A3)=1-=1-=.因此,玩三盤游戲至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是.(3)X的數(shù)學(xué)期望為EX=10+20+100-200=-.這表明,獲得的分?jǐn)?shù)X的均值為負(fù).因此,多次游戲之后分?jǐn)?shù)減少的可能性更大.三年模擬A組xx模擬基礎(chǔ)題組考點一相互獨立事件1.(xx江蘇徐州銅山中學(xué)期中)某同學(xué)在上學(xué)路上要經(jīng)過A,B,C三個有紅綠燈的路口,已知他在A,B,C三個路口遇到紅燈的概率依次是,遇到紅燈時停留的時間依次是40秒,20秒,80秒,且在各個路口遇到紅燈是相互獨立的.(1)求這名同學(xué)在第三個路口C首次遇到紅燈的概率;(2)記這名同學(xué)因遇到紅燈停留的總時間為X秒,求X的概率分布與期望E(X).解析(1)設(shè)這名同學(xué)在第三個路口C首次遇到紅燈為事件M,因為事件M等于事件“這名同學(xué)在第一個路口A和第二個路口B都沒有遇到紅燈,在第三個路口C遇到紅燈”,所以P(M)=.答:這名同學(xué)在第三個路口C首次遇到紅燈的概率為.(2)X的所有可能取值為0,20,40,60,80,100,120,140(單位:秒).P(X=0)=;P(X=20)=;P(X=40)=;P(X=60)=;P(X=80)=;P(X=100)=;P(X=120)=;P(X=140)=.所以X的分布列為X020406080100120140P所以E(X)=0+20+40+60+80+100+120+140=秒.2.(蘇教選23,二,2,3,變式)學(xué)生語、數(shù)、英三科考試成績在一次考試中排名全班第一的概率分別為0.9,0.8,0.85,求一次考試中,(1)三科成績均未獲得第一名的概率;(2)恰有一科成績未獲得第一名的概率.解析分別記該學(xué)生語、數(shù)、英考試成績排名全班第一的事件為A,B,C,則A、B、C兩兩相互獨立且P(A)=0.9,P(B)=0.8,P(C)=0.85.(1)“三科成績均未獲得第一名”可以用 表示.P( )=P()P()P()=1-P(A)1-P(B)1-P(C)=(1-0.9)(1-0.8)(1-0.85)=0.003.即三科成績均未獲得第一名的概率是0.003.(2)“恰有一科成績未獲得第一名”可以用BC+AC+AB表示.由于事件BC,AC和AB兩兩互斥,根據(jù)概率加法公式和相互獨立事件的概率乘法公式,可知所求的概率P(BC)+P(AC)+P(AB)=P()P(B)P(C)+P(A)P()P(C)+P(A)P(B)P()=1-P(A)P(B)P(C)+P(A)1-P(B)P(C)+P(A)P(B)1-P(C)=(1-0.9)0.80.85+0.9(1-0.8)0.85+0.90.8(1-0.85)=0.329.即恰有一科成績未獲得第一名的概率是0.329.考點二n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布3.(蘇教選23,二,5,變式)袋子A和B中裝有若干個均勻的紅球和白球,從A中摸出一個紅球的概率為,從B中摸出一個紅球的概率為p.(1)從A中有放回地摸球,每次摸出一個,共摸5次.求:恰好有3次摸到紅球的概率;僅在第一次,第三次,第五次摸到紅球的概率;(2)若A,B兩袋中球數(shù)之比為12,將A,B中的球裝在一起后,從中摸出一個紅球的概率是,求p的值.解析(1)所求概率P1=10=.所求概率P2=.(2)設(shè)袋子A中有m個球,則袋子B中有2m個球,由題意知,=,得p=.B組xx模擬提升題組(滿分:30分時間:15分鐘)解答題(共30分)1.(xx南京、鹽城高三第一次模擬)某年級星期一至星期五每天下午排3節(jié)課,每天下午隨機(jī)選擇1節(jié)作為綜合實踐課(上午不排該課程),張老師與王老師分別任教甲、乙兩個班的綜合實踐課程.(1)求這兩個班“在星期一不同時上綜合實踐課”的概率;(2)設(shè)這兩個班“在一周中同時上綜合實踐課的節(jié)數(shù)”為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).解析(1)這兩個班“在星期一不同時上綜合實踐課”的概率P=1-=.(2)X的可能取值為0,1,2,3,4,5,由題意得XB,P(X=k)=,k=0,1,2,3,4,5.則P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,P(X=5)=,所以X的分布列為X012345P所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0+1+2+3+4+5=.或E(X)=5=2.(xx江蘇如皋高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研(三),23)已知兩個城市之間由7條網(wǎng)線并聯(lián),這7條網(wǎng)線能夠通過的信息量分別為1,2,2,2,3,3,3,現(xiàn)從中任選三條網(wǎng)線,設(shè)能夠通過的信息總量為X,若能夠通過的信息總量不小于8,則可以保持線路通暢.(1)求線路通暢的概率;(2)求線路通過信息量的概率分布及數(shù)學(xué)期望.解析(1)記“線路通暢”為事件A,則事件A包含X=8和X=9兩個事件,且它們互斥,P(X=8)=,P(X=9)=,所以P(A)=P(X=8)+P(X=9)=+=.(2)X的所有可能取值為5,6,7,8,9,則P(X=5)=,P(X=6)=,P(X=7)=,P(X=8)=,P(X=9)=.所以X的分布列為X56789P故E(X)=5+6+7+8+9=.C組xx模擬方法題組方法獨立重復(fù)試驗及二項分布一名學(xué)生騎自行車去上學(xué),從他家到學(xué)校的途中有6個路口,假設(shè)在各個路口遇到紅燈的事件是相互獨立的,并且概率都是.(1)設(shè)X為這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù),求X的分布列;(2)設(shè)Y為這名學(xué)生在首次停車前經(jīng)過的路口數(shù),求Y的分布列;(3)求這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率.解析(1)依據(jù)已知條件,可知XB.P(X=k)=,k=0,1,2,6.X的分布列為X0123456P(2)由題意知,Y的所有可能取值為0,1,2,3,6.Y=k(k=0,1,2,5)表示前k個路口沒有遇上紅燈,但在第(k+1)個路口遇上紅燈,則P(Y=k)=,Y=6表示路上沒有遇上紅燈,其概率P(Y=6)=.Y的分布列為Y0123456P(3)由題意可知,“至少遇到一次紅燈”的對立事件是“一次紅燈都沒有遇到”,因此有P(X1)=1-P(X=0)=1-=.所以這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率為.