2019-2020年高考數(shù)學 平面幾何例講解答競賽.doc

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2019-2020年高考數(shù)學 平面幾何例講解答競賽基本內(nèi)容：五心性質(zhì)；共點線與共線點；共圓點；托勒密定理；西摩松定理；斯特瓦特定理；面積方法；幾何變換；根軸與反演。1、如圖，四邊形中，自對角線的交點，作于，線段交于，交于，是線段上的任意一點.證明：點到線段的距離等于到線段、的距離之和.證：易知，四邊形共圓，共圓，因此，.即平分；又由共圓，得，即平分.設(shè)于，于，于，過點作，交于，交于；過點作，交于，交于；再作于于，則由平行線及角平分線的性質(zhì)得，.為證，只要證 .由平行線的比例性質(zhì)得，因此 ，由于與的對應(yīng)邊平行，且平分，故是的平分線.從而 ，即所證結(jié)論成立.2、在中，,內(nèi)心為，內(nèi)切圓在邊上的切點分別為、, 設(shè)是關(guān)于點的對稱點，是關(guān)于點的對稱點.求證：四點共圓.證：設(shè)直線交的外接圓于點，易知是的中點。記的中點為，則設(shè)點在直線上的射影為，由于則半周長，于是，又，所以，且相似比為2，熟知；。又，所以，即是的中點進而，所以都在以為圓心的同一個圓周上3、如圖，中，分別是邊 上的點，在的延長線上分別取點，使 ；點分別是，的垂心.證明：.證：如圖，設(shè)線段的中點分別為，則也是的中點，據(jù)中位線知，在中，；在中，即，所以:，且，.為證，只要證. 以為圓心，為直徑作，其半徑記為；以為圓心，為直徑作，其半徑記為，設(shè)直線交于，交于，由于點是的垂心，則，所以共圓，故有 另一方面，由于可知，在上，在上，從而，因此化為，即 又設(shè)直線交于，交于，由于點是的垂心，則，所以共圓，故有 再由 可知，在上，在上，從而，因此化為，即 據(jù)、得，所以 ，而，所以.4、如圖，O1、O2、O3分別外切O于A1、B1、C1，并且前三個圓還分別與ABC的兩條邊相切.求證：三條直線AA1、BB1、CC1相交于一點.證明：設(shè)及分別是四個圓的圓心，其半徑分別為與，的內(nèi)切圓半徑為，顯然，為的三條內(nèi)角平分線，故相交于其內(nèi)心.設(shè)（定值）.記，對于，因為O與的切點在連心線上，點在的延長線上，則直線必與線段相交，其交點設(shè)為.同理可設(shè)，直線 .只須證重合.直線截于，由梅尼勞斯定理，即 同理有 ,以及 易知 ，所以 ，從而，故 ，所以，因此共點，即交于一點.5、四邊形內(nèi)接于，是的切線（為切點）；證明：三線共點證明：以為基本線，設(shè)，只要證，共點；因為，只要證，即要證，；因為,故分別得到，；所以，因此結(jié)論得證6、四邊形內(nèi)接于，是的切線（為切點）；證明：（）四點共線；（）是的垂心證明：（）、據(jù)上題，三點共線，只要證，點在上，以為基本線，且設(shè)；則，；只要證，即要證，即 因為,則 ，；相乘得，故結(jié)論得證（）因是的切線，則垂直平分，而四點共線，則，據(jù)的對稱性，有（因為，若自引的切線，類似可得，共線，垂直平分，所以）；因此，點為的垂心（同時，點也是的垂心）7、中，是角平分線上的任一點，分別是延長線上的點，且，；若分別是的中點；證明：證：如圖，延長，分別與交于，注意關(guān)于頂點的等高性及等角性，由面積比定理，（記號表示面積），所以 又由，得 ，所以 ，由、得，即 取的中點，據(jù)中位線知，,由，作角分線，則，因，所以其角分線，因，得8、已知、分別是的外接圓和內(nèi)切圓；證明：過上的任意一點，都可作一個三角形，使得、分別是的外接圓和內(nèi)切圓證：如圖，設(shè)，分別是的外接圓和內(nèi)切圓半徑，延長交于，則，延長交于；則，即；過分別作的切線，在上，連，則平分，只要證，也與相切；設(shè)，則是的中點，連，則，所以，由于在角的平分線上，因此點是的內(nèi)心，（這是由于，而，所以，點是的內(nèi)心）即弦與相切9、如圖，四邊形內(nèi)接于，而與外切于點，且都內(nèi)切于，若對角線分別是、的內(nèi)、外公切線；證明：點是的內(nèi)心證：先證引理：若內(nèi)切于，的弦切于，延長交于，則是的中點，且如圖，作兩圓的公切線，因是的切線，則，而，所以，即是的中點，又由:，得到回到本題，設(shè)，分別切于，切于，據(jù)引理知直線過的中點，則，而，所以，故在，的根軸上，即在內(nèi)公切線上，所以與重合，即是的中點，故平分；又由，得，于是 ，即，而，所以，因此平分，從而是的內(nèi)心10、銳角三角形中，在邊上分別有動點，試確定，當取得最小值時的面積解：對于任一個內(nèi)接，暫將固定，而讓在上移動，設(shè)的中點為，則由中線長公式，因此在固定后，欲使取得最小值，當使達最小，但是為上的定點，則當時，達最小，再對作同樣的討論，可知，當取得最小值時，的三條中線必定垂直于三角形的相應(yīng)邊；今設(shè)重心為，面積為，的面積為，則 由于分別共圓，則，故由，同除以，得，所以，又由，即，所以，因而（其中）11、如圖，的外心為，是的中點，直線交于，點分別是的外心與內(nèi)心，若，證明：為直角三角形.證：由于點皆在的中垂線上，設(shè)直線交于，交于，則是的中點，是的中點; 因是的內(nèi)心，故共線，且.又 是的中垂線，則，而為的內(nèi)、外角平分線，故有，則為的直徑，所以，又因，則. 作于，則有，且，所以，故得 ，因此，是的中位線，從而 ，而，則.故為直角三角形證二：記，因是的中垂線，則，由條件 延長交于，并記，則，對圓內(nèi)接四邊形用托勒密定理得，即，由、得，所以，即是弦的中點，而為外心，所以，故為直角三角形12、試證費爾巴赫定理： 三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切于其九點圓；而其三個旁切圓皆與九點圓相外切證：若為等腰三角形，顯然其內(nèi)切圓在底邊中點處與九點圓內(nèi)切；只須考慮的三邊不等時的情況，如圖所示，設(shè)邊的中點分別為，內(nèi)切圓切這三邊于，過作的切線交于，為切點，連，則點關(guān)于線對稱，所以，作于，連，設(shè)，是的中位線，因，所以 ，又由，得，因，則共圓，所以，得，因此 ，即；又 ，所以，故共圓，而在中，所以 因中位線，是直角三角形的斜邊中點，則，在中，得 ，由得，故共圓，而過點、的圓即是的九點圓，即在九點圓上，因此是的內(nèi)切圓與九點圓的公共點； 再證，這兩圓在點處相切：過作內(nèi)切圓的切線（點和點在直線的同側(cè)），與同是的切線，則，因共圓，故，從而與的外接圓相切于點，即與的九點圓相切于點所以是兩圓的公切線，因此三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切于其九點圓（用類似的方法可證得旁切圓與九點圓相切采用結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換方法，先將旁切圓情形下的相應(yīng)點的符號以及輔助線仿照內(nèi)切圓情況給出，再將證明移植） 今考慮旁切圓情況，不妨設(shè)，為邊外的旁切圓，為的中點，若，則顯然與九點圓切于的中點；若，如圖，設(shè)切于，角分線，于，過作的切線，交于，為切點，連，則垂直平分，所以；是的中位線，又因， 所以 ，又由，得，因，則共圓，所以，得，因此 ，即；又 ，所以，故共圓，因為中位線，而是直角三角形斜邊的中點，所以，故得，所以共圓， 而過點、的圓即是的九點圓，即在九點圓上，因此是的旁切圓與九點圓的公共點； 再證，這兩圓在點處相切：過作旁切圓的切線（在切線上，取點和點在直線的同側(cè)，取點和點在直線的異側(cè)），與同是的切線，則，因共圓，得，所以，即，從而與的外接圓相切于點，即與的九點圓相切于點所以是兩圓的公切線，因此三角形的旁切圓，外切于其九點圓