2019-2020年高中數(shù)學 2.4 空間直角坐標系 2.4.2 空間兩點的距離公式教案 新人教B版必修2.doc

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2019-2020年高中數(shù)學 2.4 空間直角坐標系 2.4.2 空間兩點的距離公式教案 新人教B版必修2教學分析教材類比平面上兩點間距離公式得到空間兩點間的距離公式，值得注意的是在教學中，讓學生了解空間兩點間的距離公式的推導思路即可，不必證明三維目標掌握空間兩點的距離公式及其應用，提高學生的類比能力和解決問題的能力重點難點教學重點：空間兩點間的距離公式教學難點：空間兩點間的距離公式的推導課時安排1課時導入新課設計1.距離是幾何中的基本度量，幾何問題和一些實際問題經(jīng)常涉及距離，如飛機和輪船的航線的設計，它雖不是直線距離，但也涉及兩點之間的距離，一些建筑設計也要計算空間兩點之間的距離，那么如何計算空間兩點之間的距離呢？這就是我們本堂課的主要內(nèi)容設計2.我們知道，數(shù)軸上兩點間的距離是兩點的坐標之差的絕對值，即d|x1x2|；平面直角坐標系中，兩點之間的距離是d.同學們想一想，在空間直角坐標系中，兩點之間的距離應怎樣計算呢？又有什么樣的公式呢？因此我們學習空間兩點間的距離公式推進新課討論結(jié)果：(1)平面直角坐標系中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|.(2)計算空間兩點A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)的距離公式是d(A，B)|AB|.特別地，點A(x，y，z)到原點O的距離公式為d(O，A)|OA|.(3)推導空間兩點距離公式的思路是：過兩點分別作三個坐標面的平行平面(如下圖)，則這六個平面圍成一個長方體，我們知道，長方體的對角線長的平方等于一個頂點上三條棱長的平方和于是，只要寫出交一個頂點的三條棱的棱長用坐標計算的表達式，就能導出兩點的距離公式你還可以作線段AB在三個坐標平面上的正投影，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題加以解決(如下圖)思路1例1給定空間直角坐標系，在x軸上找一點P，使它與點P0(4,1,2)的距離為.解：設點P的坐標是(x,0,0)，由題意，|P0P|，即，所以(x4)225.解得x9或x1.所以點P的坐標為(9,0,0)或(1,0,0)點評：本題利用空間兩點間距離公式列出了方程，求出了點P的坐標變式訓練1在z軸上求一點M，使點M到點A(1,0,2)，B(1，3,1)的距離相等解：設M(0,0，z)，由題意，得|MA|MB|，整理并化簡，得z3，所以M(0,0，3)2ABC的三個頂點坐標為A(1，2，3)，B(1，1，1)，C(0,0，5)，試證明ABC是一直角三角形分析：要判定ABC是一直角三角形，只需求出|AB|，|BC|，|CA|的長，利用勾股定理的逆定理來判定解：因為三個頂點坐標為A(1，2，3)，B(1，1，1)，C(0,0，5)，所以|AB|3，|BC|3，|CA|3.又因為|AB|2|CA|2|BC|2，所以ABC是直角三角形思路2例2已知A(x,5x,2x1)，B(1，x2,2x)，則|AB|的最小值為()A0 B. C. D.分析：要求|AB|的最小值，首先我們需要根據(jù)空間兩點間的距離公式表示出|AB|，然后再根據(jù)一元二次方程求最值的方法得出|AB|的最小值解析：|AB|.當x時，|AB|的最小值為.答案：B點評：利用空間兩點間的距離公式轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次函數(shù)求最值是常用的方法變式訓練在xOy平面內(nèi)的直線xy1上確定一點M，使M到點N(6,5,1)的距離最小解：由已知，可設M(x,1x,0)，則|MN|.所以|MN|min.1已知A(3,3,1)，B(1,0,5)，求：(1)線段AB的中點坐標和長度；(2)到A，B兩點的距離相等的點P(x，y，z)的坐標滿足的條件解：(1)設M(x，y，z)是線段AB的中點，則根據(jù)中點坐標公式，得(2，3)根據(jù)兩點間距離公式，得|AB|，所以AB的長度為.(2)因為點P(x，y，z)到A，B的距離相等，所以有下面等式：.化簡，得4x6y8z70，因此，到A，B兩點的距離相等的點P(x，y，z)的坐標滿足的條件是4x6y8z70.2已知正方形ABCD和正方形ABEF的邊長都是1，平面ABCD和平面ABEF互相垂直，點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CMBNa(0a)求MN的長分析：建立適當?shù)目臻g直角坐標系，利用空間兩點間的距離公式求MN的長解：平面ABCD平面ABEF，且平面ABCD平面ABEFAB，ABBE，BE平面ABC.AB，BC，BE兩兩垂直以B為原點，分別以射線BA，BE，BC為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系Bxyz，如下圖正方形ABCD和正方形ABEF的邊長都是1，CMBNa，M(a,0,1a)，N(a，a,0)由空間兩點間的距離公式得|MN|.如下圖，以正方體的三條棱所在的直線為坐標軸，建立空間直角坐標系Oxyz，點P在正方體的對角線AB上，點Q在正方體的棱CD上(1)點P為對角線的中點，點Q在棱CD上運動時，探究|PQ|的最小值；(2)點Q為棱CD的中點，點P在對角線AB上運動時，探究|PQ|的最小值；(3)點P在對角線AB上運動，點Q在棱CD上運動時，探究|PQ|的最小值由以上問題，你得到了什么結(jié)論？你能夠證明你的結(jié)論嗎？解：設正方體的棱長為a.(1)當點P為對角線AB的中點時，點P的坐標是(，)因為點Q在線段CD上，設Q(0，a，z)(其中0za)|PQ|.當z時，|PQ|的最小值為a，即點Q在棱CD的中點時，|PQ|有最小值a.(2)因為P在對角線AB上運動，Q是定點，所以當PQAB時|PQ|最短因為當點Q為棱CD的中點時，|AQ|BQ|，QAB是等腰三角形，所以，當P是AB的中點時，|PQ|取得最小值a.(3)當點P在對角線AB上運動，點Q在棱CD上運動時，|PQ|的最小值仍然是a.證明：如上圖，設P(x，y，z1)由正方體的對稱性，顯然有xy.設P在平面OA上的射影是H.在AOB中，.所以，即有xaz1.所以，點P的坐標是(az1，az1，z1)由已知，可設Q(0，a，z2)，則|PQ|.當z2z1時，|PQ|取得最小值，最小值是a.本節(jié)課學習了：空間兩點的距離公式及其應用本節(jié)練習A2,3題本節(jié)課從平面直角坐標系中兩點之間的距離公式入手，創(chuàng)設問題情境，不難把平面上的知識推廣到空間，利用類比的思想方法，得到空間兩點的距離公式本節(jié)課以問題為紐帶，以探究活動為載體，使學生在問題的指引下、教師的指導下把探究活動層層展開、步步深入，充分體現(xiàn)以教師為主導，以學生為主體的指導思想把學生學習知識的過程轉(zhuǎn)變?yōu)閷W生觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的過程，提高了能力、培養(yǎng)了興趣、增強了信心備選習題1已知空間三點的坐標為A(1,5，2)，B(2,4,1)，C(p,3，q2)，若A、B、C三點共線，則p、q的值分別為()A3,2 B2,3 C3,2 D3，2解析：由已知A、B、C三點共線，我們就可以根據(jù)它們每兩點的斜率相等來求出參數(shù)p、q的值即有，從而解得p3，q2.答案：A2已知正方體不在同一側(cè)面上的兩頂點A(1,2，1)，B(3，2,3)，則正方體的體積是()A16 B192 C64 D48解析：要求正方體的體積，只要知道它的棱長問題就解決了根據(jù)已知A、B為不在同一側(cè)面上的兩頂點，我們可以求出該正方體的對角線長為：|AB|4，正方體的棱長為|AB|4.正方體的體積是4364.答案：C