2019-2020年高中數(shù)學 7.1直線的傾斜角和斜率(備課資料) 大綱人教版必修.doc
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2019-2020年高中數(shù)學 7.1直線的傾斜角和斜率(備課資料) 大綱人教版必修 一、解析幾何學的產(chǎn)生背景及其研究的基本問題 在十七世紀,從封建社會內部產(chǎn)生出來的資本主義生產(chǎn)關系,處于它的上升時期,曾促進了社會生產(chǎn)力的迅速發(fā)展,遠洋航行、礦山開采、機械制造以及資本的對外擴張,向自然科學提出了大量的問題,例如天體運行、鐘表擺動、炮彈彈道、透鏡形狀等,所有這些,都已超出歐幾里得幾何學的范圍.法國數(shù)學家笛卡爾由于親自參加社會實踐,重視對機械曲線的探討,終于突破了用綜合法研究靜止圖形的局限性,在他所著的《方法論》一書的附錄《幾何學》中引進了變數(shù),開始用解析方法來研究變化的圖形的性質. 他的基本思想是借助坐標法,把反映同一運動規(guī)律的空間圖形(點、線、面)同數(shù)量關系(坐標和它們所滿足的方程)統(tǒng)一起來,從而把幾何問題歸結為代數(shù)問題來處理,運用這種坐標法,可以研究比直線和圓復雜得多的曲線,而且使曲線第一次被看成動點的軌跡.從此,由曲線或曲面求它的方程,以及由方程的討論研究它所表示的曲線或曲面的性質,就成了解析幾何學的兩大基本問題. 為紀念笛卡爾為數(shù)學發(fā)展所作的貢獻,我們也把直角坐標系稱為笛卡爾坐標系,把直角坐標系所表示的平面稱為笛卡爾平面.在中學,我們只學習平面解析幾何的基礎知識. 二、傾斜角與斜率概念剖析 首先,對于傾斜角要注意以下三點: (1)由于我們已將角的概念作了推廣,所以要使坐標平面內每一直線有惟一的傾斜角,就只能以“取最小正角”作為對應法則. (2)上述定義是對于與x軸相交的直線作出的.凡與x軸平行的直線,都不具有向上的方向,所以應補充規(guī)定它們的傾斜角為0.這時才可以說,坐標平面內每一直線有惟一的傾斜角. (3)當直線與x軸相交時,它的傾斜角的終邊作為射線,它是朝著向上的方向的,所以傾斜角的范圍是0<α<π.于是,對于坐標平面內所有的直線來說,傾斜角的范圍是0≤α<π. 其次,對于斜率這一概念,應注意以下幾點: (1)顧名思義,“斜率”就是“傾斜的程度”.過去,我們在學習直角三角形時就已知道,斜坡坡面的鉛直高度h與水平寬度l的比值i叫坡度;如果把坡面與水平面的夾角α叫做坡角,那么i==tanα;坡度越大α角越大坡面越陡,所以i=tanα可以反映坡面傾斜的程度.現(xiàn)在我們學習的斜率k,等于所對應的直線(有無數(shù)條,它們彼此平行)的傾斜角(只有一個)α的正切,可以反映這樣的直線對于x軸傾斜的程度.實際上,“斜率”的概念與工程問題中的“坡度”是一致的. (2)解析幾何中,要通過點的坐標和直線方程來研究直線,斜率可以直接通過坐標計算求得,使方程形式上較為簡單.如果只用傾斜角一個概念,那么它實際上相當于反正切arctank,難于直接通過坐標計算求得,并使方程形式變得復雜. (3)坐標平面內,每一條直線都有惟一的傾斜角,但不是每一條直線都有斜率.傾斜角是90的直線(即x軸的垂線)沒有斜率.在今后的學習中,經(jīng)常要對直線是否有斜率分情況進行討論. 三、概念辨析題 判斷下列命題的正確性: (1)任一條直線都有傾斜角,也都有斜率; (2)平行于x軸的直線傾斜角是0或π; (3)直線的斜率的范圍是(-∞,+∞); (4)過原點的直線,斜率越大越靠近y軸; (5)兩直線的斜率相等,則它們的傾斜角相等; (6)兩條直線的傾斜角相等,則它們的斜率相等. 解析:命題(1)錯誤,如直線x=1,傾斜角為,但是斜率不存在. 命題(2)錯誤,由傾斜角的范圍0≤α<180,可知平行于x軸的直線傾斜角為0; 命題(3)正確.可結合正切函數(shù)在[0,π)的圖象說明; 命題(4)錯誤,當傾斜角在[0,)范圍內,斜率越大越靠近y軸,當傾斜角在(,π)范圍內,斜率越大越靠近x軸非正半軸. 命題(5)正確,由正切函數(shù)在[0,π)范圍內的單調性可知. 命題(6)錯誤.當兩直線傾斜角為時,斜率不存在,也就不能說斜率相等. 綜上所述,命題(3)、(5)正確,(1)、(2)、(4)、(6)錯誤. 四、參考例題 [例1]直線l過點A(1,2),B(m,3),求l的斜率與傾斜角. 分析:此題意在使學生熟悉直線的斜率公式,但由于點B坐標中含有參數(shù),故借此鍛煉學生的分類討論的意識,同時注重討論的合理性與全面性. 解:(1)先考慮此直線斜率不存在的情形,顯然m=1,此時l的傾斜角為; (2)若斜率存在,設此斜率為k,傾斜角為α,此時m≠1,k=tanα=, (ⅰ)當m>1時,k>0,傾斜角為銳角, α=arctan; (ⅱ)當m<1時,k<0,傾斜角為鈍角, α=π+arctan. [例2]平面上有相異的兩點A(cosθ,sin2θ)和B(0,1),求經(jīng)過A、B兩點的直線的斜率及傾斜角的范圍. 分析:根據(jù)A、B為相異兩點可知cosθ≠0,則sin2θ≠1,故排除了經(jīng)過A、B兩點的直線斜率為0或斜率不存在的情形,這一點對于正確求解直線斜率及傾斜角的范圍具有關鍵性作用. 解:∵A、B相異兩點,∴cosθ≠0,此時sin2θ≠1. 故A、B兩點的橫縱坐標均不相同,因此,直線AB的斜率存在且不為0. 設直線AB的傾斜角為α,斜率為k.則k=tanα==-cosθ ∵tanα=-cosθ≠0 ∴k∈[-1,0)∪(0,1],α∈(0,]∪[,π) [例3]直線l的斜率為k,傾斜角是α,若-1<k<1,則α的取值范圍是 . 分析:本題考查直線傾斜角的變化范圍,即0≤α<π,可轉化為已知tanα的范圍求α范圍,可以利用正切函數(shù)的圖象解決,在體現(xiàn)與三角函數(shù)的聯(lián)系的同時又體現(xiàn)了數(shù)形結合的解題思想. 解:如圖,作出正切函數(shù)y=tanα(0≤α<π)的圖象. ∵tan=1,tanπ=-1. 再觀察圖象可知: 當-1<k<1時,傾斜角α的取值范圍是:0≤α<或π<α<π. [例4]求直線x-ysinθ+1=0的傾斜角變化范圍. 分析:此題中y的系數(shù)為變量sinθ,應注意對sinθ=0,sinθ≠0的分情況討論,同時注意不等式的性質、三角函數(shù)的性質、圖象的綜合運用. 解:(?。┊攕inθ=0時,傾斜角為; (ⅱ)當sinθ≠0時,直線斜率k=,即tanα=. 由sinθ>0得≥, 由sinθ<0得≤-, ∴tanα≤-或tanα≥. 如圖,觀察正切函數(shù)y=tanα(0≤α<π)的圖象可得: . 綜合(?。ⅲáⅲ┛芍? α的取值范圍:[]. ●備課資料 一、參考例題 [例1](1993年全國文)若直線ax+by+c=0,在第一、二、三象限,則( ) A.ab>0,bc>0 B.ab>0,bc<0 C.ab<0,bc>0 D.ab<0,bc<0 分析:此題考查學生對于直線中含有參數(shù)的情形的處理能力,應注意數(shù)形結合思想的應用. 解:由題意,直線的斜率一定大于0,所以k=->0,即ab<0;并且根據(jù)直線的縱截距大于0,可得:->0即bc<0.故選D. [例2](1995年全國)在圖中的直線l1,l2,l3的斜率分別為k1,k2,k3,則( ) A.k1<k2<k3 B.k3<k1<k2 C.k3<k2<k1 D.k1<k3<k2 分析:此題屬于圖象信息題,要求學生根據(jù)傾斜角的大小與斜率的正負來比較k1,k2,k3的大小關系. 解:由圖可知直線l1的傾斜角為鈍角,故k1<0,直線l2,l3的傾斜角為銳角,故k2,k3>0,又直線l2的傾斜角大于l3的傾斜角,故k2>k3. 故選D. [例3](1996年上海高考試題)過點(4,0)和點(0,3)的直線的傾斜角為( ) A.arctan B.π-arctan C.arctan(-) D.π-arctan(-) 分析:此題中直線的斜率可由斜率公式直接求得,由于所得結果不是特殊值,故在用反正切函數(shù)表示時,應注意傾斜角的取值范圍.若tanα=a(a>0),則α=arctanα;若tanα=-a(a>0),則α=π-arctanα. 解:過點(4,0)和點(0,3)的直線的斜率k=,即tanα=-<0. 故α是鈍角. ∴α=π-arctan. 故選B. [例4](1997年高考應用題)甲、乙兩地相距s千米,汽車從甲地,勻速行駛到乙地,速度不得超過c千米/小時,已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成:可變部分與速度v(千米/小時)的平方成正比,比例系數(shù)為b;固定部分為a元. (1)把全部運輸成本y(元)表示為速度v(千米/小時)的函數(shù),并指出這個函數(shù)的定義域. (2)為了使全程運輸成本最小,汽車應以多大速度行駛? 解:(1)y=s(+bv),v∈(0,c] (2)據(jù)《xx年高考試題分析》知:很多考生在求函數(shù)y=s(+bv)取得最小值時,利用基本不等式,由于忽略了函數(shù)的定義域,根據(jù)s(+bv)≥2s,得出當且僅當=bv,即v=時,全程運輸成本最小的結論,結果漏掉了另外一種情況.如果運用斜率求解,可避免漏解.請看: 記k=y(tǒng)= 故求此函數(shù)的最值可轉化為求一定點A(0,-as)與動點B(v,bsv2)構成的直線的斜率的最值. 動點B在拋物線y=bsx2,x∈(0,c)上運動,其中點 B′(c,bsc2). 如圖所示: ①當動點B在拋物線弧OB′(不包括B′點)上時,過定點A且與拋物線弧相切的切線斜率即所求函數(shù)的最小值. 設直線AB的方程為:y+as=kx 聯(lián)立 消去y得bsx2-kx+as=0(*) 由Δ=k2-4abs2=0得k=2s或k=-2s (舍去),將k=2s代入(*)式得x=.換句話說,當速度v=時,運輸成本y的最小值為2s. ②當點B在點B′時,kAB的值只有一個,顯然就是所求函數(shù)的最小值.此時,kAB=+bc). 也就是說,當v=c時,運輸成本y的最小值為s(+bc). 二、直線的斜率在解題中的應用 1.證明不等式 [例1]已知a、b、m∈R*,且a<b, 求證:. 分析:觀察所證不等式的左邊,結構與斜率公式k=完全相似,,故此式可看作點(b,a)與點(-m,-m)的連線的斜率. 解:如圖,∵0<a<b,∴點P(b,a)在第一象限且必位于直線y=x的下方. 又∵m>0 ∴點M(-m,-m)在第三象限且必在y=x上,連接OP、PM,則: kOP=,kMP=. ∵直線MP的傾斜角大于直線OP的傾斜角,∴kMP>kOP即有>. 2.用斜率確定某些參數(shù)的取值范圍 [例2]已知兩點P(2,-3),Q(3,2),直線ax+y+2=0與線段PQ相交,求a的取值范圍. 分析:已知直線ax+y+2=0是一條過定點(0,-2)的動直線,若與線段PQ相交,則如圖所示直線PM、QM是其變化的邊界直線,所以只須求出直線PM、QM的斜率即可確定已知直線的斜率-a的變化范圍,從而得到a的變化范圍. 解:如圖所示,直線l:ax+y+2=0恒過定點M(0,-2),l與線段PQ相交,故kMP≤kl≤kMQ. ∵kl=-a,kMP=-,kMQ= ∴-≤-a≤,∴-≤a≤. [例3]若-<α<0,則斜率為-cotα直線的傾斜角為( ) A.-α B. +α C.π-α D. -α 分析:由直線的傾斜角的定義,題中的α角,不能作為直線的傾斜角;也不能錯誤地認為-α在直線的傾斜角范圍內,-α就是直線的傾斜角,必須進行準確的三角變形. 解:設直線的傾斜角為θ, ∵k=tanθ=-cotα=tan(α-) ∴θ=kπ+α-(k∈Z) ∵θ∈[0,π),-<α<0 ∴-π<α-<-,∴0<+α< 故選B.- 配套講稿:
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- 2019-2020年高中數(shù)學 7.1直線的傾斜角和斜率備課資料 大綱人教版必修 2019 2020 年高 數(shù)學 7.1 直線 傾斜角 斜率 備課 資料 大綱 人教版 必修
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