2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章 集合與函數(shù)概念 第3節(jié) 函數(shù)的基本性質(zhì)(2)教案 新人教A版必修1.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章 集合與函數(shù)概念 第3節(jié) 函數(shù)的基本性質(zhì)(2)教案 新人教A版必修1教學(xué)目標(biāo)1知識(shí)與技能(1)使學(xué)生理解函數(shù)的最值是在整個(gè)定義域上來研究的,它是函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用(2)啟發(fā)學(xué)生學(xué)會(huì)分析問題、認(rèn)識(shí)問題和創(chuàng)造性地解決問題2過程與方法(1)通過滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,對(duì)學(xué)生進(jìn)行辯證唯物主義的教育(2)探究與活動(dòng),明白考慮問題要細(xì)致,說理要明確3情感、態(tài)度與價(jià)值觀理性描述生活中的最大(小)、最多(少)等現(xiàn)象重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):函數(shù)最大(小)值的定義和求法教學(xué)難點(diǎn):如何求一個(gè)具體函數(shù)的最值導(dǎo)入新課思路1.某工廠為了擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模,計(jì)劃重新建造一個(gè)面積為10 000 m2的矩形新廠址,新廠址的長(zhǎng)為x m,則寬為 m,所建圍墻y m,假如你是這個(gè)工廠的廠長(zhǎng),你會(huì)選擇一個(gè)長(zhǎng)和寬各為多少米的矩形土地,使得新廠址的圍墻y 最短?學(xué)生先思考或討論,教師指出此題意在求函數(shù)y2(x),x0的最小值引出本節(jié)課題:在生產(chǎn)和生活中,我們非常關(guān)心花費(fèi)最少、用料最省、用時(shí)最省等最值問題,這些最值對(duì)我們的生產(chǎn)和生活是很有幫助的那么什么是函數(shù)的最值呢?這就是我們今天學(xué)習(xí)的課題用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題,將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值,這就是函數(shù)的思想,用函數(shù)解決問題思路2.畫出下列函數(shù)的圖象,指出圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn),并說明它能體現(xiàn)函數(shù)的什么特征?f(x)x3;f(x)x3,x1,2;f(x)x22x1;f(x)x22x1,x2,2學(xué)生回答后,教師引出課題:函數(shù)的最值推進(jìn)新課(1)如圖4所示是函數(shù)yx22x、y2x1,x1,)、yf(x)的圖象觀察這三個(gè)圖象的共同特征圖4(2)函數(shù)圖象上任意點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)與函數(shù)有什么關(guān)系?(3)你是怎樣理解函數(shù)圖象最高點(diǎn)的?(4)問題(1)中,在函數(shù)yf(x)的圖象上任取一點(diǎn)A(x,y),如圖5所示,設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x0,y0),誰能用數(shù)學(xué)符號(hào)解釋:函數(shù)yf(x)的圖象有最高點(diǎn)C?圖5(5)在數(shù)學(xué)中,形如問題(1)中函數(shù)yf(x)的圖象上最高點(diǎn)C的縱坐標(biāo)就稱為函數(shù)yf(x)的最大值誰能給出函數(shù)最大值的定義?(6)函數(shù)最大值的定義中f(x)M即f(x)f(x0),這個(gè)不等式反映了函數(shù)yf(x)的函數(shù)值具有什么特點(diǎn)?其圖象又具有什么特征?(7)函數(shù)最大值的幾何意義是什么?(8)函數(shù)y2x1,x(1,)有最大值嗎?為什么?(9)點(diǎn)(1,3)是不是函數(shù)y2x1,x(1,)的最高點(diǎn)?(10)由問題(9)你發(fā)現(xiàn)了什么值得注意的地方?討論結(jié)果:(1)函數(shù)yx22x的圖象有最高點(diǎn)A,函數(shù)y2x1,x1,)的圖象有最高點(diǎn)B,函數(shù)yf(x)的圖象有最高點(diǎn)C.也就是說,這三個(gè)函數(shù)的圖象的共同特征是都有最高點(diǎn)(2)函數(shù)圖象上任意點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)的意義:橫坐標(biāo)x是自變量的取值,縱坐標(biāo)y是自變量為x時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的大小(3)圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是所有函數(shù)值中的最大值,即函數(shù)的最大值(4)由于點(diǎn)C是函數(shù)yf(x)圖象上的最高點(diǎn),則點(diǎn)A在點(diǎn)C的下方,即對(duì)定義域內(nèi)任意x,都有yy0,即f(x)f(x0),也就是對(duì)函數(shù)yf(x)的定義域內(nèi)任意x,均有f(x)f(x0)成立(5)一般地,設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿足:對(duì)于任意的xI,都有f(x)M;存在x0I,使得f(x0)M.那么,稱M是函數(shù)yf(x)的最大值(6)f(x)M反映了函數(shù)yf(x)的所有函數(shù)值不大于實(shí)數(shù)M;這個(gè)函數(shù)的特征是圖象有最高點(diǎn),并且最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是M.(7)函數(shù)圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)(8)函數(shù)y2x1,x(1,)沒有最大值,因?yàn)楹瘮?shù)y2x1,x(1,)的圖象沒有最高點(diǎn)(9)不是,因?yàn)樵摵瘮?shù)的定義域中沒有1.(10)討論函數(shù)的最大值,要堅(jiān)持定義域優(yōu)先的原則;函數(shù)圖象上有最高點(diǎn)時(shí),這個(gè)函數(shù)才存在最大值,最高點(diǎn)必須是函數(shù)圖象上的點(diǎn)(1)類比函數(shù)的最大值,請(qǐng)你給出函數(shù)的最小值的定義及其幾何意義.(2)類比上面問題(9),你認(rèn)為討論函數(shù)最小值應(yīng)注意什么?活動(dòng):讓學(xué)生思考函數(shù)最大值的定義,利用定義來類比定義最高點(diǎn)類比最低點(diǎn),不等號(hào)“”類比不等號(hào)“”函數(shù)的最大值和最小值統(tǒng)稱為函數(shù)的最值討論結(jié)果:(1)函數(shù)最小值的定義是:一般地,設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿足:對(duì)于任意的xI,都有f(x)M;存在x0I,使得f(x0)M.那么,稱M是函數(shù)yf(x)的最小值函數(shù)最小值的幾何意義:函數(shù)圖象上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)(2)討論函數(shù)的最小值,也要堅(jiān)持定義域優(yōu)先的原則;函數(shù)圖象上有最低點(diǎn)時(shí),這個(gè)函數(shù)才存在最小值,最低點(diǎn)必須是函數(shù)圖象上的點(diǎn)例1 求函數(shù)y在區(qū)間2,6上的最大值和最小值活動(dòng):先思考或討論,再到黑板上書寫當(dāng)學(xué)生沒有證明思路時(shí),才提示:圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是函數(shù)的最大值,圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是函數(shù)的最小值根據(jù)函數(shù)的圖象觀察其單調(diào)性,再利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明,最后利用函數(shù)的單調(diào)性求得最大值和最小值利用變換法畫出函數(shù)y的圖象,只取在區(qū)間2,6上的部分觀察可得函數(shù)的圖象是上升的解:設(shè)2x1x26,則有f(x1)f(x2).2x10,(x11)(x21)0.f(x1)f(x2),即函數(shù)y在區(qū)間2,6上是減函數(shù)當(dāng)x2時(shí),函數(shù)y在區(qū)間2,6上取得最大值f(2)2;當(dāng)x6時(shí),函數(shù)y在區(qū)間2,6上取得最小值f(6).變式訓(xùn)練1求函數(shù)yx22x(x3,2)的最大值和最小值解:最大值是f(3)15,最小值是f(1)1.2函數(shù)f(x)x42x21的最小值是_解析:(換元法)轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最小值設(shè)x2t,yt22t1(t0),又當(dāng)t0時(shí),函數(shù)yt22t1是增函數(shù),則當(dāng)t0時(shí),函數(shù)yt22t1(t0)取最小值1.所以函數(shù)f(x)x42x21的最小值是1.答案:13畫出函數(shù)yx22|x|3的圖象,指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最大值 分析:函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,先畫出y軸右側(cè)的圖象,再對(duì)稱到y(tǒng)軸左側(cè)合起來得函數(shù)的圖象;借助圖象,根據(jù)單調(diào)性的幾何意義寫出單調(diào)區(qū)間解:函數(shù)圖象如圖6所示圖6由圖象得,函數(shù)的圖象在區(qū)間(,1)和0,1上是上升的,在1,0和(1,)上是下降的,最高點(diǎn)是(1,4), 故函數(shù)在(,1),0,1上是增函數(shù);函數(shù)在1,0,(1,)上是減函數(shù),最大值是4. 點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和最值,以及最值的求法求函數(shù)的最值時(shí),先畫函數(shù)的圖象,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,再用定義法證明,最后借助單調(diào)性寫出最值,這種方法適用于做解答題單調(diào)法求函數(shù)最值:先判斷函數(shù)的單調(diào)性,再利用其單調(diào)性求最值;常用到下面的結(jié)論:如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b上單調(diào)遞增,在區(qū)間b,c)上單調(diào)遞減,則函數(shù)yf(x)在xb處有最大值f(b);如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b上單調(diào)遞減,在區(qū)間b,c)上單調(diào)遞增,則函數(shù)yf(x)在xb處有最小值f(b).例2“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一制造時(shí)一般是期望在它達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)爆裂如果煙花距地面的高度h m與時(shí)間t s之間的關(guān)系為h(t)4.9t214.7t18,那么煙花沖出后什么時(shí)候是它爆裂的最佳時(shí)刻?這時(shí)距地面的高度是多少?(精確到1 m)活動(dòng):可以指定一位學(xué)生到黑板上書寫,教師在下面巡視,并及時(shí)幫助做錯(cuò)的學(xué)生改錯(cuò)并對(duì)學(xué)生的板書及時(shí)評(píng)價(jià)將實(shí)際問題最終轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值,畫出函數(shù)的圖象,利用函數(shù)的圖象求出最大值“煙花沖出后什么時(shí)候是它爆裂的最佳時(shí)刻”就是當(dāng)t取什么值時(shí)函數(shù)h(t)4.9t214.7t18取得最大值;“這時(shí)距地面的高度是多少(精確到1 m)”就是函數(shù)h(t)4.9t214.7t18的最大值;轉(zhuǎn)化為求函數(shù)h(t)4.9t214.7t18的最大值及此時(shí)自變量t的值解:作出函數(shù)h(t)4.9t214.7t18的圖象,如圖7所示,圖7顯然,函數(shù)圖象的頂點(diǎn)就是煙花上升的最高點(diǎn),頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是煙花爆裂的最佳時(shí)刻,縱坐標(biāo)就是這時(shí)距地面的高度由二次函數(shù)的知識(shí),對(duì)于函數(shù)h(t)4.9t214.7t18,我們有:當(dāng)t1.5時(shí),函數(shù)有最大值h29.即煙花沖出后1.5 s是它爆裂的最佳時(shí)刻,這時(shí)距地面的高度約是29 m.點(diǎn)評(píng):本題主要考查二次函數(shù)的最值問題,以及應(yīng)用二次函數(shù)解決實(shí)際問題的能力解應(yīng)用題的步驟是:審清題意讀懂題;將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決;歸納結(jié)論注意:要堅(jiān)持定義域優(yōu)先的原則;求二次函數(shù)的最值要借助于圖象即數(shù)形結(jié)合變式訓(xùn)練1把長(zhǎng)為12厘米的細(xì)鐵絲截成兩段,各自圍成一個(gè)正三角形,那么這兩個(gè)正三角形面積之和的最小值是()A. cm2B4 cm2C3 cm2D2 cm2 解析:設(shè)一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)為x cm,則另一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)為(4x) cm,兩個(gè)三角形的面積和為S,則Sx2(4x)2(x2)222.當(dāng)x2時(shí),S取最小值2 cm2.故選D.答案:D2某超市為了獲取最大利潤(rùn)做了一番試驗(yàn),若將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按10元一件的價(jià)格出售時(shí),每天可銷售60件,現(xiàn)在采用提高銷售價(jià)格減少進(jìn)貨量的辦法增加利潤(rùn),已知這種商品每漲1元,其銷售量就要減少10件,問該商品售價(jià)定為多少時(shí)才能賺取最大利潤(rùn),并求出最大利潤(rùn)分析:設(shè)未知數(shù),引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào),建立函數(shù)關(guān)系式,再研究函數(shù)關(guān)系式的定義域,并結(jié)合問題的實(shí)際意義作出回答利潤(rùn)(售價(jià)進(jìn)價(jià))銷售量解:設(shè)商品售價(jià)定為x元時(shí),利潤(rùn)為y元,則y(x8)60(x10)1010(x12)21610(x12)2160(10x16),當(dāng)且僅當(dāng)x12時(shí),y有最大值160元,即售價(jià)定為12元時(shí)可獲最大利潤(rùn)160元.課本本節(jié)練習(xí)5.補(bǔ)充練習(xí)某廠xx年擬舉行促銷活動(dòng),經(jīng)調(diào)查測(cè)算,該廠產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與去年促銷費(fèi)m(萬元)(m0)滿足x3.已知xx年生產(chǎn)的固定投入為8萬元,每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元,廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金)(1)將xx年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬元表示為年促銷費(fèi)m(萬元)的函數(shù);(2)求xx年該產(chǎn)品利潤(rùn)的最大值,此時(shí)促銷費(fèi)為多少萬元?分析:(1)年利潤(rùn)銷售價(jià)格年銷售量固定投入促銷費(fèi)再投入,銷售價(jià)格1.5每件產(chǎn)品平均成本;(2)利用單調(diào)法求函數(shù)的最大值解:(1)每件產(chǎn)品的成本為元,故xx年的利潤(rùn)為y1.5x(816xm)48xm48(3)m28m(萬元)(m0)(2)可以證明當(dāng)0m3時(shí),函數(shù)y28m是增函數(shù),當(dāng)m3時(shí),函數(shù)y28m是減函數(shù),所以當(dāng)m3時(shí),函數(shù)y28m取最大值21萬元問題:求函數(shù)y的最大值解:(方法一)利用計(jì)算機(jī)軟件畫出函數(shù)的圖象,如圖8所示,故圖象最高點(diǎn)是(,)圖8則函數(shù)y的最大值是.(方法二)函數(shù)的定義域是R,可以證明當(dāng)x時(shí),函數(shù)y是增函數(shù);當(dāng)x時(shí),函數(shù)y是減函數(shù)則當(dāng)x時(shí),函數(shù)y取最大值,即函數(shù)y的最大值是.(方法三)函數(shù)的定義域是R,由y,得yx2yxy10.xR,關(guān)于x的方程yx2yxy10必有實(shí)數(shù)根當(dāng)y0時(shí),關(guān)于x的方程yx2yxy10無實(shí)數(shù)根,即y0不屬于函數(shù)的值域當(dāng)y0時(shí),則關(guān)于x的方程yx2yxy10是一元二次方程,則有(y)24y(y1)0.0y.函數(shù)y的最大值是.點(diǎn)評(píng):方法三稱為判別式法,形如函數(shù)y(d0),當(dāng)函數(shù)的定義域是R(此時(shí)e24df0時(shí),函數(shù)ykx的最大值為f(b)kb,最小值為f(a)ka;當(dāng)k0)上存在最值,當(dāng)k0時(shí),函數(shù)y的最大值為f(a),最小值為f(b);當(dāng)k0時(shí),函數(shù)ykxb的最大值為f(n)knb,最小值為f(m)kmb;當(dāng)k0時(shí),函數(shù)yax2bxc在定義域R上有最小值f(),無最大值;當(dāng)a0時(shí),函數(shù)yax2bxc在定義域R上有最大值f(),無最小值二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容之一二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)在閉區(qū)間p,q上的最值可能出現(xiàn)以下三種情況:(1)若p,則f(x)在區(qū)間p,q上是增函數(shù),則f(x)minf(p),f(x)maxf(q)(2)若pq,則f(x)minf(),此時(shí)f(x)的最大值視對(duì)稱軸與區(qū)間端點(diǎn)的遠(yuǎn)近而定:當(dāng)p時(shí),則f(x)maxf(q);當(dāng)時(shí),則f(x)maxf(p)f(q);當(dāng)q時(shí),則f(x)maxf(p)(3)若q,則f(x)在區(qū)間p,q上是減函數(shù),則f(x)minf(q),f(x)maxf(p)由此可見,當(dāng)p,q時(shí),二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)在閉區(qū)間p,q上的最大值是f(p)和f(q)中的最大值,最小值是f();當(dāng)p,q時(shí),二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)在閉區(qū)間p,q上的最大值是f(p)和f(q)中的最大值,最小值是f(p)和f(q)中的最小值- 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