2019-2020年高中數(shù)學(xué)特征值與特征向量教學(xué)案蘇教版選修4.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué)特征值與特征向量教學(xué)案蘇教版選修41設(shè)矩陣A，對于實數(shù)，若存在一個非零向量使A，則稱為A的一個特征值，而稱為A的屬于特征值的一個特征向量2設(shè)是矩陣A的屬于特征值的一個特征向量，則有：(1)k(k0)也是矩陣A的屬于特征值的特征向量(2)Ann(nN*)3多項式f()稱為矩陣A的特征多項式，方程f()0稱為矩陣A的特征方程4.給定矩陣A，求A的特征向量和特征值一般步驟為：(1)首先求出特征方程f()0的兩個根1、2即為矩陣A的特征值(2)分別將1、2代入齊次線性方程組分別求出與之相應(yīng)的兩組非零解1、2即為相應(yīng)的特征向量特征值、特征向量的概念例1給定矩陣M，N及向量e1，e2.求證：(1)M和N互為逆矩陣；(2)e1和e2都是M的特征向量思路點撥(1)只需證明MNNME即可；(2)只需證明Me1e1，Me2e2即可精解詳析(1)因為MN ，NM ，所以M和N互為逆矩陣(2)向量e1 在M的作用下，其象與其保持共線，即 ，向量e2在M的作用下，其象與其保持共線，即 ，所以e1和e2都是M的特征向量1設(shè)A是可逆的二階矩陣，求證：若是A的特征值，則是A1的特征值證明：A，A1(A)A1()，A1()(A1)，A1.是A1的特征值2若向量是矩陣的一個特征向量，求m的值解：由題意知是齊次方程組的一組解，即解之得故m的值為12.特征值和特征向量的求法例2求矩陣A的特征值與相應(yīng)特征值的一個特征向量思路點撥先求特征多項式，令特征多項式為0求出特征值，再求相應(yīng)特征向量精解詳析矩陣A的特征多項式為221.令210，解得矩陣A的特征值為11，21.當(dāng)11時，代入齊次線性方程組得即3xy0，令x1，則y.所以X1是矩陣A的屬于特征值11的一個特征向量當(dāng)21時，代入齊次線性方程組得即xy0，令x3，則y.所以X2是矩陣A的屬于特征值21的一個特征向量已知矩陣A，求它的特征值和特征向量可以分成以下兩步：(1)求出矩陣A的特征多項式等于零的全部根，它們就是矩陣A的全部特征值(2)對于每個特征值0，解齊次線性方程組，其所有非零解就是屬于0的特征向量3已知矩陣A，求A的特征值及其對應(yīng)的所有特征向量解：由f(x)(3)(2)2025140得矩陣A的特征值為17，22.當(dāng)17時，由方程組得1.故矩陣A屬于特征值7的所有特征向量為(k0)當(dāng)x22時，由方程組得2.故矩陣A屬于特征值2的所有特征向量為(k0)4矩陣A的特征值為1,2，求m，n的值解：f()(3)(n)2m2(3n)3n2m，據(jù)題意可知方程(關(guān)于的)2(3n)3n2m0的兩個根為1,2；由特征值和特征向量求矩陣?yán)?已知二階矩陣A的屬于特征值1的一個特征向量為，屬于特征值3的一個特征向量為，求矩陣A.思路點撥利用矩陣，特征向量及特征值滿足的關(guān)系式構(gòu)建方程組，通過解方程組求得矩陣的所有元素即可精解詳析設(shè)A，由題意知 ， ，即解得A.解此類問題可利用待定系數(shù)法，首先設(shè)出待求矩陣的元素，再利用矩陣A、特征向量及特征值間滿足A構(gòu)建方程組，最后通過解方程組求出矩陣的所有元素5已知矩陣A有特征值18及對應(yīng)的特征向量1，并有特征值22及對應(yīng)的特征向量2，試確定矩陣A.解：不妨設(shè)矩陣A，a，b，c，d均為實數(shù)由題意則有 8及 2，即解得即矩陣A.6給定的矩陣A，B.(1)求A的特征值1，2及對應(yīng)的特征向量1，2；(2)求A4B.解：(1)設(shè)A的一個特征值為，由題意知0，即(2)(3)0，12，23.當(dāng)12時，由 2，得A屬于特征值2的特征向量1；當(dāng)23時，由 3，得A屬于特征值3的特征向量2.(2)由于B12，故A4BA4(12)241342161812.1已知矩陣M的一個特征值為3，求其另一個特征值解：矩陣M的特征多項式為f()(1)(x)4.由特征值為3，可解得x1.因為(1)(1)40，得21.所以矩陣M的另一個特征值為1.2設(shè)二階矩陣M，其中m，n是實數(shù)且向量是矩陣M的屬于特征值1的一個特征向量，試找出適合條件的一個矩陣M.解：由題意知 ，故.2mn1，取m0，n1，則M為適合條件的一個矩陣3已知矩陣M，向量，求M4.解：矩陣M的特征值滿足方程(8)(3)5(6)2560，解得矩陣M的兩個特征值12，23.分別將12，23代入方程組 ，可求得它們對應(yīng)的特征向量分別可取為1，2.顯然1，2不共線，又因為2122，因此，M4M4(122)M412(M42)12224234.4對任意實數(shù)x，矩陣總存在特征向量，求m的取值范圍解：由題意知，對任意實數(shù)x，矩陣總存在特征向量，設(shè)為矩陣的一個特征值，則f()(x)(3)(2m)(m3)令f()0，由題意知(x)(3)(2m)(m3)0對任意實數(shù)x恒成立，(3x)212x4(m2)(3m)0恒成立，即(x3)24(m2)(3m)0恒成立由x的任意性可知4(m2)(3m)0恒成立，2m3.5已知二階矩陣M有兩個特征值：18，22，其中1對應(yīng)的一個特征向量e1，2對應(yīng)的一個特征向量e2，求M.解：設(shè)M，則 8，且 2.且a6，b2，c4，d4.M.6已知矩陣M，向量，.(1)求向量23在矩陣M表示的變換作用下的象；(2)試問向量是矩陣M的特征向量嗎？為什么？解：(1)因為2323，所以M(23) ，所以向量23在矩陣 M表示的變換作用下的象為.(2)向量不是矩陣M的特征向量理由如下：M ，向量與向量不共線，所以向量不是矩陣M的特征向量7已知矩陣A對應(yīng)的變換是先將某平面圖形上的點的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再將所得圖形繞原點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90.(1)求矩陣A及A的逆矩陣B；(2)已知矩陣M，求M的特征值和特征向量；(3)若在矩陣B的作用下變換為，求M4.解：(1)A .BA1.(2)設(shè)M的特征值為，則由條件，得0，即(3)(4)62760.解得11，26.當(dāng)11時，由 ，得M屬于1的特征向量為1；當(dāng)26時，由 6，得M屬于6的特征向量為2.(3)由B，得 ，設(shè)m1n2mn，則由解得所以122.所以M4M4(122)M412M42264.8已知矩陣A的特征多項式為f()2.(1)求a，d的值；(2)若，且A，求的值解：(1)由題意，得f()(a)(d)2(ad)ad2，即所以或(2)由(1)，得A，于是由 ，得，或A，于是由 ，得1.故若A，則；若A，則1.