2019-2020年高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料《直線和圓圓錐曲線》.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料直線和圓,圓錐曲線一直線與圓1,兩點間的距離公式:設(shè),則;2,線段的定比分點坐標(biāo)公式:設(shè),點分的比為,則 ,3,直線方程的各種形式(1),點斜式:; (2),斜截式:; (3),兩點式:(4),截距式: ;(5),一般式:不同為零);(6)參數(shù)方程:為參數(shù),為傾斜角,表示點與之間的距離)4,兩直線的位置關(guān)系設(shè)(或).則(1),且(或且);(2),(或).5,兩直線的到角公式與夾角公式:(1),到角公式:到的到角為,則,();(2),夾角公式:與的夾角為,則,().6,點到直線的距離:.7,圓的方程(1),標(biāo)準(zhǔn)方程:,其中為圓心坐標(biāo),R為圓半徑;(2),一般方程:,其中,圓心為,半徑為.(3),參數(shù)方程: ,其中圓心為,半徑為R.二圓錐曲線橢圓雙曲線拋物線定義與兩個定點的距離的和等于常數(shù)與兩個定點的距離的差的絕對值等于常數(shù)與一個定點和一條定直線的距離相等標(biāo)準(zhǔn)方程(或),(或)(或)參數(shù)方程(或)(或)(或)焦點或或或正數(shù)a,b,c,p的關(guān)系()()離心率準(zhǔn)線(或)(或)(或)漸近線(或)焦半徑(或)(,),(點在左或下支)(或)統(tǒng)一定義到定點的距離與到定直線的距離之比等于定值的點的集合,(注:焦點要與對應(yīng)準(zhǔn)線配對使用)三解題思想與方法導(dǎo)引.1,函數(shù)與方程思想 2,數(shù)形結(jié)合思想. 3,分類討論思想. 4,參數(shù)法. 5,整體處理例題講解1在平面直角坐標(biāo)系中,方程為相異正數(shù)),所表示的曲線是( )2平面上整點(坐標(biāo)為整數(shù)的點)到直線的距離中的最小值是( )A, B, C, D,3過拋物線的焦點F作傾斜角為的直線,若此直線與拋物線交于A,B兩點,弦AB的中垂線與軸交于P點,則線段PF的長等于( ) A, B, C, D,4若橢圓上一點P到左焦點的距離等于它到右焦點距離的2倍,則P點坐標(biāo)為( ) A, B, C, D,5過橢圓中心的弦AB,是右焦點,則的最大面積為( ) A, B, C, D,6已知P為雙曲線上的任意一點,為焦點,若,則( )A, B, C, D,7給定點,已知直線與線段PQ(包括P,Q在內(nèi))有公共點,則的取值范圍是 .8過定點作直線交軸于Q點,過Q點作交軸于T點, 延長TQ至P點,使,則P點的軌跡方程是 .9已知橢圓與直線交于M,N兩點,且,(為原點),當(dāng)橢圓的離心率時,橢圓長軸長的取值范圍是 .10已知是橢圓的兩個焦點,M是橢圓上一點,M到軸的距離為 ,且是和的等比中項,則的值等于 .11已知點A為雙曲線的左頂點,點B和點C在雙曲線的右分支上,是等邊三角形,則的面積等于 .12若橢圓()和雙曲線有相同的焦點 ,P為兩條曲線的一個交點,則的值為 .13設(shè)橢圓有一個內(nèi)接,射線OP與軸正向成角,直線AP,BP的斜率適合條件.(1),求證:過A,B的直線的斜率是定值;(2),求面積的最大值.14已知為常數(shù)且),動點P,Q分別在射線OA,OB上使得 的面積恒為36.設(shè)的重心為G,點M在射線OG上,且滿足.(1),求的最小值;(2),求動點M的軌跡方程.15過拋物線(為不等于2的素數(shù))的焦點F,作與軸不垂直的直線交拋物線于M,N兩點,線段MN的垂直平分線交MN于P點,交軸于Q點.(1),求PQ中點R的軌跡L的方程;(2),證明:L上有無窮多個整點,但L上任意整點到原點的距離均不是整數(shù).課后練習(xí)1已知點A為雙曲線的左頂點,點B和點C在雙曲線的右支上,是等邊三角形,則的面積是(A) (B) (C) (D)2平面上整點(縱、橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點)到直線的距離中的最小值是(A) (B) (C) (D)3若實數(shù)x, y滿足(x + 5)2+(y 12)2=142,則x2+y2的最小值為 (A) 2 (B) 1 (C) (D) 4直線橢圓相交于A,B兩點,該圓上點P,使得PAB面積等于3,這樣的點P共有(A) 1個 (B) 2個 (C) 3個 (D) 4個5設(shè)a,bR,ab0,那么直線axyb0和曲線bx2ay2ab的圖形是 yyyyxxxx A B C D 6過拋物線y28(x2)的焦點F作傾斜角為60o的直線,若此直線與拋物線交于A、B兩點,弦AB的中垂線與x軸交于P點,則線段PF的長等于A B CD7方程表示的曲線是A. 焦點在x軸上的橢圓B. 焦點在x軸上的雙曲線C. 焦點在y軸上的橢圓D. 焦點在y軸上的雙曲線8在橢圓中,記左焦點為F,右頂點為A,短軸上方的端點為B。若該橢圓的離心率是,則= 。9設(shè)F1,F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點,P是橢圓上的點,且|PF1| : |PF2|2 : 1,則三角形PF1F2的面積等于_10在平面直角坐標(biāo)系XOY中,給定兩點M(1,2)和N(1,4),點P在X軸上移動,當(dāng)取最大值時,點P的橫坐標(biāo)為_。11若正方形ABCD的一條邊在直線上,另外兩個頂點在拋物線上.則該正方形面積的最小值為 .12已知:和:。試問:當(dāng)且僅當(dāng)a,b滿足什么條件時,對任意一點P,均存在以P為頂點、與外切、與內(nèi)接的平行四邊形?并證明你的結(jié)論。13 設(shè)曲線C1:(a為正常數(shù))與C2:y2=2(x+m)在x軸上方公有一個公共點P。(1)實數(shù)m的取值范圍(用a表示);(2)O為原點,若C1與x軸的負(fù)半軸交于點A,當(dāng)0a時,試求OAP的面積的最大值(用a表示)。14已知點和拋物線上兩點使得,求點的縱坐標(biāo)的取值范圍15一張紙上畫有半徑為R的圓O和圓內(nèi)一定點A,且OAa. 拆疊紙片,使圓周上某一點A/ 剛好與A點重合,這樣的每一種拆法,都留下一條直線折痕,當(dāng)A/取遍圓周上所有點時,求所有折痕所在直線上點的集合16(04,14)在平面直角坐標(biāo)系xoy中,給定三點,點P到直線BC的距離是該點到直線AB,AC距離的等比中項。()求點P的軌跡方程;()若直線L經(jīng)過的內(nèi)心(設(shè)為D),且與P點的軌跡恰好有3個公共點,求L的斜率k的取值范圍。17過拋物線上的一點A(1,1)作拋物線的切線,分別交軸于D,交軸于B.點C在拋物線上,點E在線段AC上,滿足;點F在線段BC上,滿足,且,線段CD與EF交于點P.當(dāng)點C在拋物線上移動時,求點P的軌跡方程.課后練習(xí)答案1.C 2.B 3.B 4.B 5.B 6.A 7.C 8.90 9.10.設(shè)橢圓的長軸、短軸的長及焦矩分別為2a、2b、2c,則由其方程知a3,b2,c,故,|PF1|PF2|2a6,又已知PF1|:|PF2|2:1,故可得|PFl|4,|PF2|2在PFlF2中,三邊之長分別為2,4,2,而2242(2)2,可見PFlF2是直角三角形,且兩直角邊的長為2和4,故PFlF2的面積411. 解:經(jīng)過M、N兩點的圓的圓心在線段MN的垂直平分線y=3x上,設(shè)圓心為S(a,3a),則圓S的方程為:對于定長的弦在優(yōu)弧上所對的圓周角會隨著圓的半徑減小而角度增大,所以,當(dāng)取最大值時,經(jīng)過M,N,P三點的圓S必與X軸相切于點P,即圓S的方程中的a值必須滿足解得 a=1或a=7。即對應(yīng)的切點分別為,而過點M,N,的圓的半徑大于過點M,N,P的圓的半徑,所以,故點P(1,0)為所求,所以點P的橫坐標(biāo)為1。12.解:設(shè)正方形的邊AB在直線上,而位于拋物線上的兩個頂點坐標(biāo)為、,則CD所在直線的方程將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立,得令正方形邊長為則在上任取一點(6,,5),它到直線的距離為.、聯(lián)立解得或13.利用極坐標(biāo)解決:以坐標(biāo)原點為極點,x軸為極軸建立極坐標(biāo)系,則橢圓的極坐標(biāo)方程為-(1)顯知此平行四邊形ABCD必為菱形,設(shè)A,則B代入(1)式相加:由于該菱形必與單位圓相切,故原點到AB的距離為1,從而,14. 解:(1)由 消去y得: 設(shè),問題(1)化為方程在x(a,a)上有唯一解或等根 只需討論以下三種情況: 10得:,此時xpa2,當(dāng)且僅當(dāng)aa2a,即0a1時適合; 2f (a)f (a)0,當(dāng)且僅當(dāng)ama; 3f (a)0得ma,此時xpa2a2,當(dāng)且僅當(dāng)aa2a2a,即0a1時適合 f (a)0得ma,此時xpa2a2,由于a2a2a,從而ma 綜上可知,當(dāng)0a1時,或ama; 當(dāng)a1時,ama (2)OAP的面積 0a,故ama時,0a, 由唯一性得 顯然當(dāng)ma時,xp取值最小由于xp0,從而yp取值最大,此時, 當(dāng)時,xpa2,yp,此時 下面比較與的大小: 令,得 故當(dāng)0a時,此時 當(dāng)時,此時 15.解:設(shè)點坐標(biāo)為,點坐標(biāo)為顯然,故由于,所以從而,消去,注意到得:由解得:或當(dāng)時,點的坐標(biāo)為;當(dāng)時,點的坐標(biāo)為,均滿足是題意故點的縱坐標(biāo)的取值范圍是或16.解:如圖,以O(shè)為原點,OA所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系,則有A(a,0)設(shè)折疊時,O上點A/()與點A重合,而折痕為直線MN,則 MN為線段AA/的中垂線設(shè)P(x,y)為MN上任一點,則PA/PA5分即10分 可得:1(此不等式也可直接由柯西不等式得到)15分平方后可化為1,即所求點的集合為橢圓圓1外(含邊界)的部分20分17. 解:()直線AB、AC、BC的方程依次為。點到AB、AC、BC的距離依次為。依設(shè),即,化簡得點P的軌跡方程為圓S: ()由前知,點P的軌跡包含兩部分圓S: 與雙曲線T:因為B(1,0)和C(1,0)是適合題設(shè)條件的點,所以點B和點C在點P的軌跡上,且點P的軌跡曲線S與T的公共點只有B、C兩點。的內(nèi)心D也是適合題設(shè)條件的點,由,解得,且知它在圓S上。直線L經(jīng)過D,且與點P的軌跡有3個公共點,所以,L的斜率存在,設(shè)L的方程為(i)當(dāng)k=0時,L與圓S相切,有唯一的公共點D;此時,直線平行于x軸,表明L與雙曲線有不同于D的兩個公共點,所以L恰好與點P的軌跡有3個公共點。.10分(ii)當(dāng)時,L與圓S有兩個不同的交點。這時,L與點P的軌跡恰有3個公共點只能有兩種情況:情況1:直線L經(jīng)過點B或點C,此時L的斜率,直線L的方程為。代入方程得,解得。表明直線BD與曲線T有2個交點B、E;直線CD與曲線T有2個交點C、F。故當(dāng)時,L恰好與點P的軌跡有3個公共點。情況2:直線L不經(jīng)過點B和C(即),因為L與S有兩個不同的交點,所以L與雙曲線T有且只有一個公共點。即方程組有且只有一組實數(shù)解,消去y并化簡得該方程有唯一實數(shù)解的充要條件是或解方程得,解方程得。綜合得直線L的斜率k的取值范圍是有限集。18.解一:過拋物線上點A的切線斜率為:切線AB的方程為的坐標(biāo)為是線段AB的中點. 設(shè)、,則由知,得EF所在直線方程為:化簡得當(dāng)時,直線CD的方程為:聯(lián)立、解得,消去,得P點軌跡方程為: 當(dāng)時,EF方程為:方程為:,聯(lián)立解得也在P點軌跡上.因C與A不能重合,所求軌跡方程為 解二:由解一知,AB的方程為故D是AB的中點. 令則因為CD為的中線,而是的重心. 設(shè)因點C異于A,則故重心P的坐標(biāo)為消去得故所求軌跡方程為 例題答案:1,D 令,得,令得,由此可見,曲線必過四個點:,從結(jié)構(gòu)特征看,方程表示的曲線是以這四點為頂點的四邊形,易知它是非正方形的菱形.2,B ,當(dāng)(可取)時, (其中為平面上任意整點).3,A 此拋物線的焦點與原點重合,得直線AB的方程為,因此A,B兩點的橫坐標(biāo)滿足方程:.由此求得弦AB中點的橫坐標(biāo),縱坐標(biāo),進(jìn)而求得其中垂線方程為,令,得P點的橫坐標(biāo),即PF=.4,C 設(shè),又橢圓的右準(zhǔn)線為,而,且,得,又,得,代入橢圓方程得.5,A (1)當(dāng)軸時,;(2)當(dāng)AB與軸不垂直時,設(shè)AB的方程為,由消去得.設(shè),則,.6,A 由,得,.7, 設(shè)線段PQ上任意一點且令,則=,故,由得,解得.8, 設(shè)直線的方程為,則Q點坐標(biāo)為,直線QT的方程為 ,所以T點坐標(biāo)為,從而P點坐標(biāo)為,設(shè)P的坐標(biāo)為,則,消去可得P點軌跡方程為.9, 由,可得 由得,即,將,代入得,即,因為,得,得,有,解得.10, 延長NM與橢圓的右準(zhǔn)線:相交于D,設(shè),則,因,得,又,得,故.11, 設(shè)點C在軸上方,由是等邊三角形得直線AB的斜率,又直線 過點,故方程為,代入雙曲線方程,得點B的坐標(biāo)為,同理可得C的坐標(biāo)為,所以的面積為.12, 不妨設(shè)P為第一象限的一點,則,.得,于是.13,:(1)證明:易知直線OP的方程為,將此方程代入,可求得交點P(1, .由題意可設(shè)直線PA,PB的方程分別為和,分別與橢圓方程聯(lián)立,可求得A,B的橫坐標(biāo)分別為,.從而,所以(定值).(2)不妨設(shè)直線AB的方程為,與橢圓方程聯(lián)立,并消去得+,有 =點P到戰(zhàn)線AB的距離,所以=,當(dāng)且僅當(dāng),即時,.14,解(1),以O(shè)為原點,的平分線為軸建立直角坐標(biāo)系,則可設(shè).于是的重心的坐標(biāo)為 , =.又已知得,于是,且當(dāng)時等號成立,故.(2),設(shè),則由得,=b),得,代入,并整理得,這就是所求動點M的軌跡方程.15,解:(1)拋物線的焦點為,設(shè)的直線方程為.由得,設(shè)M,N的橫坐標(biāo)分別為則,得,而,故PQ的斜率為,PQ的方程為.代入得.設(shè)動點R的坐標(biāo),則,因此,故PQ中點R的軌跡L的方程為.(2),顯然對任意非零整數(shù),點都是L上的整點,故L上有無窮多個整點.反設(shè)L上有一個整點(x,y)到原點的距離為整數(shù)m,不妨設(shè),則,因為是奇素數(shù),于是,從可推出,再由可推出,令,則有,由,得,于是,即,于是,得,故,有,但L上的點滿足,矛盾!因此,L上任意點到原點的距離不為整數(shù).- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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