2019-2020年高三數(shù)學第一輪復習單元講座 第40講 統(tǒng)計教案 新人教版.doc
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2019-2020年高三數(shù)學第一輪復習單元講座 第40講 統(tǒng)計教案 新人教版一課標要求:1統(tǒng)計案例通過典型案例,學習下列一些常見的統(tǒng)計方法,并能初步應(yīng)用這些方法解決一些實際問題。(1)通過對典型案例(如肺癌與吸煙有關(guān)嗎等)的探究,了解獨立性檢驗(只要求22列聯(lián)表)的基本思想、方法及初步應(yīng)用;(2)通過對典型案例(如質(zhì)量控制、新藥是否有效等)的探究,了解實際推斷原理和假設(shè)檢驗的基本思想、方法及初步應(yīng)用;(3)通過對典型案例(如昆蟲分類等)的探究,了解聚類分析的基本思想、方法及初步應(yīng)用;(4)通過對典型案例(如人的體重與身高的關(guān)系等)的探究,進一步了解回歸的基本思想、方法及初步應(yīng)用。2隨機變量的分布列(1)在對具體問題的分析中,理解取有限值的離散型隨機變量及其分布列的概念,認識分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性;(2)通過實例(如彩票抽獎),理解超幾何分布及其導出過程,并能進行簡單的應(yīng)用;(3)在具體情境中,了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念,理解n次獨立重復試驗的模型及二項分布,并能解決一些簡單的實際問題;(4)通過實例,理解取有限值的離散型隨機變量均值、方差的概念,能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差,并能解決一些實際問題;(5)通過實際問題,借助直觀(如實際問題的直方圖),認識正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義。二命題走向統(tǒng)計案例本部分內(nèi)容主要包括回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用和獨立性檢驗的基本思想和初步應(yīng)用,是教材新增內(nèi)容,估計高考中比重不會過大。預測07年的高考主要有以下幾種情況:(1)知識點將會考察回歸分析的基本思想方法,用獨立性檢驗判斷A與B間的關(guān)系,及22列聯(lián)表;(2)考查的形式主要以選擇、填空題為主,但不會涉及很多;隨機變量的分布列本部分內(nèi)容主要包括隨機變量的概念及其分布列,離散性隨機變量的均值和方差,正態(tài)分布,從近幾年的高考觀察,這部分內(nèi)容有加強命題的趨勢。預測07年的高考對本部分內(nèi)容的考查有以下情況:(1)考查的重點將以隨機變量及其分布列的概念和基本計算為主,題型以選擇、填空為主,有時也以解答題形式出現(xiàn);(2)預計07年高考還是實際情景為主,建立合適的分布列,通過均值和方差解釋實際問題;三要點精講統(tǒng)計案例1相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)是因果統(tǒng)計學家皮爾遜提出的,對于變量y與x的一組觀測值,把叫做變量y與x之間的樣本相關(guān)系數(shù),簡稱相關(guān)系數(shù),用它來衡量兩個變量之間的線性相關(guān)程度。相關(guān)系數(shù)的性質(zhì):1,且越接近1,相關(guān)程度越大;且越接近0,相關(guān)程度越小。顯著性水平:顯著性水平是統(tǒng)計假設(shè)檢驗中的一個概念,它是公認的小概率事件的概率值。它必須在每一次統(tǒng)計檢驗之前確定。顯著性檢驗:(相關(guān)系數(shù)檢驗的步驟)由顯著性水平和自由度查表得出臨界值,顯著性水平一般取0.01和0.05,自由度為,其中是數(shù)據(jù)的個數(shù) 在“相關(guān)系數(shù)檢驗的臨界值表”查出與顯著性水平0.05或0.01及自由度n-2(n為觀測值組數(shù))相應(yīng)的相關(guān)數(shù)臨界值r0 05或r0 01;例如時,0.050.754,0.010.874 求得的相關(guān)系數(shù)和臨界值0.05比較,若0.05,上面與是線性相關(guān)的,當r0.05或r0.01,認為線性關(guān)系不顯著。結(jié)論:討論若干變量是否線性相關(guān),必須先進行相關(guān)性檢驗,在確認線性相關(guān)后,再求回歸直線; 通過兩個變量是否線性相關(guān)的估計,實際上就是把非確定性問題轉(zhuǎn)化成確定性問題來研究; 我們研究的對象是兩個變量的線性相關(guān)關(guān)系,還可以研究多個變量的相關(guān)問題,這在今后的學習中會進一步學到。2卡方檢驗統(tǒng)計中有一個有用的(讀做“卡方”)統(tǒng)計量,它的表達式是:,經(jīng)過對統(tǒng)計量分布的研究,已經(jīng)得到了兩個臨界值:3.841與6.635。當根據(jù)具體的數(shù)據(jù)算出的k3.841時,有95%的把握說事件A與B有關(guān);當k6.635時,有99%的把握說事件A與B有關(guān);當k3.841時,認為事件A與B是無關(guān)的。隨機變量1隨機變量的概念如果隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示,那么這樣的變量叫做隨機變量。隨機變量常用希臘字母、等表示。對于隨機變量可能取的值,我們可以按一定次序一一列出,這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量。注:隨機變量是關(guān)于試驗結(jié)果的函數(shù),即每一個試驗結(jié)果對應(yīng)著一個實數(shù);隨機變量的線性組合=a+b(a、b是常數(shù))也是隨機變量。2離散性隨機變量的分布列一般地,設(shè)離散型隨機變量可能取得值為: X1,X2,X3,取每一個值Xi(I=1,2,)的概率為P(,則稱表X1X2xiPP1P2Pi為隨機變量的概率分布,簡稱的分布列。兩條基本性質(zhì):);P1+P2+=1。3獨立相互獨立事件:事件A(或B)是否發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響.這樣的兩個事件叫做相互獨立事件。獨立重復試驗:若n次重復試驗中,每次試驗結(jié)果的概率都不依賴于其他各次試驗的結(jié)果,則稱這n次試驗是獨立的。公式(1)兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率,等于每個事件發(fā)生的概率的積,即P(AB)=P(A)P(B);推廣:若事件A1,A2,An相互獨立,則P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(n)。(2)如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率為P,那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率:Pn(k)=CPk(1P)n-k。4隨機變量的均值和方差(1)隨機變量的均值;反映隨機變量取值的平均水平。(2)離散型隨機變量的方差:;反映隨機變量取值的穩(wěn)定與波動,集中與離散的程度?;拘再|(zhì):;。5幾種特殊的分布列(1)兩點分步兩點分布:對于一個隨機試驗,如果它的結(jié)果只有兩種情況,則我們可用隨機變量,來描述這個隨機試驗的結(jié)果。如果甲結(jié)果發(fā)生的概率為P,則乙結(jié)果發(fā)生的概率必定為1P,所以兩點分布的分布列為:10PP1p均值為E=p,方差為D=p(1p)。(2)超幾何分布重復進行獨立試驗,每次試驗只有成功、失敗兩種可能,如果每次試驗成功的概率為p,重復試驗直到出現(xiàn)一次成功為止,則需要的試驗次數(shù)是一個隨機變量,用表示,因此事件n表示“第n次試驗成功且前n1次試驗均失敗”。所以,其分布列為:12nPpp(1p)(3)二項分布如果我們設(shè)在每次試驗中成功的概率都為P,則在n次重復試驗中,試驗成功的次數(shù)是一個隨機變量,用來表示,則服從二項分布則在n次試驗中恰好成功k次的概率為:二項分布的分布列為:01nP記是n次獨立重復試驗?zāi)呈录l(fā)生的次數(shù),則B(n,p);其概率。期望E=np,方差D=npq。6正態(tài)分布正態(tài)分布密度函數(shù):,均值為E=,方差為。正態(tài)曲線具有以下性質(zhì):(1)曲線在x軸的上方,與x軸不相交。(2)曲線關(guān)于直線x =對稱。(3)曲線在x =時位于最高點。(4)當x 時,曲線下降。并且當曲線向左、右兩邊無限延伸時,以x軸為漸近線,向它無限靠近。(5)當一定時,曲線的形狀由確定。越大,曲線越“矮胖”,表示總體越分散;越小,曲線越“瘦高”,表示總體的分布越集中。從理論上講,服從正態(tài)分布的隨機變量的取值范圍是R,但實際上取區(qū)間(-3,+3)外的數(shù)值的可能性微乎其微,在實際問題中常常認為它是不會發(fā)生的。因此,往往認為它的取值是個有限區(qū)間,即區(qū)間(-3,+3),這即實用中的三倍標準差規(guī)則,也叫3規(guī)則。在企業(yè)管理中,經(jīng)常應(yīng)用這個規(guī)則進行產(chǎn)品質(zhì)量檢查和工藝生產(chǎn)過程控制。四典例解析題型1:線性相關(guān)性檢驗例1一個工廠在某年里每月產(chǎn)品的總成本y(萬元)與該月產(chǎn)量x(萬件)之間由如下一組數(shù)據(jù):x1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.871.982.07y2.252.372.402.552.642.752.923.033.143.263.363.501)畫出散點圖;2)檢驗相關(guān)系數(shù)r的顯著性水平;3)求月總成本y與月產(chǎn)量x之間的回歸直線方程. 解析:i123456789101112xi1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.871.982.07yi2.252.372.402.552.642.752.923.033.143.263.363.50xiyi2.432.2642.8563.2643.5904.074.6435.0905.6526.0966.6537.245=,=2.8475,=29.808,=99.2081,=54.2431)畫出散點圖:2)r=在“相關(guān)系數(shù)檢驗的臨界值表”查出與顯著性水平0.05及自由度12-2=10相應(yīng)的相關(guān)數(shù)臨界值r0.05=0.5766.635,所以我們有99%的把握說:50歲以上的人患慢性氣管炎與吸煙習慣有關(guān)。例4對196個接受心臟搭橋手術(shù)的病人和196個接受血管清障手術(shù)的病人進行了3年的跟蹤研究,調(diào)查他們是否又發(fā)作過心臟病,調(diào)查結(jié)果如下表所示:又發(fā)作過心臟病未發(fā)作過心臟病合計心臟搭橋手術(shù)39157196血管清障手術(shù)29167196合計68324392試根據(jù)上述數(shù)據(jù)比較這兩種手術(shù)對病人又發(fā)作心臟病的影響有沒有差別。解析:由公式,因為1.783.841,所以我們沒有理由說“心臟搭橋手術(shù)”與“又發(fā)作過心臟病”有關(guān),可以認為病人又發(fā)作與否與其做過任何手術(shù)無關(guān)。題型3:獨立的概念及應(yīng)用例5(xx,江蘇、河南,12分)有三種產(chǎn)品,合格率分別是0.90,0.95和0.95,各抽取一件進行檢驗。(1)求恰有一件不合格的概率;(2)求至少有兩件不合格的概率(精確到0.001);解析:設(shè)三種產(chǎn)品各抽取一件,抽到合格產(chǎn)品的事件分別為A、B和C,(1)P(A)=0.90,P(B)=P(C)=0.95,則P()=0.10,P()=P()=0.05。因為事件A、B、C相互獨立,恰有一件不合格的概率為:P(AB)+P(AC)+P(BC)=P(A)P(B)P()+P(A)P()P(C)+P()P(B)P(C)=20.900.950.05+0.100.950.950.176答:恰有一件不合格的概率為0.176.(2)解法一:至少有兩件不合格的概率為:P(A)+P(B)+P(C)+P()=0.900.050.05+20.100.050.95+0.100.050.050.012.答:至少有兩件不合格的概率為0.012.解法二:三件產(chǎn)品都合格的概率為:P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.900.950.950.812.由(1)知,恰有一件不合格的概率為0.176,所以,至少有兩件不合格的概率為1-P(ABC)+0.176=1-(0.812+0.176)=0.012.答:至少有兩件不合格的概率為0.012.點評:本題主要考查互斥事件有一個發(fā)生的概率和相互獨立事件概率的計算及運用數(shù)學知識解決問題的能力。例6(06北京卷)某公司招聘員工,指定三門考試課程,有兩種考試方案。方案一:考試三門課程,至少有兩門及格為考試通過;方案二:在三門課程中,隨機選取兩門,這兩門都及格為考試通過.假設(shè)某應(yīng)聘者對三門指定課程考試及格的概率分別是,且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響.()分別求該應(yīng)聘者用方案一和方案二時考試通過的概率;()試比較該應(yīng)聘者在上述兩種方案下考試通過的概率的大小.(說明理由)解析:設(shè)三門考試課程考試通過的事件分別為A,B,C,相應(yīng)的概率為a,b,c(1)考試三門課程,至少有兩門及格的事件可表示為ABACBCABC,設(shè)其概率為P1,則P1ab(1c)a(1b)c(1a)bcabcabacbc2abc設(shè)在三門課程中,隨機選取兩門,這兩門都及格的概率為P2,則P2abacbc(2)P1P2(abacbc2abc)(abacbc)abacbc2abc(abacbc3abc)ab(1-c)ac(1b)bc(1a)0P1P2即用方案一的概率大于用方案二的概率。點評:“至少、至多”問題的處理方式是分類到底,利用獨立、互斥或?qū)α⑹录M行轉(zhuǎn)化。題型4:隨機變量的分布列例7(06廣東卷)某運動員射擊一次所得環(huán)數(shù)的分布如下:6789100現(xiàn)進行兩次射擊,以該運動員兩次射擊中最高環(huán)數(shù)作為他的成績,記為.(I)求該運動員兩次都命中7環(huán)的概率(II)求的分布列解析:()求該運動員兩次都命中7環(huán)的概率為;()的可能取值為7、8、9、10;,分布列為:78910P0.040.210.390.36() 的數(shù)學希望為。點評:分布列不僅明確給出了()的概率,而且對任事件()發(fā)生的概率均可由分布列算出: 。例8設(shè)自動生產(chǎn)線在調(diào)整后出現(xiàn)廢品的概率為0.1,而且一旦出現(xiàn)廢品就要重新調(diào)整,求在兩次調(diào)整之間所生產(chǎn)的合格品的數(shù)目不小于5的概率。分析:如果用隨機變量表示兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的產(chǎn)品的個數(shù),而且我們知道一旦出現(xiàn)廢品就重新調(diào)整生產(chǎn)線,所以兩次調(diào)整之間所生產(chǎn)的合格品是連續(xù)出現(xiàn)的,那么隨機變量的取值就服從幾何分布,我們在解題時應(yīng)先求出的分布列。然后再計算事件“合格品數(shù)不小于5”即5的概率。解析:設(shè)隨機變量表示兩次調(diào)整之間生產(chǎn)線所生產(chǎn)的產(chǎn)品的個數(shù),則服從幾何分布,事件k就表示生產(chǎn)了k1件合格品,且第k件產(chǎn)品是廢品。容易求得:P(1)0.1,P(2)(10.1)0.10.09,寫成分布列的形式為:123456P0.10.090.810.07290.065610.059049題目中要求計算“所生產(chǎn)的合格品數(shù)不小于5”的概率,即P(5),因為事件5所包含的基本事件為6,7,n,所以有P(5)P(6)P(7)P(n)我們應(yīng)用分布列的性質(zhì)計算上式的值因為P(5)1P(5),所以P(5)1P(1)P(2)P(3)P(4)P(5)1(0.10.090.0810.07290.06561)0.49049,所以事件“兩次調(diào)整之間所生產(chǎn)的合格品數(shù)不小于5”的概率為0.49049點評:這是一道綜合例題,包括了分列的計算及分布列的應(yīng)用兩個步驟。該題對于我們鞏固所學知識,深入了解分布列有很大幫助。題型5:隨機變量的均值例9(1)(06福建卷)一個均勻小正方體的六個面中,三個面上標以數(shù)0,兩個面上標以數(shù)1,一個面上標以數(shù)2,將這個小正方體拋擲2次;則向上的數(shù)之積的數(shù)學期望是 ;(2)(xx上海文)利用下列盈利表中的數(shù)據(jù)進行決策,應(yīng)選擇的方案是_.解析:(1)一個均勻小正方體的6個面中,三個面上標以數(shù)0,兩個面上標以數(shù)1,一個面上標以數(shù)2。將這個小正方體拋擲2次,向上的數(shù)之積可能為=0,1,2,4,則, .點評:掌握離散性隨機變量均值的計算方法,以及計算的先后順序。(2)答案:A3解析:A1的數(shù)學期望:=0.2550+0.3065+0.4526=43.7A2的數(shù)學期望:=0.2570+0.3026+0.4516=32.5A3的數(shù)學期望:=0.25(20)+0.3052+0.4578=45.7A4的數(shù)學期望:=0.2598+0.3082+0.45(10)=44.6點評:本題考查概率與數(shù)學期望,考查學生識表的能力.對圖表的識別能力,是近年高考突出考查的熱點.圖表語言與其數(shù)學語言的相互轉(zhuǎn)換,應(yīng)成為數(shù)學學習的一個重點,應(yīng)引起高度重視。例10(06四川卷)設(shè)離散型隨機變量可能取的值為1,2,3,4。(1,2,3,4)。又的數(shù)學期望,則 ;解析:設(shè)離散性隨機變量可能取的值為,所以,即,又的數(shù)學期望,則,即,, 。點評:均值計算時要根據(jù)公式進行簡化計算,從而達到簡化運算的目的。題型6:隨機變量的方差例11甲、乙兩名工人加工同一種零件,兩人每天加工的零件數(shù)相等,所得次品數(shù)分別為、,和的分布列如下:012012PP試對這兩名工人的技術(shù)水平進行比較。分析:一是要比較兩名工人在加工零件數(shù)相等的條件下出次品數(shù)的平均值,即期望;二是要看出次品數(shù)的波動情況,即方差值的大小。解析:工人甲生產(chǎn)出次品數(shù)的期望和方差分別為:,;工人乙生產(chǎn)出次品數(shù)的期望和方差分別為:,;由E=E知,兩人出次品的平均數(shù)相同,技術(shù)水平相當,但DD,可見乙的技術(shù)比較穩(wěn)定。點評:期望僅體現(xiàn)了隨機變量取值的平均大小,但有時僅知道均值的大小還不夠。如果兩個隨機變量的均值相等,還要看隨機變量的取值如何在均值周圍變化,即計算方差。方差大說明隨機變量取值較分散,方差小說明取值分散性小或者取值比較集中、穩(wěn)定。 題型7:正態(tài)分布例12(06湖北卷)在某校舉行的數(shù)學競賽中,全體參賽學生的競賽成績近似服從正態(tài)分布。已知成績在90分以上(含90分)的學生有12名。()、試問此次參賽學生總數(shù)約為多少人?()、若該校計劃獎勵競賽成績排在前50名的學生,試問設(shè)獎的分數(shù)線約為多少分?可共查閱的(部分)標準正態(tài)分布表01234567891.21.31.41.92.02.10.88490.90320.91920.97130.97720.98210.88690.90490.92070.97190.97780.98260.8880.90660.92220.97260.97830.98300.89070.90820.92360.97320.97880.98340.89250.90990.92510.97380.97930.98380.89440.91150.92650.97440.97980.98420.89620.91310.92780.97500.98030.98460.89800.91470.92920.97560.98080.98500.89970.91620.93060.97620.98120.98540.90150.91770.93190.97670.98170.9857解析:()設(shè)參賽學生的分數(shù)為,因為N(70,100),由條件知,P(90)1P(90)1F(90)11(2)10.97720.228.這說明成績在90分以上(含90分)的學生人數(shù)約占全體參賽人數(shù)的2.28,因此,參賽總?cè)藬?shù)約為526(人)。()假定設(shè)獎的分數(shù)線為x分,則P(x)1P(x)1F(90)10.0951,即0.9049,查表得1.31,解得x83.1.故設(shè)獎得分數(shù)線約為83.1分。點評:本小題主要考查正態(tài)分布,對獨立事件的概念和標準正態(tài)分布的查閱,考查運用概率統(tǒng)計知識解決實際問題的能力。五思維總結(jié)1一般情況下,在尚未斷定兩個變量之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系的情況下,應(yīng)先進行相關(guān)性檢驗在確認其具有線性相關(guān)關(guān)系后,再求其回歸直線方程;由部分數(shù)據(jù)得到的回歸直線,可以對兩個變量間的線性相關(guān)關(guān)系進行估計,這實際上是將非確定性的相關(guān)關(guān)系問題轉(zhuǎn)化成確定性的函數(shù)關(guān)系問題進行研究由于回歸直線將部分觀測值所反映的規(guī)律性進行了延伸,它在情況預報、資料補充等方面有著廣泛的應(yīng)用。2對卡方統(tǒng)計量的表達式的由來,學生只需要了解,作為探究問題可以在課后學習。統(tǒng)計的基本思維模式是歸納的,它的特征之一是通過部分數(shù)據(jù)來推測全體數(shù)據(jù)的性質(zhì),因此,統(tǒng)計推斷可能是錯誤的,也就是說,我們從數(shù)據(jù)上體現(xiàn)的只是統(tǒng)計上的關(guān)系,而不是因果關(guān)系。- 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