2019-2020年高三數(shù)學經(jīng)典備課資料 集合的含義與表示（1）教案 新人教A版.doc

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2019-2020年高三數(shù)學經(jīng)典備課資料 集合的含義與表示（1）教案 新人教A版?zhèn)溥x例題【例1】判斷下列集合是有限集還是無限集,并用適當?shù)姆椒ū硎?(1)被3除余1的自然數(shù)組成的集合;(2)由所有小于20的既是奇數(shù)又是質數(shù)的正整數(shù)組成的集合;(3)二次函數(shù)y=x2+2x-10的圖象上的所有點組成的集合;(4)設a、b是非零實數(shù),求y=的所有值組成的集合.思路分析：本題主要考查集合的表示法和集合的分類.用列舉法與描述法表示集合時,一要分清元素是什么,二要明確元素滿足的條件是什么.解：(1)被3除余1的自然數(shù)有無數(shù)個,這些自然數(shù)可以表示為3n+1(nN).用描述法表示為x|x=3n+1,nN.(2)由題意得滿足條件的正整數(shù)有:3,5,7,11,13,17,19.則此集合中的元素有7個,用列舉法表示為3,5,7,11,13,17,19.(3)滿足條件的點有無數(shù)個,則此集合中有無數(shù)個元素,可用描述法來表示.通常用有序數(shù)對(x,y)表示點,那么滿足條件的點組成的集合表示為(x,y)|y=x2+2x-10.(4)當ab0時,則a0,b0或a0,b0,b0,則有y=3;若a0,b5的解集,這些都是集合.還有,我們學過的圓的定義是什么？(提問學生)圓是到一個定點的距離等于定長的點的集合.接著點出課題.推進新課新知探究提出問題教師利用多媒體設備向學生投影出下面實例,這5個實例的共同特征是什么?(1)120以內的所有質數(shù);(2)我國古代的四大發(fā)明;(3)所有的安理會常任理事國;(4)所有的正方形;(5)北京大學xx年9月入學的全體學生.活動：教師組織學生分小組討論,每個小組選出一位同學發(fā)表本組的討論結果,在此基礎上,師生共同概括出5個實例的特征,并給出集合的含義.引導過程:一般地,指定的某些對象的全體稱為集合(簡稱為集),集合中的每個對象叫做這個集合的元素.集合常用大寫字母A,B,C,D,表示,元素常用小寫字母a,b,c,d,表示.集合的表示法:a.自然語言(5個實例);b.字母表示法.集合元素的性質:a.確定性:即任給一個元素和一個集合,那么這個元素和這個集合的關系只有兩種:這個元素要么屬于這個集合,要么不屬于這個集合;b.互異性:一個給定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重復出現(xiàn)的;c.無序性:集合中的元素是沒有順序的.集合相等:如果兩個集合中的元素完全相同,那么這兩個集合是相等的.元素與集合的關系:“屬于”和“不屬于”分別用“”和“”表示.元素確定性的符號語言表述為:對任意元素a和集合A,要么aA,要么aA.在初中我們學過了一些數(shù)的集合,國際標準化組織(ISO)制定了常用數(shù)集的記法:自然數(shù)集(包含零):N,正整數(shù)集:N*(N+),整數(shù)集:Z,有理數(shù)集:Q,實數(shù)集:R.因此字母N、Z、Q、R不能再表示其他的集合,否則會出現(xiàn)混亂的局面.提出問題(1)請列舉出“小于5的所有自然數(shù)組成的集合A”.(2)你能寫出不等式2-x3的所有解嗎？怎樣表示這個不等式的解集？活動：學生回答后,教師指出:在數(shù)學中,為書寫規(guī)范,我們把封閉曲線簡化為一個大括號,然后把元素一一列舉出來,元素與元素之間用逗號隔開寫在大括號內來表示這個集合.這種表示集合的方法稱為列舉法.如本例可表示為A=0,1,2,3,4.描述法:將集合的所有元素都具有的性質(滿足的條件)表示出來,寫成x|p(x)的形式.其中x為元素的一般特征,p(x)為x滿足的條件.如數(shù)集常用x|p(x)表示,點集常用(x,y)|p(x,y)表示.應用示例思路11.課本第3頁例1.思路分析：用相應的數(shù)學知識明確集合中的元素,再寫在大括號內.點評：本題主要考查集合表示法中的列舉法.如果一個集合是有限集,并且元素的個數(shù)較少時,通常選擇列舉法表示,其特點是非常顯明地表示出了集合中的元素,是常用的表示法;列舉法表示集合的步驟:(1)用字母表示集合;(2)明確集合中的元素;(3)把集合中所有元素寫在大括號“”內,并寫成A=的形式.變式訓練請試一試用列舉法表示下列集合:(1)A=xN|且N;(2)B=y|y=-x2+6,xN,yN;(3)C=(x,y)|y=-x2+6,xN,yN.分析:本題考查列舉法與描述法的相互轉化.明確各個集合中的元素后再寫在大括號內.(1)集合A中元素x滿足均為自然數(shù);(2)集合B中y值為函數(shù)y=-x2+6的函數(shù)值的集合;(3)集合C中元素為點,拋物線上橫、縱坐標均為自然數(shù)的點.答案：(1)A=0,6,8;(2)B=2,5,6;(3)C=(0,6),(1,5),(2,2).2.課本第4頁例2.思路分析：本題重點學習用描述法表示集合.用一個小寫英文字母表示集合中的元素,作為集合中元素的代表符號,找到集合中元素的共同特征,并把共同特征用數(shù)學符號來表達,然后寫在大括號“”內.點評：本題主要考查集合的表示方法,以及應用知識解決問題的能力;描述法表示集合的步驟:(1)用字母分別表示集合和元素,(2)用數(shù)學符號表達集合元素的共同特征;(3)在大括號內先寫上集合中元素的代表符號及取值(或變化)范圍,再畫一條豎線,在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.并寫成A=|的形式;描述法適合表示有無數(shù)個元素的集合,當集合中的元素個數(shù)較少時,通常用列舉法表示.變式訓練課本P5練習2.思路21.下列所給對象不能構成集合的是( )A.一個平面內的所有點B.所有大于零的正數(shù)C.某校高一(4)班的高個子學生D.某一天到商場買過貨物的顧客思路分析：本題考查集合中元素的確定性.由集合的含義,可知組成集合的元素必須是明確的,不能模棱兩可.在A中對于任何一個點要么在這個平面內,要么不在這個平面內,因而它可以組成一個集合;在B中由于大于零的正數(shù)很明確,因此B也能組成一個集合;C中由于“高個子”沒有一個確定的標準,因而不能判定一個學生到底是不是高個子,故它不能組成集合;而D中對于任何一個顧客在這一天是否到過某商場,以及是否買過貨物是非常明確的,因此它也能組成一個集合.答案：C變式訓練下列各組對象中不能構成集合的是( )A.高一(1)班全體女生B.高一(1)班全體學生家長C.高一(1)班開設的所有課程D.高一(1)班身高較高的男同學分析:判斷所給對象能否構成集合的問題,只需根據(jù)構成集合的條件,即集合中元素的確定性便可以解決.因為A、B、C中所給對象都是確定的,從而可以構成集合;而D中所給對象不確定,原因是找不到衡量學生身高較高的標準,故不能構成集合.若將D中“身高較高的男同學”改為“身高175 cm以上的男同學”,則能構成集合.答案：D2.用另一種形式表示下列集合:(1)絕對值不大于3的整數(shù);(2)所有被3整除的數(shù);(3)x|x=|x|,xZ且x0,y0,xZ,yZ.思路分析：用列舉法與描述法表示集合時,一要分清元素是什么,二要明確元素滿足的條件是什么.答案：(1)絕對值不大于3的整數(shù)還可以表示為x|x|3,xZ,也可表示為-3,-2,-1,0,1,2,3.(2)x|x=3n,nZ.(3)x=|x|,x0.又xZ且x5,x|x=|x|,xZ且x5還可以表示為0,1,2,3,4.(4)-2.(5)(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1).變式訓練用適當?shù)男问奖硎鞠铝屑?(1)絕對值不大于3的整數(shù)組成的集合;(2)所有被3整除的數(shù)組成的集合;(3)方程(3x-5)(x+2)(x2+3)=0實數(shù)解組成的集合;(4)一次函數(shù)y=x+6圖象上所有點組成的集合.分析:元素較少的有限集宜采用列舉法;對無限集或元素較多的有限集宜采用描述法.答案：(1)x|x|3,xZ或-3,-2,-1,0,1,2,3;(2)x|x=3n,nZ;(3),-2;(4)(x,y)|y=x+6.3.已知集合A=x|ax2-3x+2=0,aR,若A中至少有一個元素,求a的取值范圍.思路分析：對于方程ax2-3x+2=0,aR的解,要看這個方程左邊的x2的系數(shù),a=0和a0方程的根的情況是不一樣的,則集合A的元素也不相同,所以首先要分類討論.解：當a=0時,原方程為-3x+2=0x=,符合題意;當a0時,方程ax2-3x+2=0為一元二次方程,則解得a0且a.綜上所得a的取值范圍是a|a.4.用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?(1)方程組的解集;(2)1000以內被3除余2的正整數(shù)所組成的集合;(3)直角坐標平面上在第二象限內的點所組成的集合;(4)所有正方形;(5)直角坐標平面上在直線x=1和x=-1的兩側的點所組成的集合.分析:本題考查集合的表示方法.所謂適當?shù)谋硎痉椒?就是較簡單、較明了的表示方法.由于方程組的解為x=4,y=-2.故(1)宜用列舉法;(2)中盡管是有限集,但由于它的元素個數(shù)較多,所以用列舉法表示是不明智的,故用描述法;(3)和(5)也宜用描述法;而(4)則宜用列舉法為好.解：(1)(4,-2);(2)x|x=3k+2,kN且x1000;(3)(x,y)|x0;(4)正方形;(5)(x,y)|x.知能訓練課本P5練習1、2.拓展提升1.已知A=xR|x=,abc0,用列舉法表示集合A.分析:解決本題的關鍵是去掉絕對值符號,需分類討論.解：題目中x的取值取決于a、b、c的正負情況,可分成以下幾種情況討論:(1)a、b、c全為正時,x=7;(2)a、b、c兩正一負時,x=-1;(3)a、b、c一正兩負時,x=-1;(4)a、b、c全為負時,x=-1.A=7,-1.注意：(2)、(3)中又包括多種情況(a、b、c各自的正負情況),解題時應考慮全面.2.已知集合C=x|x=a+b,aA,bB.(1)若A=0,1,2,3,B=6,7,8,9,求集合C中所有元素之和S;(2)若A=0,1,2,3,4,2 005,B=5,6,7,8,9,試用代數(shù)式表示出集合C中所有元素之和S;(3)聯(lián)系高斯求S=1+2+3+4+99+100的方法,試求出(2)中的S.思路分析：先用列舉法寫出集合C,然后解決各個小題.答案：(1)列舉法表示集合C=6,7,8,9,10,11,12,進而易求得S=6+7+8+9+10+11+12=63.(2)列舉法表示集合C=5,6,7,2 013,2 014,由此可得S=5+6+7+2 013+2 014.(3)高斯求S=1+2+3+4+99+100時,利用1+100=2+99=3+98=50+51=101,進而得S=1+2+3+4+99+100=10150=5 050.本題(2)中S=5+6+7+2 013+2 014=2 0191 005=2 029 095.課堂小結在師生互動中,讓學生了解或體會下列問題:(1)本節(jié)課我們學習過哪些知識內容?(2)你認為學習集合有什么意義？(3)選擇集合的表示法時應注意些什么?設計感想本節(jié)課是集合的起始課,采用教師啟發(fā)引導,學生探究學習的教學方法,通過創(chuàng)設情境,引導探究,師生交流,最終形成概念,獲得方法.作業(yè)1.課本P11習題1.1A組4.2.元素與集合的關系有多少種？如何表示？類似地集合與集合間的關系又有多少種呢？如何表示？請同學們通過預習課本來解答.