2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.5.1 平面幾何中的向量方法備課資料 新人教A版必修4.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.5.1 平面幾何中的向量方法備課資料 新人教A版必修4一、利用向量解決幾何問題的進(jìn)一步探討用平面向量的幾何運算處理平面幾何問題有其獨到之處,特別是處理線段相等,線線平行,垂直,點共線,線共點等問題,往往簡單明了,少走彎路,同時避免了復(fù)雜,煩瑣的運算和推理,可以收到事半功倍的效果.現(xiàn)舉幾例以供教師、學(xué)生進(jìn)一步探究使用.1.簡化向量運算圖11例1 如圖11所示,O為ABC的外心,H為垂心,求證:.證明:如圖11,作直徑BD,連接DA,DC,有=,且DAAB,DCBC,AHBC,CHAB,故CHDAHDC,得四邊形AHCD是平行四邊形.從而=.又=得即.2.證明線線平行例2 如圖12,在梯形ABCD中,E,F分別為腰AB,CD的中點.求證:EFBC,且|=(|+|).圖12證明:連接ED,EC,ADBC,可設(shè)=(0),又E,F是中點,+=0,且=(+).而+=+=+=(1+),=,EF與BC無公共點,EFBC.又0,|=(|+|)=(|+|).3.證明線線垂直圖13例3 如圖13,在ABC中,由A與B分別向?qū)匓C與CA作垂線AD與BE,且AD與BE交于H,連接CH,求證:CHAB.證明:由已知AHBC,BHAC,有又故有(+)=0,且=0,兩式相減,得=0,即=0,.4.證明線共點或點共線圖14例4 求證:三角形三中線共點,且該點到頂點的距離等于各該中線長的.已知:ABC的三邊中點分別為D,E,F(如圖14).求證:AE,BF,CD共點,且.證明:設(shè)AE,BF相交于點G,=1,由定比分點的向量式有=,又F是AC的中點,設(shè),則,即=.又=(CA+2CE)=(+)=,C,G,D共線,且=.二、備用習(xí)題1.有一邊長為1的正方形ABCD,設(shè)=a,=b,=c,則|a-b+c|=_.2.已知|a|=2,|b|=,a與b的夾角為45,則使b-a與a垂直的=_.3.在等邊ABC中,=a,=b,=c,且|a|=1,則ab+bc+ca=_.4.已知三個向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),且A,B,C三點共線,則k=_.圖155.如圖15所示,已知矩形ABCD,AC是對角線,E是AC的中點,過點E作MN交AD于點M,交BC于點N,試運用向量知識證明AM=CN.6.已知四邊形ABCD滿足|2+|2=|2+|2,M為對角線AC的中點.求證:|=|.7.求證:如果一個角的兩邊平行于另一個角的兩邊,那么這兩個角相等或互補(bǔ).參考答案:1.2 2.2 3.- 4.-2或11圖165.建立如圖16所示的直角坐標(biāo)系,設(shè)BC=a,BA=b,則C(a,0),A(0,b),E().又設(shè)M(x2,b),N(x1,0),則=(x2,0),=(x1-a,0).,(=0.x2=a-x1.|=而|=|=|,即AM=CN.6.設(shè)=a,=b,=c,=d,a+b+c+d=0,a+b=-(c+d).a2+b2+2ab=c2+d2+2cd. |2+|2=|2+|2,a2+b2=(-d)2+(-c)2=c2+d2. 由得ab=cd.圖17M是AC的中點,如圖17所示,則=(d-c),=(b-a).|2=2=(b2+a2-2ab),|2=2=(d2+c2-2cd).|2=|2.|=|.7.解:已知OAOA,OBOB.求證:AOB=AOB或AOB+AOB=.證明:OAOA,OBOB,=(R,0),=(R,0).cosAOB=.cosAOB=,當(dāng)與,與均同向或反向時,取正號,即cosAOB=cosAOB.AOB,AOB(0,),AOB=AOB.當(dāng)與,與只有一個反向時,取負(fù)號,即cosAOB=-cosAOB=cos(-AOB).AOB,-AOB(0,),AOB=-AOB.AOB+AOB=.命題成立.(設(shè)計者：鄭吉星)