2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章 基本初等函數(shù)（Ⅰ）3.3 冪函數(shù)教案 新人教B版必修1.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章 基本初等函數(shù)（Ⅰ）3.3 冪函數(shù)教案 新人教B版必修1 教學(xué)分析　　　　　 冪函數(shù)作為一類重要的函數(shù)模型，是學(xué)生在系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)之后研究的又一類基本的初等函數(shù)．學(xué)生已經(jīng)有了學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，冪函數(shù)概念的引入以及圖象和性質(zhì)的研究便水到渠成．因此，學(xué)習(xí)過程中，引入冪函數(shù)的概念之后，嘗試放手讓學(xué)生自己進(jìn)行合作探究學(xué)習(xí)．本節(jié)通過實(shí)例，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到冪函數(shù)同樣也是一種重要的函數(shù)模型，通過研究y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝等函數(shù)的性質(zhì)和圖象，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到冪指數(shù)大于零和小于零兩種情形下，冪函數(shù)的共性：當(dāng)冪指數(shù)α＞0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)(0,0)和(1,1)，且在第一象限內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)冪指數(shù)α＜0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)(1,1)，且在第一象限內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞減且以兩坐標(biāo)軸為漸近線．在方法上，我們應(yīng)注意從特殊到一般地去進(jìn)行類比研究?jī)绾瘮?shù)的性質(zhì)，并注意與指數(shù)函數(shù)進(jìn)行對(duì)比學(xué)習(xí)． 將冪函數(shù)限定為五個(gè)具體函數(shù)，通過研究它們來了解冪函數(shù)的性質(zhì)．其中，學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了y＝x，y＝x2，y＝x－1等三個(gè)簡(jiǎn)單的冪函數(shù)，對(duì)它們的圖象和性質(zhì)已經(jīng)有了一定的感性認(rèn)識(shí)．現(xiàn)在明確提出冪函數(shù)的概念，有助于學(xué)生形成完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)．學(xué)生已經(jīng)了解了函數(shù)的基本概念、性質(zhì)和圖象，研究了兩個(gè)特殊函數(shù)：指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，對(duì)研究函數(shù)已經(jīng)有了基本思路和方法．因此，教材安排學(xué)習(xí)冪函數(shù)，除內(nèi)容本身外，掌握研究函數(shù)的一般思想方法是另一目的，另外，應(yīng)讓學(xué)生了解利用信息技術(shù)來探索函數(shù)圖象及性質(zhì)是一個(gè)重要途徑． 學(xué)習(xí)中學(xué)生容易將冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)混淆，因此在引出冪函數(shù)的概念之后，可以組織學(xué)生對(duì)兩類不同函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行辨析． 三維目標(biāo)　　　　　 1．通過生活實(shí)例引出冪函數(shù)的概念，會(huì)畫冪函數(shù)的圖象． 2．通過觀察圖象，了解冪函數(shù)圖象的變化情況和性質(zhì)，加深學(xué)生對(duì)研究函數(shù)性質(zhì)的基本方法和流程的經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生概括抽象和識(shí)圖能力，使學(xué)生體會(huì)到生活中處處有數(shù)學(xué)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣． 3．了解幾個(gè)常見的冪函數(shù)的性質(zhì)，通過這幾個(gè)冪函數(shù)的性質(zhì)，總結(jié)冪函數(shù)的性質(zhì)． 4．通過畫圖比較，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想，利用計(jì)算機(jī)等工具，了解冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的本質(zhì)差別，使學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到現(xiàn)代技術(shù)在人們認(rèn)識(shí)世界的過程中的作用，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望． 5．應(yīng)用冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決有關(guān)簡(jiǎn)單問題，培養(yǎng)學(xué)生觀察分析歸納能力． 6．了解類比法在研究問題中的作用，滲透辯證唯物主義觀點(diǎn)和方法論，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用具體問題具體分析的方法去分析和解決問題的能力． 重點(diǎn)難點(diǎn)　　　　　 教學(xué)重點(diǎn)：從五個(gè)具體的冪函數(shù)中認(rèn)識(shí)冪函數(shù)的概念和性質(zhì)． 教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性比較兩個(gè)同指數(shù)的指數(shù)式的大?。? 課時(shí)安排　　　　　 1課時(shí) 導(dǎo)入新課　　　　　 思路1.(1)如果張紅購買了每千克1元的水果w千克，那么她需要付的錢數(shù)p(元)和購買的水果量w(千克)之間有何關(guān)系？根據(jù)函數(shù)的定義可知，這里p是w的函數(shù)． (2)如果正方形的邊長(zhǎng)為a，那么正方形的面積S＝a2，這里S是a的函數(shù)． (3)如果正方體的邊長(zhǎng)為a，那么正方體的體積V＝a3，這里V是a的函數(shù)． (4)如果正方形場(chǎng)地面積為S，那么正方形的邊長(zhǎng)a＝，這里a是S的函數(shù)． (5)如果某人t s內(nèi)騎車行進(jìn)了1 km，那么他騎車的速度v＝t－1 km/s，這里v是t的函數(shù)． 以上是我們生活中經(jīng)常遇到的幾個(gè)數(shù)學(xué)模型，你能發(fā)現(xiàn)以上幾個(gè)函數(shù)解析式有什么共同點(diǎn)嗎？(右邊指數(shù)式，且底數(shù)都是變量)． (適當(dāng)引導(dǎo)：從自變量所處的位置這個(gè)角度)(引入新課，書寫課題：冪函數(shù))． 思路2.我們前面學(xué)習(xí)了三類具體的初等函數(shù)：二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，這一節(jié)課我們?cè)賹W(xué)習(xí)一種新的函數(shù)——冪函數(shù)，教師板書課題：冪函數(shù)． 推進(jìn)新課　　　　　 問題①：給出下列函數(shù)：y＝x，y＝x，y＝x2，y＝x－1，y＝x3，考察這些解析式的特點(diǎn)，總結(jié)出來，是否為指數(shù)函數(shù)？ 問題②：根據(jù)①，如果讓我們起一個(gè)名字的話，你將會(huì)給他們起個(gè)什么名字呢？請(qǐng)給出一個(gè)一般性的結(jié)論． 問題③：我們前面學(xué)習(xí)指對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，用了什么樣的思路？研究?jī)绾瘮?shù)的性質(zhì)呢？ 問題④：畫出y＝x，y＝x，y＝x2，y＝x－1，y＝x3五個(gè)函數(shù)圖象，完成下列表格． 問題⑤：通過對(duì)以上五個(gè)函數(shù)圖象的觀察，哪個(gè)象限一定有冪函數(shù)的圖象？哪個(gè)象限一定沒有冪函數(shù)的圖象？哪個(gè)象限可能有冪函數(shù)的圖象，這時(shí)可以通過什么途徑來判斷？ 問題⑥：通過對(duì)以上五個(gè)函數(shù)圖象的觀察和填表，你能類比出一般的冪函數(shù)的性質(zhì)嗎？ 活動(dòng)：考慮到學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)，對(duì)函數(shù)的學(xué)習(xí)、研究有了一定的經(jīng)驗(yàn)和基本方法，所以教學(xué)流程又分兩條線，一條以內(nèi)容為明線，另一條以研究函數(shù)的基本內(nèi)容和方法為暗線，教學(xué)過程中同時(shí)展開，學(xué)生相互討論，必要時(shí)，教師將解析式寫成指數(shù)冪形式，以啟發(fā)學(xué)生歸納，學(xué)生作圖，教師巡視，學(xué)生小組討論，得到結(jié)論，必要時(shí)，教師利用幾何畫板演示． 討論結(jié)果： ①通過觀察發(fā)現(xiàn)這些函數(shù)的變量在底數(shù)位置，解析式右邊都是冪，因?yàn)樗鼈兊淖兞慷荚诘讛?shù)位置上，不符合指數(shù)函數(shù)的定義，所以都不是指數(shù)函數(shù)． ②由于函數(shù)的指數(shù)是一個(gè)常數(shù)，底數(shù)是變量，類似于我們學(xué)過的冪的形式，因此我們稱這種類型的函數(shù)為冪函數(shù)，如果我們用字母α來表示函數(shù)的指數(shù)，就能得到一般的式子，即冪函數(shù)的定義：一般地，形如y＝xα(x∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù)． 如y＝x2，y＝，y＝x3等都是冪函數(shù)，冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)一樣，都是基本初等函數(shù)． ③我們研究指對(duì)數(shù)函數(shù)時(shí)，根據(jù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，由具體到一般；一般要考慮函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性；有時(shí)也通過畫函數(shù)圖象，從圖象的變化情況來看函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)，研究?jī)绾瘮?shù)的性質(zhì)也應(yīng)如此． ④學(xué)生用描點(diǎn)法，也可應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、定義域等，畫出函數(shù)圖象．利用描點(diǎn)法，在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝x，y＝，y＝x2，y＝x3，y＝x－1的圖象． 列表： x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y＝x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y＝ … 0 1 1.41 1.73 … y＝x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … y＝x3 … －27 －8 －1 0 1 8 27 … y＝x－1 … － － －1 1 … 描點(diǎn)、連線．畫出以上五個(gè)函數(shù)的圖象，如下圖． 讓學(xué)生通過觀察圖象，分組討論，探究?jī)绾瘮?shù)的性質(zhì)和圖象的變化規(guī)律，教師注意引導(dǎo)學(xué)生用類比研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的方法研究?jī)绾瘮?shù)的性質(zhì)． 通過觀察圖象，完成表格． ⑤第一象限一定有冪函數(shù)的圖象；第四象限一定沒有冪函數(shù)的圖象；而第二、三象限可能有，也可能沒有圖象，這時(shí)可以通過冪函數(shù)和定義域和奇偶性來判斷． ⑥冪函數(shù)y＝xα的性質(zhì)． (1)所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)都有定義，并且圖象都過點(diǎn)(1,1)(原因：1x＝1)． (2)當(dāng)α＞0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都通過原點(diǎn)，并且在[0，＋∞)上是增函數(shù)(從左往右看，函數(shù)圖象逐漸上升)． 特別地，當(dāng)α＞1時(shí)，x∈(0,1)，y＝x2的圖象都在y＝x圖象的下方，形狀向下凸，α越大，下凸的程度越大． 當(dāng)0＜α＜1時(shí)，x∈(0,1)，y＝x2的圖象都在y＝x的圖象上方，形狀向上凸，α越小，上凸的程度越大． (3)當(dāng)α＜0時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)． 在第一象限內(nèi)，當(dāng)x向原點(diǎn)靠近時(shí)，圖象在y軸的右方無限逼近y軸正半軸，當(dāng)x慢慢地變大時(shí)，圖象在x軸上方并無限逼近x軸的正半軸． 思路1 例1比較下列兩個(gè)代數(shù)式值的大?。? (1)(a＋1)1.5，a1.5；(2)(2＋a2)－，2－. 解：(1)考察冪函數(shù)y＝x1.5，在區(qū)間[0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)． 因?yàn)閍＋1＞a，所以(a＋1)1.5＞a1.5. (2)考察冪函數(shù)y＝，在區(qū)間[0，＋∞)上是單調(diào)減函數(shù)． 因?yàn)?＋a2≥2，所以(2＋a2)－≤2－. 點(diǎn)評(píng)：指數(shù)相同的冪的大小比較可以利用冪函數(shù)的單調(diào)性；底數(shù)相同的冪的大小比較可以利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性. 變式訓(xùn)練 　比較下列各組數(shù)的大小： (1)1.10.1,1.20.1；(2)0.24－0.2,0.25－0.2；(3)0.20.3,0.30.3,0.30.2. 活動(dòng)：學(xué)生先思考或回憶，然后討論交流，教師適時(shí)提示點(diǎn)撥．比較數(shù)的大小，常借助于函數(shù)的單調(diào)性．對(duì)(1)(2)可直接利用冪函數(shù)的單調(diào)性．對(duì)(3)只利用冪函數(shù)的單調(diào)性是不夠的，還要利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，事實(shí)上，這里0.30.3可作為中間量． 解：(1)由于要比較的數(shù)的指數(shù)相同，所以利用冪函數(shù)的單調(diào)性，考察函數(shù)y＝x0.1的單調(diào)性，在第一象限內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞增，又因?yàn)?.1＜1.2，所以1.10.1＜1.20.1. (2)由于要比較的數(shù)的指數(shù)相同，所以利用冪函數(shù)的單調(diào)性，考察函數(shù)y＝x－0.2的單調(diào)性，在第一象限內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞減，又因?yàn)?.24＜0.25，所以0.24－0.2＞0.25－0.2. (3)首先比較指數(shù)相同的兩個(gè)數(shù)的大小，考察函數(shù)y＝x0.3的單調(diào)性，在第一象限內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞增，又因?yàn)?.2＜0.3，所以0.20.3＜0.30.3. 再比較同底數(shù)的兩個(gè)數(shù)的大小，考察函數(shù)y＝0.3x的單調(diào)性，它在定義域內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞減，又因?yàn)?.2＜0.3，所以0.30.3＜0.30.2. 所以0.20.3＜0.30.3＜0.30.2. 另外，本題還有圖象法，計(jì)算結(jié)果等方法，留作同學(xué)們自己完成. 例2討論函數(shù)y＝的定義域、奇偶性，作出它的圖象．并根據(jù)圖象說明函數(shù)的增減性． 解：函數(shù)y＝＝，定義域是實(shí)數(shù)集R. 因?yàn)閒(－x)＝＝[(－x)2]＝(x2)＝， 所以函數(shù)y＝x是偶函數(shù)． 因此函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱． 列出函數(shù)在[0，＋∞)上的對(duì)應(yīng)值表： x 0 1 2 3 4 … y 0 1 1.59 2.08 2.52 … 作這個(gè)函數(shù)在[0，＋∞)上的圖象，再根據(jù)這個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，作出它在(－∞，0]上的圖象，如下圖所示． 由它的圖象可以看出，這個(gè)函數(shù)在區(qū)間(－∞，0]上是減函數(shù)，在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù)． 變式訓(xùn)練 　證明冪函數(shù)f(x)＝在[0，＋∞)上是增函數(shù)． 活動(dòng)：學(xué)生先思考或討論，再回答，教師根據(jù)實(shí)際，可以提示引導(dǎo)．證明函數(shù)的單調(diào)性一般用定義法，有時(shí)利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性． 證明：任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1＜x2，則 f(x1)－f(x2)＝－＝ ＝， 因?yàn)閤1－x2＜0，＋＞0，所以＜0. 所以f(x1)＜f(x2)，即f(x)＝在[0，＋∞)上是增函數(shù)． 點(diǎn)評(píng)：證明函數(shù)的單調(diào)性要嚴(yán)格按步驟和格式書寫，利用作商的方法比較大小，f(x1)與f(x2)的符號(hào)要一致. 思路2 例1判斷下列函數(shù)哪些是冪函數(shù)． ①y＝0.2x；②y＝x－3；③y＝x－2；④y＝. 活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，討論回答，教師巡視引導(dǎo)，及時(shí)評(píng)價(jià)學(xué)生的回答．根據(jù)冪函數(shù)的定義判別，形如y＝xα(x∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，變量x的系數(shù)為1，指數(shù)α是一個(gè)常數(shù)，嚴(yán)格按這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來判斷． 解：①y＝0.2x的底數(shù)是0.2，因此不是冪函數(shù)； ②y＝x－3的底數(shù)是變量，指數(shù)是常數(shù)，因此是冪函數(shù)； ③y＝x－2的底數(shù)是變量，指數(shù)是常數(shù)，因此是冪函數(shù)； ④y＝的底數(shù)是變量，指數(shù)是常數(shù)，因此是冪函數(shù)． 點(diǎn)評(píng)：判斷函數(shù)是否是冪函數(shù)要嚴(yán)格按定義來判斷. 變式訓(xùn)練 　判別下列函數(shù)中有幾個(gè)冪函數(shù)？ ①y＝x；②y＝2x2；③y＝；④y＝x2＋x；⑤y＝－x3. 解：①③的底數(shù)是變量，指數(shù)是常數(shù)，因此①③是冪函數(shù)；②的變量x2的系數(shù)為2，因此不是冪函數(shù)； ④的變量是和的形式，因此也不是冪函數(shù)； ⑤的變量x3的系數(shù)為－1，因此不是冪函數(shù). 例2函數(shù)y＝(x2－2x)的定義域是(　　) A．{x|x≠0或x≠2} B．(－∞，0)∪(2，＋∞) C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．(0,2) 解析：函數(shù)y＝(x2－2x) 化為y＝，要使函數(shù)有意義需x2－2x＞0，即x＞2或x＜0，所以函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x＞2或x＜0}． 答案：B 點(diǎn)評(píng)：注意換元法在解題中的應(yīng)用. 變式訓(xùn)練 　函數(shù)y＝(1－x2)的值域是(　　) A．[0，＋∞) B．(0,1] C．(0,1) D．[0,1] 活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立解題，先思考，然后上黑板板演，教師巡視指導(dǎo)．函數(shù)的值域要根據(jù)函數(shù)的定義域來求．函數(shù)可化為根式形式，偶次方根號(hào)的被開方數(shù)大于零，轉(zhuǎn)化為等式或不等式來解，可得定義域，這是復(fù)合函數(shù)求值域問題，利用換元法． 解析：令t＝1－x2，則y＝， 因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是{x|－1≤x≤1}，所以0≤t≤1.所以0≤y≤1. 答案：D 1．下列函數(shù)中，是冪函數(shù)的是(　　) A．y＝2x B．y＝2x3 C．y＝ D．y＝2x 2．下列結(jié)論正確的是(　　) A．冪函數(shù)的圖象一定過原點(diǎn) B．當(dāng)α＜0時(shí)，冪函數(shù)y＝xα是減函數(shù) C．當(dāng)α＞0時(shí)，冪函數(shù)y＝xα是增函數(shù) D．函數(shù)y＝x2既是二次函數(shù)，也是冪函數(shù) 3．下列函數(shù)中，在(－∞，0)上是增函數(shù)的是(　　) A．y＝x3 B．y＝x2 C．y＝ D．y＝ 4．已知某冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2，)，則這個(gè)函數(shù)的解析式為__________． 答案：1.C　2.D　3.A　4.y＝ 分別在同一坐標(biāo)系中作出下列函數(shù)的圖象，通過圖象說明它們之間的關(guān)系． ①y＝x－1，y＝x－2，y＝x－3；②y＝x，y＝x； ③y＝x，y＝x2，y＝x3；④y＝，y＝x. 活動(dòng)：學(xué)生思考或交流，探討作圖的方法，教師及時(shí)提示，必要時(shí)，利用幾何畫板演示． 解：利用描點(diǎn)法，在同一坐標(biāo)系中畫出上述四組函數(shù)的圖象如下圖甲、乙、丙、?。? 甲 　　 乙 丙 　　 丁 ①觀察上圖甲得到： 函數(shù)y＝x－1、y＝x－2、y＝x－3的圖象都過點(diǎn)(1,1)，且在第一象限隨x的增大而下降，函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上是單調(diào)減函數(shù)，且向右無限接近x軸，向上無限接近y軸，指數(shù)越小，向右無限接近x軸的圖象在下方，向上離y軸越遠(yuǎn)． ②觀察上圖乙得到： 函數(shù)y＝x、y＝x的圖象都過點(diǎn)(1,1)，且在第一象限隨x的增大而下降，函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上是單調(diào)減函數(shù)，且向右無限接近x軸，向上無限接近y軸，指數(shù)越小，向右無限接近x軸的圖象在下方，向上離y軸越遠(yuǎn)． ③觀察上圖丙得到： 函數(shù)y＝x、y＝x2、y＝x3的圖象過點(diǎn)(1,1)、(0,0)，且在第一象限隨x的增大而上升，函數(shù)在區(qū)間[0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，指數(shù)越大圖象下凸越大，在第一象限來看，圖象向上離y軸近，向下離y軸近． ④觀察上圖丁得到： 函數(shù)y＝、y＝x的圖象過點(diǎn)(1,1)、(0,0)，且在第一象限隨x的增大而上升，函數(shù)在區(qū)間[0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，指數(shù)越大圖象上凸越大，在第一象限來看，圖象在點(diǎn)(1,1)的左邊離y軸近，在點(diǎn)(1,1)的右邊離x軸近． 根據(jù)上述規(guī)律可以判斷函數(shù)圖象的分布情況． 1．冪函數(shù)的概念． 2．冪函數(shù)的性質(zhì)． 3．冪函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用． 課本習(xí)題3—3 A　3、4. 冪函數(shù)作為一類重要的函數(shù)模型，是學(xué)生在系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)之后研究的又一類基本的初等函數(shù)，課本內(nèi)容較少，但高考內(nèi)容不少，應(yīng)適當(dāng)引申，所以設(shè)計(jì)了一些課本上沒有的題目類型，以擴(kuò)展同學(xué)們的視野，同時(shí)由于作圖的內(nèi)容較多，建議抓住關(guān)鍵點(diǎn)作圖，要會(huì)熟練地運(yùn)用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器作圖，強(qiáng)化對(duì)知識(shí)的理解． 歷史上數(shù)學(xué)計(jì)算方面的三大發(fā)明 你知道數(shù)學(xué)計(jì)算方面的三大發(fā)明嗎？這就是阿拉伯?dāng)?shù)字、十進(jìn)制和對(duì)數(shù)． 研究自然數(shù)遇到的第一個(gè)問題是計(jì)數(shù)法和進(jìn)位制的問題，我們采用的十進(jìn)制是中國(guó)人的一大發(fā)明．在商代中期的甲骨文中已有十進(jìn)制，其中最大的數(shù)是3萬，印度最早到六世紀(jì)末才有十進(jìn)制．但是，目前使用的計(jì)數(shù)法和阿拉伯?dāng)?shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9,0是印度人最早開始使用，后來傳到阿拉伯，由阿拉伯人傳到歐洲，并被歐洲人所接受． 十進(jìn)制位置計(jì)數(shù)法的誕生，是自然數(shù)發(fā)展史上的一次飛躍，同一個(gè)數(shù)字由于它所在的位置不同而有不同的值．無窮多個(gè)自然數(shù)可以用有限個(gè)符號(hào)來駕馭，所有的自然數(shù)都可以方便清楚地表示出來． 16世紀(jì)前半葉，由于實(shí)際的需要，對(duì)計(jì)算技術(shù)的改進(jìn)提出了前所未有的要求．這一時(shí)期計(jì)算技術(shù)最大的改進(jìn)是對(duì)數(shù)的發(fā)明和應(yīng)用，它的產(chǎn)生主要是由于天文和航海計(jì)算的迫切需要．為了簡(jiǎn)化天文航海方面所遇到的繁雜數(shù)值計(jì)算，自然希望將乘除法歸結(jié)為簡(jiǎn)單的加減法．蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾(Napier，J.1550～1617)在球面天文學(xué)的三角學(xué)研究中，首先發(fā)明了對(duì)數(shù)方法.1614年他在題為《奇妙的對(duì)數(shù)定理說明書》一書中，闡述了他的對(duì)數(shù)方法，對(duì)數(shù)的使用價(jià)值為納皮爾的朋友——英國(guó)數(shù)學(xué)家布里格斯(Birggs，H.1561～1630)所認(rèn)識(shí)，他與納皮爾合作，并于1624年出版了《對(duì)數(shù)算術(shù)》一書，公布了以10為底的14位對(duì)數(shù)表，并稱以10為底的對(duì)數(shù)為常用對(duì)數(shù)．常用對(duì)數(shù)曾經(jīng)在簡(jiǎn)化計(jì)算上為人們做過重大貢獻(xiàn)，而自然對(duì)數(shù)以及以e為底的指數(shù)函數(shù)成了研究科學(xué)、了解自然的必不可少的工具．恩格斯曾把對(duì)數(shù)的發(fā)明與解析幾何的創(chuàng)始，微積分學(xué)的建立并稱為17世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大成就．法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家拉普拉斯曾說：“對(duì)數(shù)的發(fā)明以其節(jié)省勞力而延長(zhǎng)了天文學(xué)家的壽命．” 一直到18世紀(jì)，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(Euler，L.1707～1783)才發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系，他指出“對(duì)數(shù)源出于指數(shù)”，這個(gè)見解很快被人們所接受．