2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 8.1 橢圓教案.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 8.1 橢圓教案網(wǎng)絡(luò)體系總覽考點(diǎn)目標(biāo)定位1.掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，了解橢圓的參數(shù)方程.2.掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).3.掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).4.能夠根據(jù)具體條件利用各種不同的工具畫橢圓、雙曲線、拋物線的圖形，了解它們?cè)趯?shí)際問題中的初步應(yīng)用.5.結(jié)合所學(xué)內(nèi)容，進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)運(yùn)動(dòng)變化和對(duì)立統(tǒng)一等觀點(diǎn)的認(rèn)識(shí).復(fù)習(xí)方略指南本章主要內(nèi)容有橢圓、雙曲線、拋物線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).它們作為研究曲線和方程的典型問題，成了解析幾何的主要內(nèi)容，在日常生活、生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)技術(shù)上有著廣泛的應(yīng)用.因此在高考中，圓錐曲線成為命題的熱點(diǎn)之一.分析近幾年高考試題，有下面幾個(gè)顯著特點(diǎn)：1.注重雙基 保持穩(wěn)定圓錐曲線在題型、題量、難度等方面風(fēng)格獨(dú)特，每年的試卷中客觀題2至3道，主觀題1道，分值占全卷的15%左右，“難、中、易”層次分明，既有基礎(chǔ)題，又有能力題.2.全面考查 重點(diǎn)突出試題中，圓錐曲線的內(nèi)容幾乎全部涉及，考查的知識(shí)點(diǎn)約占圓錐曲線總知識(shí)點(diǎn)的四分之三，通過知識(shí)的重新組合，考查學(xué)生系統(tǒng)掌握課程知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，重點(diǎn)仍在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系上.3.考查能力 探究創(chuàng)新試題具有一定的綜合性，重點(diǎn)考查學(xué)生畫圖、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)換、分類討論、邏輯推理、合理運(yùn)算以及綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.在今后的高考中，圓錐曲線仍將考查圓錐曲線的概念和性質(zhì)、求曲線方程、直線和圓錐曲線的位置關(guān)系、解析幾何中的定值最值問題.其中直線和圓錐曲線的位置關(guān)系仍是命題的熱點(diǎn)，解析幾何中的定值及最值問題也會(huì)有所加強(qiáng).圓錐曲線內(nèi)容的“應(yīng)用性問題”和“探索性問題”將會(huì)出現(xiàn)在今后的高考中.學(xué)好本章的關(guān)鍵在于正確理解和掌握由曲線求方程和由方程討論曲線的性質(zhì)這兩個(gè)問題.為此建議在學(xué)習(xí)中做到：1.搞清概念（對(duì)概念定義應(yīng)“咬文嚼字”）；2.熟悉曲線（會(huì)“速寫”出符合題目數(shù)量特征要求的曲線）；3.熟練運(yùn)用代數(shù)、三角、幾何、向量的知識(shí)；4.處理問題時(shí)要在“大處著眼”（即在整體上把握問題的綜合信息和處理問題的數(shù)學(xué)思想）“小處著手”（即在細(xì)節(jié)上能熟練運(yùn)用各種數(shù)學(xué)知識(shí)和方法）.8.1 橢圓知識(shí)梳理定義1.到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于定長(zhǎng)（|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡2.到定點(diǎn)F與到定直線l的距離之比等于常數(shù)e（0，1）的點(diǎn)的軌跡3.參數(shù)方程方程1. +=1（ab0），c=，焦點(diǎn)是F1（c，0），F(xiàn)2（c，0）2.+=1（ab0），c=，焦點(diǎn)是F1（0，c），F(xiàn)2（0，c）x=acos，為參數(shù)y=bsin性質(zhì)E：+=1（ab0）1.范圍：|x|a，|y|b2.對(duì)稱性：關(guān)于x，y軸均對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱3.頂點(diǎn)：長(zhǎng)軸端點(diǎn)A1（a，0），A2（a，0）；短軸端點(diǎn)B1（0，b），B2（0，b）4.離心率：e=（0，1）5.準(zhǔn)線：l1：x=，l2：x=6.焦半徑：P（x，y）Er1=|PF1|=a+ex，r2=|PF2|=aex思考討論 對(duì)于焦點(diǎn)在y軸上的橢圓+=1（ab0），其性質(zhì)如何？焦半徑公式怎樣推導(dǎo)？點(diǎn)擊雙基1.（xx年北京宣武區(qū)模擬題）已知F1、F2是橢圓+=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F1的直線與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，則MNF2的周長(zhǎng)為A.8 B.16 C.25 D.32解析：利用橢圓的定義易知B正確.答案：B2.（xx年湖北，6）已知橢圓+=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P在橢圓上，若P、F1、F2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則點(diǎn)P到x軸的距離為A. B.3 C. D. 解析：由余弦定理判斷P2，即k0，0k0，n0），設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），解方程組y=x+1，mx2+ny2=1.消去y，整理得（m+n）x2+2nx+n1=0.=4n24（m+n）（n1）0，即m+nmn0，OPOQx1x2+y1y2=0，即x1x2+（x1+1）（x2+1）=0，2x1x2+（x1+x2）+1=0，+1=0.m+n=2. 由弦長(zhǎng)公式得2=（）2，將m+n=2代入，得mn=. 或解得 m=， m=，n= n=. 橢圓方程為+y2=1或x2+=1.8.（xx年南京市模擬題）設(shè)x、yR，i、j為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x、y軸正方向上的單位向量，若向量a=xi+（y+2）j，b=xi+（y2）j，且|a|+|b|=8.（1）求點(diǎn)M（x，y）的軌跡C的方程.（2）過點(diǎn)（0，3）作直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)=+，是否存在這樣的直線l，使得四邊形OAPB是矩形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，試說明理由.（1）解法一：a=xi+（y+2）j，b=xi+（y2）j，且|a|+|b|=8，點(diǎn)M（x，y）到兩個(gè)定點(diǎn)F1（0，2），F(xiàn)2（0，2）的距離之和為8.軌跡C為以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓，方程為+=1.解法二：由題知，+=8，移項(xiàng)，得=8，兩邊平方，得x2+（y+2）2=x2+（y2）216+64，整理，得2=8y，兩邊平方，得4x2+（y2）2=（8y）2，展開，整理得+=1.（2）l過y軸上的點(diǎn)（0，3），若直線l是y軸，則A、B兩點(diǎn)是橢圓的頂點(diǎn).=+=0，P與O重合，與四邊形OAPB是矩形矛盾.直線l的斜率存在.設(shè)l方程為y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2），消y得（4+3k2）x2+18kx21=0.此時(shí)，=（18k2）4（4+3k2）由 y=kx+3，+=1，（21）0恒成立，且x1+x2=，x1x2=.=+，四邊形OAPB是平行四邊形.若存在直線l，使得四邊形OAPB是矩形，則OAOB，即=0.=（x1，y1），=（x2，y2），=x1x2+y1y2=0，即（1+k2）x1x2+3k（x1+x2）+9=0，即（1+k2）（）+3k（）+9=0，即k2=，得k=.存在直線l：y=x+3，使得四邊形OAPB是矩形.探究創(chuàng)新9.已知常數(shù)a0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a， O為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F、G分別在BC、CD、DA上移動(dòng)，且=，P為GE與OF的交點(diǎn)（如下圖）.問是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使P到這兩點(diǎn)的距離的和為定值？若存在，求出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)及此定值；若不存在，請(qǐng)說明理由.分析：根據(jù)題設(shè)條件首先求出P點(diǎn)坐標(biāo)滿足的方程，據(jù)此可判斷是否存在兩點(diǎn)，使得點(diǎn)P到兩定點(diǎn)距離的和為定值.解：按題意，有A（2，0），B（2，0），C（2，4a），D（2，4a）.設(shè)=k（0k1），由此有E（2，4ak），F(xiàn)（24k，4a），G（2，4a4ak）.直線OF的方程為2ax+（2k1）y=0. 直線GE的方程為a（2k1）x+y2a=0. 由消去參數(shù)k，得點(diǎn)P（x，y）滿足方程2a2x2+y22ay=0.整理得+=1.當(dāng)a2=時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點(diǎn).當(dāng)a2時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為橢圓的一部分，點(diǎn)P到該橢圓焦點(diǎn)的距離的和為定長(zhǎng).當(dāng)a2時(shí)，點(diǎn)P到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)（，a），（，a）的距離之和為定值.當(dāng)a2時(shí)，點(diǎn)P到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)（0，a），（0，a+）的距離之和為定值2a.評(píng)注：本題主要考查根據(jù)已知條件求軌跡的方法，橢圓的方程和性質(zhì)，利用方程判定曲線的性質(zhì)，曲線與方程關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力.在解題過程中蘊(yùn)涵著方程思想、分類討論思想和構(gòu)造法.思悟小結(jié)1.橢圓的定義是解決問題的出發(fā)點(diǎn)，尤其是第二定義，如果運(yùn)用恰當(dāng)可收到事半功倍之效（如關(guān)于求焦半徑的問題）.2.要明確參數(shù)a、b、c、e的相互關(guān)系、幾何意義及與一些概念的聯(lián)系.靈活運(yùn)用它們之間的關(guān)系可使問題順利解決.3.橢圓參數(shù)的幾何意義，如下圖所示：（1）|PF1|+|PF2|=2a，=e；（2）|A1F1|=|A2F2|=ac，|A1F2|=|A2F1|=a+c；（3）|BF2|=|BF1|=a，|OF1|=|OF2|=c；（4）|F1K1|=|F2K2|=p=，|PM2|+|PM1|=.教師下載中心教學(xué)點(diǎn)睛本節(jié)的重點(diǎn)是橢圓的定義、方程、幾何性質(zhì).難點(diǎn)是理解參數(shù)a、b、c、e的關(guān)系，及利用第二定義解決問題，關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合，函數(shù)與方程的思想，等價(jià)轉(zhuǎn)化的運(yùn)用.為此建議在教學(xué)中注意以下幾點(diǎn)：（1）橢圓中有一個(gè)十分重要的三角形OF1B2（如下圖），它的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c.易見c2=a2b2，且若記OF1B2=，則cos=e.（2）應(yīng)理解橢圓是平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡，本質(zhì)上，它與坐標(biāo)系無關(guān)，而坐標(biāo)系是研究的手段.實(shí)際上，人們研究圓錐曲線的記錄早于笛卡兒發(fā)明坐標(biāo)系，從而橢圓本身所固有的性質(zhì)并不依賴于坐標(biāo)系，這些性質(zhì)不因坐標(biāo)系的選擇而改變.例如上述的OF1B2、公式cos=e等，均不因坐標(biāo)系的改變而改變.（3）橢圓的定義中應(yīng)注意常數(shù)大于|F1F2|.因?yàn)楫?dāng)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于|F1F2|時(shí)，其動(dòng)點(diǎn)軌跡就是線段F1F2；當(dāng)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)F1、F2的距離之和小于|F1F2|時(shí)，其軌跡不存在.（4）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中兩個(gè)參數(shù)a和b確定了橢圓的形狀和大小.兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，總有ab0；橢圓的焦點(diǎn)位置決定標(biāo)準(zhǔn)方程的類型；a、b、c的關(guān)系是c2=a2b2；在方程Ax2+By2=C中，只要A、B、C同號(hào)，就是橢圓方程.（5）當(dāng)題目中出現(xiàn)橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離，焦點(diǎn)弦長(zhǎng)相關(guān)時(shí)，常利用橢圓的第二定義，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離來研究，即正確應(yīng)用焦半徑公式.（6）使用橢圓的第二定義時(shí)，一定要注意動(dòng)點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離之比為常數(shù)e.若使用的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線不是對(duì)應(yīng)的，則上述之比就不再是常數(shù)了.拓展題例【例1】 （xx年太原市模擬題）如下圖，已知OFQ的面積為S，且=1.（1）若S2，求向量與的夾角的取值范圍；（2）設(shè)|=c（c2），S=c，若以O(shè)為中心，F(xiàn)為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)Q，當(dāng)|取最小值時(shí)，求橢圓的方程.解：（1）由已知，得|sin（）=S，|cos=1.tan=2S.S2，1tan4.則arctan4.（2）以O(shè)為原點(diǎn)，所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)橢圓方程為+=1（ab0），Q（x，y）.=（c，0），則=（xc，y）.|y=c，y=.又=c（xc）=1，x=c+.則|=（c2）.可以證明：當(dāng)c2時(shí)，函數(shù)t=c+為增函數(shù)，當(dāng)c=2時(shí)，|min=，此時(shí)Q（，）.將Q的坐標(biāo)代入橢圓方程，解得得 +=1， a2=10，a2b2=4. b2=6.橢圓方程為+=1.【例2】 （xx年春季全國(guó)）已知某橢圓的焦點(diǎn)是F1（4，0）、F2（4，0），過點(diǎn)F2，并垂直于x軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為B，且F1BF2B10橢圓上不同的兩點(diǎn)A（x1，y1）、C（x2，y2）滿足條件：F2A、F2B、F2C成等差數(shù)列.（1）求該橢圓的方程；（2）求弦AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（3）設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為ykxm，求m的取值范圍.（1）解：由橢圓定義及條件知2aF1BF2B10，得a5.又c4，所以b3故橢圓方程為1（2）解：由點(diǎn)B（4，yB）在橢圓上，得F2ByB方法一：因?yàn)闄E圓右準(zhǔn)線方程為x，離心率為根據(jù)橢圓定義，有F2A（x1），F(xiàn)2C（x2）由F2A、F2B、F2C成等差數(shù)列，得（x1）（x2）2由此得出x1x28設(shè)弦AC的中點(diǎn)為P（x0，y0），則x04方法二：由F2A、F2B、F2C成等差數(shù)列，得2， 由A（x1，y1）在橢圓1上，得y12（25x12），所以=（254x1）. 同理可得（254x2） 將代入式，得（254x1）（254x2）所以x1x28設(shè)弦AC的中點(diǎn)為P（x0，y0），則x04（3）解法一：由A（x1，y1），C（x2，y2）在橢圓上，得9x1225y12925， 9x2225y22925 由得9（x12x22）25（y12y22）0，即9（）25（）（）0（x1x2）.將x0=4，y0，（k0）代入上式，得9425y0（）0（k0）由上式得ky0（當(dāng)k0時(shí)也成立）.由點(diǎn)P（4，y0）在弦AC的垂直平分線上，得y04km，所以my04ky0y0y0由P（4，y0）在線段BB（B與B關(guān)于x軸對(duì)稱）的內(nèi)部，得y0.所以m評(píng)述：在推導(dǎo)過程中，未寫明“x1x2”“k0”“k0時(shí)也成立”及把結(jié)論寫為“m”也可以.解法二：因?yàn)橄褹C的中點(diǎn)為P（4，y0），所以直線AC的方程為yy0（x4）（k0）. 將代入橢圓方程+1，得（9k225）x250（ky04）x25（ky04）2259k20所以x1x28解得ky0（當(dāng)k0時(shí)也成立）.以下步驟同解法一.