2019-2020年高考數(shù)學(xué)5月模擬試卷 理(含解析).doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)5月模擬試卷 理(含解析) 一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.(5分)已知集合M={1,2},N={2,3},P={x|x=a+b,a∈M,b∈N},P中元素個(gè)數(shù)為() A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2.(5分)已知復(fù)數(shù)z滿足(4+3i)z=25(i是虛數(shù)單位),則z的虛部為() A. ﹣3 B. 3 C. ﹣ D. 3.(5分)已知雙曲線﹣=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=2x,則其離心率為() A. 5 B. C. D. 4.(5分)已知向量,若與平行,則實(shí)數(shù)x的值是() A. ﹣2 B. 0 C. 1 D. 2 5.(5分)如圖給出的是計(jì)算的值的程序框圖,其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的是() A. i≤xx? B. i≤xx? C. i≤xx? D. i≤xx? 6.(5分)某班有34位同學(xué),座位號(hào)記為01,02,…34,用如圖的隨機(jī)數(shù)表選取5組數(shù)作為參加青年志愿者活動(dòng)的五位同學(xué)的座號(hào).選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第一行的第6列和第7列數(shù)字開(kāi)始,由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字,則選出來(lái)的第4個(gè)志愿者的座號(hào)是() A. 23 B. 09 C. 02 D. 16 7.(5分)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),若a2?a9=9,則log3a1+log3a2+…+log3a10=() A. 12 B. 10 C. 8 D. 2+log35 8.(5分)已知l,m是兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,下列命題為真命題的序號(hào)是() ①若l?α,m?α,l∥β,m∥β,則α∥β; ②若l?α,l∥β,α∩β=m,則l∥m; ③若l∥α,α∥β,則l∥β; ④若l⊥α,l∥m,α∥β,則m⊥β. A. ①④ B. ①③ C. ②④ D. ②③ 9.(5分)已知在△ABC中,∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c,且a2+b2﹣c2﹣ab=0,若△ABC的面積為c,則ab的最小值為() A. 24 B. 12 C. 6 D. 4 10.(5分)若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)t,函數(shù)f(x)=(x﹣t)3+(x﹣lnt)3﹣3ax在R上都是增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是() A. B. C. D. (﹣∞,2] 二、填空題:本大題共5小題,每小題4分,共20分.把答案填在答題卡中的橫線上. 11.(4分)二項(xiàng)式的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為. 12.(4分)已知圓C:x2+y2﹣6y+8=0,若直線y=kx與圓C相切,且切點(diǎn)在第二象限,則實(shí)數(shù)k=. 13.(4分)若不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镸,不等式y(tǒng)≥x表示的平面區(qū)域?yàn)镹.現(xiàn)隨機(jī)向區(qū)域M內(nèi)撒下一粒豆子,則豆子落在區(qū)域N內(nèi)的概率為. 14.(4分)已知函數(shù)f(x)=,有下列四個(gè)結(jié)論: ①函數(shù)f(x)在區(qū)間[﹣,]上是增函數(shù): ②點(diǎn)(,0)是函數(shù)f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心; ③函數(shù)f(x)的圖象可以由函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移得到; ④若x∈[0,],則函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇0,]. 則所有正確結(jié)論的序號(hào)是. 15.(4分)計(jì)算Cn1+2?Cn22+…+n?Cnn2n﹣1=n(1+2)n﹣1,可以采用以下方法: 構(gòu)造恒等式Cn0+Cn12x+Cn222x2+…+Cnn2nxn=(1+2x)n, 兩邊對(duì)x求導(dǎo),得Cn12+2?Cn222x+…+n?Cnn2nxn﹣1=2n(1+2x)n﹣1, 在上式中令x=1,得Cn1+2?Cn22+…+n?Cnn2n﹣1=n(1+2)n﹣1=n?3n﹣1, 類比上述計(jì)算方法,計(jì)算Cn12+22Cn222+32Cn323+…+n2Cnn2n=. 三、解答題:本大題共5小題,共80分.解答寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置,應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟. 16.(13分)甲、乙、丙三人參加某次招聘會(huì),若甲應(yīng)聘成功的概率為,乙、丙應(yīng)聘成功的概率均為(0<t<3),且三人是否應(yīng)聘成功是相互獨(dú)立的. (Ⅰ)若甲、乙、丙都應(yīng)聘成功的概率是,求t的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,設(shè)ξ表示甲、乙兩人中被聘用的人數(shù),求ξ的數(shù)學(xué)期望. 17.(13分)已知函數(shù)f(x)=,方程f(x)=在(0,+∞)上的解按從小到達(dá)的順序排成數(shù)列{an}(n∈N*). (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)bn=,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,求Sn的表達(dá)式. 18.(13分)如圖1,直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90,CD=2AB=4,BC=2.AE∥BC交CD于點(diǎn)E,點(diǎn)G,H分別在線段DA,DE上,且GH∥AE.將圖1中的△AED沿AE翻折,使平面ADE⊥平面ABCE(如圖2所示),連結(jié)BD、CD,AC、BE. (Ⅰ)求證:平面DAC⊥平面DEB; (Ⅱ)當(dāng)三棱錐B﹣GHE的體積最大時(shí),求直線BG與平面BCD所成角的正弦值. 19.(13分)已知?jiǎng)訄AQ過(guò)定點(diǎn)A(2,0)且與y軸截得的弦MN的長(zhǎng)為4. (Ⅰ)求動(dòng)圓圓心Q的軌跡C的方程; (Ⅱ)已知點(diǎn)P(﹣2,1),動(dòng)直線l和坐標(biāo)軸不垂直,且與軌跡C相交于A,B兩點(diǎn),試問(wèn):在x軸上是否存在一定點(diǎn)G,使直線l過(guò)點(diǎn)G,且使得直線PA,PG,PB的斜率依次成等差數(shù)列?若存在,請(qǐng)求出定點(diǎn)G的坐標(biāo);否則,請(qǐng)說(shuō)明理由. 20.(14分)已知函數(shù)f(x)=ex(sinx+cosx)+a,g(x)=(a2﹣a+10)ex(a∈R且a為常數(shù)). (Ⅰ)若曲線y=f(x)在(0,f(0))處的切線過(guò)點(diǎn)(1,2),求實(shí)數(shù)a的值; (Ⅱ)若存在實(shí)數(shù)x1,x2∈[0,π],使得g(x2)<f(x1)+13﹣e成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍; (Ⅲ)判斷函數(shù)φ(x)=+1+lnx(b>1)在(0,+∞)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由. 本題設(shè)有三個(gè)選答題,每小題7分,請(qǐng)考生任選2個(gè)小題作答,滿分14分.如果多做,則按所做的前兩題記分.作答時(shí),先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑,并將所選題號(hào)填入括號(hào)中. 21.(7分)已知線性變換T1是按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90的旋轉(zhuǎn)變換,其對(duì)應(yīng)的矩陣為M,線性變換T2:對(duì)應(yīng)的矩陣為N. (Ⅰ)寫(xiě)出矩陣M、N; (Ⅱ)若直線l在矩陣NM對(duì)應(yīng)的變換作用下得到方程為y=x的直線,求直線l的方程. 22.(7分)已知曲線C的方程為=1,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐 標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為. (Ⅰ)求直線l的直角坐標(biāo)方程; (Ⅱ)已知M是曲線C上任意一點(diǎn),求點(diǎn)M到直線l距離的最小值. 23.已知函數(shù)f(x)=|x﹣2|﹣3. (Ⅰ)若f(x)<0,求x的取值范圍; (Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,求g(x)=3的最大值. 福建省龍巖市xx高考數(shù)學(xué)模擬試卷(理科)(5月份) 參考答案與試題解析 一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.(5分)已知集合M={1,2},N={2,3},P={x|x=a+b,a∈M,b∈N},P中元素個(gè)數(shù)為() A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 考點(diǎn): 集合中元素個(gè)數(shù)的最值. 專題: 集合. 分析: 直接求出結(jié)合P,然后推出結(jié)果即可. 解答: 解:集合M={1,2},N={2,3}, P={x|x=a+b,a∈M,b∈N}={3,4,5}, P中元素個(gè)數(shù)為5. 故選:B. 點(diǎn)評(píng): 本題考查結(jié)合的基本概念,基本知識(shí)的考查. 2.(5分)已知復(fù)數(shù)z滿足(4+3i)z=25(i是虛數(shù)單位),則z的虛部為() A. ﹣3 B. 3 C. ﹣ D. 考點(diǎn): 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算. 專題: 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù). 分析: 直接利用復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算法則化簡(jiǎn),求出復(fù)數(shù)的虛部即可. 解答: 解:復(fù)數(shù)z滿足(4+3i)z=25 則:z===4﹣3i. 復(fù)數(shù)的虛部為﹣3. 故選:A. 點(diǎn)評(píng): 本題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算,復(fù)數(shù)的基本概念. 3.(5分)已知雙曲線﹣=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=2x,則其離心率為() A. 5 B. C. D. 考點(diǎn): 雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì). 專題: 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程. 分析: 根據(jù)雙曲線漸近線的方程,確定a,b的關(guān)系,進(jìn)而利用離心率公式求解. 解答: 解:∵雙曲線﹣=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=x, ∴,即b=2a, ∴, ∴離心率e=. 故選:D. 點(diǎn)評(píng): 本題主要考查雙曲線的性質(zhì),要求熟練掌握雙曲線的漸近線方程和離心率的公式. 4.(5分)已知向量,若與平行,則實(shí)數(shù)x的值是() A. ﹣2 B. 0 C. 1 D. 2 考點(diǎn): 平面向量共線(平行)的坐標(biāo)表示;平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算. 專題: 計(jì)算題. 分析: 由題意分別可得向量與的坐標(biāo),由向量平行的充要條件可建立關(guān)于x的方程,解之即可. 解答: 解:由題意可得=(3,x+1),=(﹣1,1﹣x), 因?yàn)榕c平行,所以3(1﹣x)﹣(x+1)(﹣1)=0, 解得x=2 故選D 點(diǎn)評(píng): 本題為向量平行的問(wèn)題,熟練應(yīng)用向量平行的充要條件是解決問(wèn)題的關(guān)鍵,屬基礎(chǔ)題. 5.(5分)如圖給出的是計(jì)算的值的程序框圖,其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的是() A. i≤xx? B. i≤xx? C. i≤xx? D. i≤xx? 考點(diǎn): 程序框圖. 專題: 圖表型;算法和程序框圖. 分析: 根據(jù)流程圖寫(xiě)出每次循環(huán)i,S的值,和比較即可確定退出循環(huán)的條件,得到答案. 解答: 解:根據(jù)流程圖,可知 第1次循環(huán):i=2,S=; 第2次循環(huán):i=4,S=; … 第1008次循環(huán):i=xx,S=; 此時(shí),設(shè)置條件退出循環(huán),輸出S的值. 故判斷框內(nèi)可填入i≤xx. 故選:B. 點(diǎn)評(píng): 本題主要考察循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖和算法,屬于基礎(chǔ)題. 6.(5分)某班有34位同學(xué),座位號(hào)記為01,02,…34,用如圖的隨機(jī)數(shù)表選取5組數(shù)作為參加青年志愿者活動(dòng)的五位同學(xué)的座號(hào).選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第一行的第6列和第7列數(shù)字開(kāi)始,由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字,則選出來(lái)的第4個(gè)志愿者的座號(hào)是() A. 23 B. 09 C. 02 D. 16 考點(diǎn): 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣. 專題: 概率與統(tǒng)計(jì). 分析: 根據(jù)隨機(jī)數(shù)表,依次進(jìn)行選擇即可得到結(jié)論. 解答: 解:從隨機(jī)數(shù)表第1行的第6列和第7列數(shù)字開(kāi)始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字中小于34的編號(hào)依次為21,32,09,16,其中第4個(gè)為16. 故選:D 點(diǎn)評(píng): 本題主要考查簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的應(yīng)用,正確理解隨機(jī)數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵,比較基礎(chǔ). 7.(5分)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),若a2?a9=9,則log3a1+log3a2+…+log3a10=() A. 12 B. 10 C. 8 D. 2+log35 考點(diǎn): 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和. 專題: 計(jì)算題;等差數(shù)列與等比數(shù)列. 分析: 利用等比數(shù)列和對(duì)數(shù)的性質(zhì),結(jié)合題設(shè)條件導(dǎo)出log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1?a2?a3…a10)=log3(a2?a9)5,由此能夠求出其結(jié)果. 解答: 解:∵等比數(shù)列{an}中,每項(xiàng)均是正數(shù),且a2?a9=9, ∴l(xiāng)og3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1?a2?a3…a10) =log3(a2?a9)5 =log3310 =10. 故選:B. 點(diǎn)評(píng): 本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用,解題時(shí)要注意等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和對(duì)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用. 8.(5分)已知l,m是兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,下列命題為真命題的序號(hào)是() ①若l?α,m?α,l∥β,m∥β,則α∥β; ②若l?α,l∥β,α∩β=m,則l∥m; ③若l∥α,α∥β,則l∥β; ④若l⊥α,l∥m,α∥β,則m⊥β. A. ①④ B. ①③ C. ②④ D. ②③ 考點(diǎn): 命題的真假判斷與應(yīng)用. 專題: 空間位置關(guān)系與距離. 分析: ①由已知可得:α∥β或相交,即可判斷出正誤; ②利用線面平行的性質(zhì)定理即可判斷出正誤; ③利用線面面面平行的性質(zhì)定理即可判斷出正誤; ④利用面面線面的平行與垂直的性質(zhì)定理即可判斷出. 解答: 解:①若l?α,m?α,l∥β,m∥β,則α∥β或相交,因此不正確; ②若l?α,l∥β,α∩β=m,∴m?β,l?β,m?α,m?α,∴l(xiāng)∥m,因此正確; ③若l∥α,α∥β,則l∥β或l?β,因此不正確; ④若l⊥α,α∥β,∴l(xiāng)⊥β,又l∥m,∴m⊥β,則m⊥β,正確. 故選:C. 點(diǎn)評(píng): 本題考查了線面面面平行與垂直的判定與性質(zhì)定理、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法,考查了推理能力,屬于中檔題. 9.(5分)已知在△ABC中,∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c,且a2+b2﹣c2﹣ab=0,若△ABC的面積為c,則ab的最小值為() A. 24 B. 12 C. 6 D. 4 考點(diǎn): 余弦定理;正弦定理. 專題: 解三角形. 分析: 由題意和余弦定理可得C的值,進(jìn)而由面積公式可得c和ab的關(guān)系,代入已知式子由基本不等式可得ab的不等式,解不等式可得. 解答: 解:∵a2+b2﹣c2﹣ab=0,∴a2+b2﹣c2=ab, ∴由余弦定理可得cosC==, ∵C∈(0,π),∴C=, ∵△ABC的面積為c,∴absinC=c, ∴ab?=c,∴c=ab, 代入已知式子可得a2+b2﹣(ab)2﹣ab=0, ∴(ab)2+ab=a2+b2≥2ab, 整理可得(ab)2﹣4ab≥0, 解關(guān)于ab的不等式可得ab≥4,或ab≤0(舍去) 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取到等號(hào), ∴ab的最小值為4, 故選:D. 點(diǎn)評(píng): 本題考查解三角形,涉及余弦定理和三角形的面積公式以及基本不等式和不等式的解法,屬中檔題. 10.(5分)若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)t,函數(shù)f(x)=(x﹣t)3+(x﹣lnt)3﹣3ax在R上都是增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是() A. B. C. D. (﹣∞,2] 考點(diǎn): 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性. 專題: 綜合題;導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用. 分析: 利用f(x)=(x﹣t)3+(x﹣lnt)3﹣3ax在R上都是增函數(shù),可得f′(x)=3(x﹣t)2+3(x﹣lnt)2﹣3a≥0在R上恒成立,分離參數(shù)a≤(x﹣t)2+(x﹣lnt)2,再求出右邊的最小值,即可得出結(jié)論. 解答: 解:∵f(x)=(x﹣t)3+(x﹣lnt)3﹣3ax在R上都是增函數(shù), ∴f′(x)=3(x﹣t)2+3(x﹣lnt)2﹣3a≥0在R上恒成立, ∴a≤(x﹣t)2+(x﹣lnt)2, (x﹣t)2+(x﹣lnt)2=2(x﹣)2+≥, 令y=t﹣lnt,則y′=1﹣, ∴(0,1)上,y′<0,(1,+∞)上,y′>0, ∴t=1時(shí),ymin=1, ∴的最小值為, ∴a≤, 故選:A. 點(diǎn)評(píng): 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用,考查函數(shù)的單調(diào)性,正確分離參數(shù)求最值是關(guān)鍵. 二、填空題:本大題共5小題,每小題4分,共20分.把答案填在答題卡中的橫線上. 11.(4分)二項(xiàng)式的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為7. 考點(diǎn): 二項(xiàng)式定理. 專題: 計(jì)算題. 分析: 利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出第r+1項(xiàng),令x的指數(shù)為0得常數(shù)項(xiàng). 解答: 解:展開(kāi)式的通項(xiàng)是= 令解得r=6 故展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為=7 故答案為7 點(diǎn)評(píng): 本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式是解決二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題的工具. 12.(4分)已知圓C:x2+y2﹣6y+8=0,若直線y=kx與圓C相切,且切點(diǎn)在第二象限,則實(shí)數(shù)k=﹣2. 考點(diǎn): 圓的切線方程. 專題: 計(jì)算題;直線與圓. 分析: 求出圓的圓心和半徑,運(yùn)用直線和圓相切的條件:d=r,由點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可得到k,結(jié)合切點(diǎn)在第二象限,進(jìn)而得到k的值. 解答: 解:圓C:x2+y2﹣6y+8=0的圓心為(0,3),半徑為r=1, 直線y=kx與圓C相切,即有 d==1, 解得k=2. 由于切點(diǎn)在第二象限,則k=﹣2. 故答案為:. 點(diǎn)評(píng): 本題考查直線和圓的位置關(guān)系:相切,主要考查直線和圓相切的條件:d=r,注意點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用,屬于中檔題. 13.(4分)若不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镸,不等式y(tǒng)≥x表示的平面區(qū)域?yàn)镹.現(xiàn)隨機(jī)向區(qū)域M內(nèi)撒下一粒豆子,則豆子落在區(qū)域N內(nèi)的概率為. 考點(diǎn): 幾何概型;簡(jiǎn)單線性規(guī)劃. 專題: 概率與統(tǒng)計(jì). 分析: 畫(huà)出區(qū)域M,N表示的圖形,利用幾何概型公式,只要求出兩個(gè)區(qū)域的面積即可. 解答: 解:由題意,區(qū)域M,N表示的圖形如圖 其中區(qū)域M是COE,區(qū)域N表示是區(qū)域OCD,由幾何概型公式可得豆子落在區(qū)域N內(nèi)的概率為: ==; 故答案為:. 點(diǎn)評(píng): 本題考查幾何概型,將基本事件“幾何化”,實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,將隨機(jī)事件的概率抽象為幾何概型是研究的關(guān)鍵. 14.(4分)已知函數(shù)f(x)=,有下列四個(gè)結(jié)論: ①函數(shù)f(x)在區(qū)間[﹣,]上是增函數(shù): ②點(diǎn)(,0)是函數(shù)f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心; ③函數(shù)f(x)的圖象可以由函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移得到; ④若x∈[0,],則函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇0,]. 則所有正確結(jié)論的序號(hào)是①②. 考點(diǎn): 正弦函數(shù)的圖象. 專題: 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì). 分析: 畫(huà)出函數(shù)的圖象,①根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出單調(diào)增區(qū)間; ②根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱中心即可求出函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心; ③根據(jù)函數(shù)圖象的平移即可得到結(jié)論; ④根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和定義域即可求出值域,進(jìn)而得到正確結(jié)論的個(gè)數(shù) 解答: 解:∵f(x)=,畫(huà)出函數(shù)的圖象如圖所示 ∴函數(shù)f(x)的增區(qū)間為{x|﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈z} 即{x|﹣π+kπ≤x≤+kπ,k∈z}, ∴區(qū)間[﹣,]是函數(shù)f(x)一個(gè)增函數(shù):故①正確, ∴函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱中心為2x+=kπ,即x=kπ﹣, 當(dāng)k=1時(shí),x=, ∴點(diǎn)(,0)是函數(shù)f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心,故②正確, 對(duì)于③函數(shù)f(x)的圖象可以由函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移得到,故③錯(cuò)誤; 對(duì)于④x∈[0,],則函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇﹣1,],故④錯(cuò)誤. 故答案為:①② 點(diǎn)評(píng): 本題考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性及對(duì)稱性,同時(shí)要求學(xué)生掌握三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)(單調(diào)性,周期性,奇偶性,對(duì)稱性等). 15.(4分)計(jì)算Cn1+2?Cn22+…+n?Cnn2n﹣1=n(1+2)n﹣1,可以采用以下方法: 構(gòu)造恒等式Cn0+Cn12x+Cn222x2+…+Cnn2nxn=(1+2x)n, 兩邊對(duì)x求導(dǎo),得Cn12+2?Cn222x+…+n?Cnn2nxn﹣1=2n(1+2x)n﹣1, 在上式中令x=1,得Cn1+2?Cn22+…+n?Cnn2n﹣1=n(1+2)n﹣1=n?3n﹣1, 類比上述計(jì)算方法,計(jì)算Cn12+22Cn222+32Cn323+…+n2Cnn2n=2n(2n+1)3n﹣2. 考點(diǎn): 類比推理. 專題: 綜合題;推理和證明. 分析: 構(gòu)造恒等式Cn0+Cn12x+Cn222x2+…+Cnn2nxn=(1+2x)n,兩邊對(duì)x求導(dǎo),得Cn12+2?Cn222x+…+n?Cnn2nxn﹣1=2n(1+2x)n﹣1,兩邊同乘以x,得Cn12x+2?Cn222x2+…+n?Cnn2nxn=2nx(1+2x)n﹣1,再兩邊對(duì)x求導(dǎo),x=1,得結(jié)論. 解答: 解:構(gòu)造恒等式Cn0+Cn12x+Cn222x2+…+Cnn2nxn=(1+2x)n, 兩邊對(duì)x求導(dǎo),得Cn12+2?Cn222x+…+n?Cnn2nxn﹣1=2n(1+2x)n﹣1, 兩邊同乘以x,得Cn12x+2?Cn222x2+…+n?Cnn2nxn=2nx(1+2x)n﹣1, 再兩邊對(duì)x求導(dǎo),得Cn12+22?Cn222x+…+n2?Cnn2nxn﹣1=2n(2n+1)(1+2x)n﹣2, 在上式中令x=1,得Cn12+22Cn222+32Cn323+…+n2Cnn2n=2n(2n+1)3n﹣2. 故答案為:2n(2n+1)3n﹣2 點(diǎn)評(píng): 歸納推理的一般步驟是:(1)通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì);(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題(猜想). 三、解答題:本大題共5小題,共80分.解答寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置,應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟. 16.(13分)甲、乙、丙三人參加某次招聘會(huì),若甲應(yīng)聘成功的概率為,乙、丙應(yīng)聘成功的概率均為(0<t<3),且三人是否應(yīng)聘成功是相互獨(dú)立的. (Ⅰ)若甲、乙、丙都應(yīng)聘成功的概率是,求t的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,設(shè)ξ表示甲、乙兩人中被聘用的人數(shù),求ξ的數(shù)學(xué)期望. 考點(diǎn): 離散型隨機(jī)變量的期望與方差;離散型隨機(jī)變量及其分布列. 專題: 概率與統(tǒng)計(jì). 分析: (I)利用相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式可得:,解出即可; (Ⅱ)由(Ⅰ)得乙應(yīng)聘成功的概率均為.ξ可取0,1,2.利用相互獨(dú)立與互斥事件的概率計(jì)算公式、數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式即可得出. 解答: 解:(Ⅰ)依題意, ∴t=2. (Ⅱ)由(Ⅰ)得乙應(yīng)聘成功的概率均為. ξ可取0,1,2. , ,, ∴. 點(diǎn)評(píng): 本題考查了相互獨(dú)立與互斥事件的概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題. 17.(13分)已知函數(shù)f(x)=,方程f(x)=在(0,+∞)上的解按從小到達(dá)的順序排成數(shù)列{an}(n∈N*). (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)bn=,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,求Sn的表達(dá)式. 考點(diǎn): 數(shù)列的求和;數(shù)列遞推式. 專題: 等差數(shù)列與等比數(shù)列. 分析: (1)方程f(x)=化為,可得=0,x∈(0,+∞),于是2x﹣=kπ,解得即可得出; (2)bn=,利用“裂項(xiàng)求和”即可得出. 解答: 解:(1)方程f(x)=化為,∴=0,x∈(0,+∞), ∴2x﹣=kπ,解得x=,k∈Z. ∴an=.(n∈N*). (2)bn===, ∴Sn=π = =. 點(diǎn)評(píng): 本題考查了兩角和差公式、數(shù)列“裂項(xiàng)求和”,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題. 18.(13分)如圖1,直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90,CD=2AB=4,BC=2.AE∥BC交CD于點(diǎn)E,點(diǎn)G,H分別在線段DA,DE上,且GH∥AE.將圖1中的△AED沿AE翻折,使平面ADE⊥平面ABCE(如圖2所示),連結(jié)BD、CD,AC、BE. (Ⅰ)求證:平面DAC⊥平面DEB; (Ⅱ)當(dāng)三棱錐B﹣GHE的體積最大時(shí),求直線BG與平面BCD所成角的正弦值. 考點(diǎn): 直線與平面所成的角;棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積;平面與平面垂直的判定. 專題: 空間位置關(guān)系與距離;空間角;空間向量及應(yīng)用. 分析: (Ⅰ)根據(jù)折疊前后的邊角關(guān)系可知道DE⊥底面ABCE,底面ABCE為正方形,從而得到AC⊥DE,AC⊥BE,根據(jù)線面垂直的判定定理即可得到AC⊥DBE,再根據(jù)面面垂直的判定定理得出平面DAC⊥平面DEB; (Ⅱ)根據(jù)已知條件知道三直線EA,EC,ED兩兩垂直,從而分別以這三直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出一些點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)EH=x,從而表示出HG=2﹣x,三棱錐B﹣GHE的高為AB=2,從而可表示出三棱錐B﹣GHE的體積V=,從而看出x=1時(shí)V最大,這時(shí)G為AD中點(diǎn).從而可求G點(diǎn)坐標(biāo),求出向量坐標(biāo),可設(shè)平面BCD的法向量為={x,y,z},根據(jù)即可求出,設(shè)直線BG與平面BCD所成角為θ,而根據(jù)sinθ=求出sinθ. 解答: 解:(Ⅰ)證明:∵AB∥CD,∠ABC=90,CD=2AB=4; 又AE∥BC交CD于點(diǎn)E; ∴四邊形ABCE是邊長(zhǎng)為2的正方形; ∴AC⊥BE,DE⊥AE; 又∵平面ADE⊥平面ABCE,平面ADE∩平面ABCE=AE; ∴DE⊥平面ABCE; ∵AC?平面ABCE,∴AC⊥DE; 又DE∩BE=E; ∴AC⊥平面DBE; ∵AC?平面DAC; ∴平面DAC⊥平面DEB; (Ⅱ)由(Ⅰ)知DE⊥平面ABCE,AE⊥EC; 以E為原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則: A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,2); 設(shè)EH=x,則GH=DH=2﹣x(0<x<2); ∵AB∥CE,∴AB⊥面DAE; ∴=; ∵0<x<2,∴x=1時(shí),三棱錐B﹣GHE體積最大,此時(shí),H為ED中點(diǎn); ∵GH∥AE,∴G也是AD的中點(diǎn),∴G(1,0,1),; 設(shè)是面BCD的法向量; 則 令y=1,得; 設(shè)BG與面BCD所成角為θ; 則=; ∴BG與平面BCD所成角的正弦值為. 點(diǎn)評(píng): 考查對(duì)折疊前后圖形的觀察能力,面面垂直的性質(zhì)定理,線面垂直的性質(zhì),線面垂直的判定定理,以及建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量解決線面角問(wèn)題的方法,棱錐的體積公式,兩非零向量垂直的充要條件,平面法向量的概念及求法,直線和平面所成角的概念,直線和平面所成角與直線和平面法向量夾角的關(guān)系,向量夾角余弦的坐標(biāo)公式. 19.(13分)已知?jiǎng)訄AQ過(guò)定點(diǎn)A(2,0)且與y軸截得的弦MN的長(zhǎng)為4. (Ⅰ)求動(dòng)圓圓心Q的軌跡C的方程; (Ⅱ)已知點(diǎn)P(﹣2,1),動(dòng)直線l和坐標(biāo)軸不垂直,且與軌跡C相交于A,B兩點(diǎn),試問(wèn):在x軸上是否存在一定點(diǎn)G,使直線l過(guò)點(diǎn)G,且使得直線PA,PG,PB的斜率依次成等差數(shù)列?若存在,請(qǐng)求出定點(diǎn)G的坐標(biāo);否則,請(qǐng)說(shuō)明理由. 考點(diǎn): 直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題. 專題: 綜合題;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程. 分析: (Ⅰ)根據(jù)動(dòng)圓Q過(guò)定點(diǎn)A(2,0)且與y軸截得的弦MN的長(zhǎng)為4,建立方程,即可求動(dòng)圓圓心Q的軌跡C的方程; (Ⅱ)設(shè)直線的方程為x=ny+m,代入y2=4x,利用韋達(dá)定理,結(jié)合kPA+kPB=2kPG,即可得出結(jié)論. 解答: 解:(Ⅰ)設(shè)Q(x,y),根據(jù)題意得,…(2分) 整理得y2=4x,所以動(dòng)圓圓心Q的軌跡C的方程是y2=4x.…(4分) (Ⅱ)設(shè)存在符合題意的定點(diǎn)G. 設(shè)直線的方程為x=ny+m(n≠0且n∈R),則G(m,0).…(5分) 將x=m+ny代入y2=4x,整理得y2﹣4ny﹣4m=0. 由題意得△=16n2+16m>0,即n2+m>0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=4n,y1y2=﹣4m, ,,, 由題意得kPA+kPB=2kPG,即kPA+kPB﹣2kPG=0, 所以,…(7分) 即…(9分) 把y1+y2=4n,y1y2=﹣4m代入上式, 整理得(m﹣2)n=(m+2)(2﹣m),…(11分) 又因?yàn)閚∈R,所以,解得m=2. 所以存在符合題意的定點(diǎn)G,且點(diǎn)G的坐標(biāo)為(2,0).…(13分) 點(diǎn)評(píng): 本題考查拋物線方程,考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理的運(yùn)用,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題. 20.(14分)已知函數(shù)f(x)=ex(sinx+cosx)+a,g(x)=(a2﹣a+10)ex(a∈R且a為常數(shù)). (Ⅰ)若曲線y=f(x)在(0,f(0))處的切線過(guò)點(diǎn)(1,2),求實(shí)數(shù)a的值; (Ⅱ)若存在實(shí)數(shù)x1,x2∈[0,π],使得g(x2)<f(x1)+13﹣e成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍; (Ⅲ)判斷函數(shù)φ(x)=+1+lnx(b>1)在(0,+∞)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由. 考點(diǎn): 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程;函數(shù)零點(diǎn)的判定定理;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性. 專題: 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用. 分析: (Ⅰ)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),由f(0)=列式求得a的值; (Ⅱ)把存在實(shí)數(shù)x1,x2∈[0,π],使得g(x2)<f(x1)+13﹣e成立,轉(zhuǎn)化為,然后利用導(dǎo)數(shù)分別求出g(x)min和f(x)max,代入 ,求解關(guān)于a的不等式得答案; (Ⅲ)由φ(x)=0,得,轉(zhuǎn)化為,分別構(gòu)造函數(shù)h(x)=1﹣x﹣xlnx,,利用導(dǎo)數(shù)分別求得h(x)的最大值和t(x)的最小值,由t(x)>h(x)max,判斷函數(shù)φ(x)在(0,+∞)上沒(méi)有零點(diǎn). 解答: 解:(Ⅰ)由f(x)=ex(sinx+cosx)+a,得 f(x)=ex(sinx+cosx)+ex(cosx﹣sinx)=2excosx, 又曲線y=f(x)在(0,f(0))處的切線過(guò)點(diǎn)(1,2),得f(0)=, 即2=1﹣a,解得a=﹣1; (Ⅱ)存在實(shí)數(shù)x1,x2∈[0,π],使得g(x2)<f(x1)+13﹣e成立, 即, 由(Ⅰ)知f(x)=2excosx=0在x∈[0,π]上的解為, 函數(shù)f(x)在上遞增,在上遞減,∴, 又a2﹣a+10>0恒成立,g(x)=(a2﹣a+10)ex在[0,π]上遞增,, 故,得a2﹣2a﹣3<0, 實(shí)a的取值范圍是(﹣1,3); (Ⅲ)由(x>0),得 ,化為, 令h(x)=1﹣x﹣xlnx,則h(x)=﹣2﹣lnx, 由h(x)=﹣2﹣lnx=0,得x=e﹣2, 故h(x)在上遞增,在上遞減,. 再令, ∵b>1,∴函數(shù)在(0,+∞)上遞增,. 知t(x)>h(x)max,由此判斷函數(shù)φ(x)在(0,+∞)上沒(méi)有零點(diǎn), 故φ(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0. 點(diǎn)評(píng): 本題主要考查基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、存在量詞等基礎(chǔ)知識(shí);考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力以及應(yīng)用意識(shí),考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等,是壓軸題. 本題設(shè)有三個(gè)選答題,每小題7分,請(qǐng)考生任選2個(gè)小題作答,滿分14分.如果多做,則按所做的前兩題記分.作答時(shí),先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑,并將所選題號(hào)填入括號(hào)中. 21.(7分)已知線性變換T1是按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90的旋轉(zhuǎn)變換,其對(duì)應(yīng)的矩陣為M,線性變換T2:對(duì)應(yīng)的矩陣為N. (Ⅰ)寫(xiě)出矩陣M、N; (Ⅱ)若直線l在矩陣NM對(duì)應(yīng)的變換作用下得到方程為y=x的直線,求直線l的方程. 考點(diǎn): 幾種特殊的矩陣變換. 專題: 矩陣和變換. 分析: (Ⅰ)通過(guò)變換的特征即得結(jié)論; (Ⅱ)由(I)得,通過(guò)題意可得,利用x′=y′計(jì)算即可. 解答: 解:(Ⅰ)通過(guò)題意,易得M=,N=; (Ⅱ)由(I)得, 由=, 得, 由題意得x′=y′得3x=﹣2y, ∴直線l的方程為3x+2y=0. 點(diǎn)評(píng): 本題主要考查矩陣與變換等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力及化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題. 22.(7分)已知曲線C的方程為=1,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐 標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為. (Ⅰ)求直線l的直角坐標(biāo)方程; (Ⅱ)已知M是曲線C上任意一點(diǎn),求點(diǎn)M到直線l距離的最小值. 考點(diǎn): 簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程. 專題: 計(jì)算題;直線與圓;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程. 分析: (Ⅰ)由x=ρcosθ,y=ρsinθ可得直線l的直角坐標(biāo)方程; (Ⅱ)設(shè),M到l的距離為d,運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式,結(jié)合兩角差的余弦公式,以及余弦函數(shù)的值域,即可得到最小值. 解答: 解:(Ⅰ)由,x=ρcosθ,y=ρsinθ, 得x+y﹣4=0, ∴直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y﹣4=0. (Ⅱ)設(shè),M到l的距離為d, 則d===, 其中, 當(dāng)cos(θ﹣φ)=1時(shí),d有最小值, ∴M到直線l的距離的最小值為. 點(diǎn)評(píng): 本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和普通方程的互化,考查點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用,同時(shí)考查余弦函數(shù)的值域,屬于中檔題. 23.已知函數(shù)f(x)=|x﹣2|﹣3. (Ⅰ)若f(x)<0,求x的取值范圍; (Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,求g(x)=3的最大值. 考點(diǎn): 分段函數(shù)的應(yīng)用;函數(shù)的最值及其幾何意義;二維形式的柯西不等式. 專題: 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用;不等式的解法及應(yīng)用. 分析: (Ⅰ)運(yùn)用絕對(duì)值不等式的解集,即可得到所求范圍; (Ⅱ)由柯西不等式,即可得到最大值,注意等號(hào)成立的條件. 解答: 解:(Ⅰ)由f(x)<0?|x﹣2|<3?﹣3<x﹣2<3?﹣1<x<5, 所以x的取值范圍是(﹣1,5). (Ⅱ)由(Ⅰ)知, 由柯西不等式可得, (32+42)[()2+()2]≥(3+4)2, 所以g(x)≤=5. 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí), g(x)取最大值5. 點(diǎn)評(píng): 本題考查絕對(duì)值函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用,主要考查絕對(duì)值不等式的解法和柯西不等式的運(yùn)用:求最值,注意等號(hào)成立的條件,屬于中檔題.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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