2019-2020年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試卷 理（含解析）.doc

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試卷 理（含解析） 　 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)符合題目要求． 1．函數(shù)y=的定義域是（　?。? 　 A． （1，2] B． （1，2） C． （2，+∞） D． （﹣∞，2） 　 2．若向量=（1，2），=（4，5），則=（　　） 　 A． （5，7） B． （﹣3，﹣3） C． （3，3） D． （﹣5，﹣7） 　 3．若a∈R，則“a2＞a”是“a＞1”的（　　） 　 A． 充分不必要條件 B． 必要不充分條件 　 C． 既不充分也不必要條件 D． 充要條件 　 4．設(shè)變量x、y滿足，則目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y的最小值為（　?。? 　 A． 7 B． 8 C． 22 D． 23 　 5．設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若=3，則=（　　） 　 A． 2 B． C． D． l或2 　 6．己知f（x）=的值域?yàn)镽，那么a的取值范圍是（　?。? 　 A． （一∞，一1] B． （一l，） C． [﹣1，） D． （0，） 　 7．執(zhí)行如圖所示的算法，則輸出的結(jié)果是（　　） 　 A． 1 B． C． D． 2 　 8．如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積等于（　?。? 　 A． B． C． 1 D． 　 9．己知函數(shù)f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），f（）+f（）=0，且f（x）在區(qū)間（，）上遞減，則ω=（　　） 　 A． 3 B． 2 C． 6 D． 5 　 10．4名大學(xué)生到三家企業(yè)應(yīng)聘，每名大學(xué)生至多被一家企業(yè)錄用，則每家企業(yè)至少錄用一名大學(xué)生的情況有（　　） 　 A． 24種 B． 36種 C． 48種 D． 60種 　 11．橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，若F關(guān)于直線x+y=0的對稱點(diǎn)A是橢圓C上的點(diǎn)，則橢圓C的離心率為（　?。? 　 A． B． C． D． 一l 　 12．設(shè)函數(shù)f（x）=ax3﹣x+1（x∈R），若對于任意x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　?。? 　 A． （﹣∞，2] B． [0+∞） C． [0，2] D． [1，2] 　 　 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填寫在題中橫線上． 13．若復(fù)數(shù)z滿足z=i（2+z）（i為虛數(shù)單位），則z=　　　　　?。? 　 14．過點(diǎn)A（3，1）的直線l與圓C：x2+y2﹣4y﹣1=0相切于點(diǎn)B，則?=　　　　　?。? 　 15．在三棱錐P﹣ABC中，PB=6，AC=3，G為△PAC的重心，過點(diǎn)G作三棱錐的一個(gè)截面，使截面平行于直線PB和AC，則截面的周長為　　　　　?。? 　 16．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，2Sn﹣nan=n（n∈N*），若S20=﹣360，則a2=　　　　　?。? 　 　 三、解答題：本大題共70分，其中（17）-（21）題為必考題，（22），（23），（24）題為選考題．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 17．（12分）（xx秋?唐山期末）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且csinB=bcos C=3． （I）求b； （Ⅱ）若△ABC的面積為，求c． 　 18．（12分）（xx秋?唐山期末）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是平行四邊形，PA⊥底面ABCD，∠PCD=90，PA=AB=AC． （I）求證：AC⊥CD； （Ⅱ）點(diǎn)E在棱PC上，滿足∠DAE=60，求二面角B﹣AE﹣D的余弦值． 　 19．（12分）（xx秋?唐山期末）某城市有東西南北四個(gè)進(jìn)入城區(qū)主干道的入口，在早高峰時(shí)間段，時(shí)常發(fā)生交通擁堵現(xiàn)象，交警部門統(tǒng)計(jì)11月份30天內(nèi)的擁堵天數(shù)．東西南北四個(gè)主干道入口的擁堵天數(shù)分別是18天，15天，9天，15天．假設(shè)每個(gè)入口發(fā)生擁堵現(xiàn)象互相獨(dú)立，視頻率為概率． （I）求該城市一天中早高峰時(shí)間段恰有三個(gè)入口發(fā)生擁堵的概率； （Ⅱ）設(shè)翻乏示一天中早高峰時(shí)間段發(fā)生擁堵的主干道入口個(gè)數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望． 　 20．（12分）（xx秋?唐山期末）已知拋物線y2=2px（p＞0），過點(diǎn)C（一2，0）的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，?=12． （I）求拋物線的方程； （Ⅱ）當(dāng)以AB為直徑的圓與y軸相切時(shí)，求直線l的方程． 　 21．（12分）（xx秋?唐山期末）己知函數(shù)f（x）=aex+x2，g（x）=sin+bx，直線l與曲線y=f（x）切于點(diǎn)（0，f（0））且與曲線y=g（x）切于點(diǎn)（1，g（1））． （I）求a，b的值和直線l的方程． （Ⅱ）證明：f（x）＞g（x） 　 　 請考生在第（22），（23），（24）三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．作答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑．選修4-1：幾何證明選講 22．（10分）（xx秋?唐山期末）如圖，四邊形么BDC內(nèi)接于圓，BD=CD，過C點(diǎn)的圓的切線與AB的延長線交于E點(diǎn)． （I）求證：∠EAC=2∠DCE； （Ⅱ）若BD⊥AB，BC=BE，AE=2，求AB的長． 　 　 選修4-4；坐標(biāo)系與參數(shù)方程 23．（xx秋?唐山期末）極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，兩種坐標(biāo)系中的長度單位相同，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2（cosθ+sinθ），斜率為的直線l交y軸于點(diǎn)E（0，1）． （I）求C的直角坐標(biāo)方程，l的參數(shù)方程； （Ⅱ）直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，求|EA|+|EB|． 　 　 選修4-5：不等式選講 24．（xx?河南二模）設(shè)函數(shù)f（x）=|x+1|+|x|（x∈R）的最小值為a． （I）求a； （Ⅱ）已知兩個(gè)正數(shù)m，n滿足m2+n2=a，求+的最小值． 　 　 xx山東省棗莊一中高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 參考答案與試題解析 　 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)符合題目要求． 1．函數(shù)y=的定義域是（　?。? 　 A． （1，2] B． （1，2） C． （2，+∞） D． （﹣∞，2） 考點(diǎn)： 函數(shù)的定義域及其求法；對數(shù)函數(shù)的定義域． 專題： 計(jì)算題． 分析： 由函數(shù)的解析式知，令真數(shù)x﹣1＞0，根據(jù)，得出x≤2，又在分母上不等于0，即x≠2最后取交集，解出函數(shù)的定義域． 解答： 解：∵log2（x﹣1），∴x﹣1＞0，x＞1 根據(jù)，得出x≤2，又在分母上不等于0，即x≠2 ∴函數(shù)y=的定義域是（1，2） 故選B． 點(diǎn)評： 本題主要考查對數(shù)及開方的取值范圍，同時(shí)考查了分?jǐn)?shù)函數(shù)等來確定函數(shù)的定義域，屬基礎(chǔ)題． 　 2．若向量=（1，2），=（4，5），則=（　?。? 　 A． （5，7） B． （﹣3，﹣3） C． （3，3） D． （﹣5，﹣7） 考點(diǎn)： 向量的減法及其幾何意義；平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算． 專題： 平面向量及應(yīng)用． 分析： 直接利用向量的減法運(yùn)算法則求解即可． 解答： 解：∵向量=（1，2），=（4，5）， ∴==（1，2）﹣（4，5）=（﹣3，﹣3）； 故選：B． 點(diǎn)評： 本題考查向量的減法運(yùn)算以及減法的幾何意義，基本知識的考查． 　 3．若a∈R，則“a2＞a”是“a＞1”的（　?。? 　 A． 充分不必要條件 B． 必要不充分條件 　 C． 既不充分也不必要條件 D． 充要條件 考點(diǎn)： 必要條件、充分條件與充要條件的判斷． 專題： 簡易邏輯． 分析： 根據(jù)不等式的解法以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可． 解答： 解：由a2＞a得a＞1或a＜0， 則“a2＞a”是“a＞1”的必要不充分條件， 故選：B 點(diǎn)評： 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)不等式的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵． 　 4．設(shè)變量x、y滿足，則目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y的最小值為（　?。? 　 A． 7 B． 8 C． 22 D． 23 考點(diǎn)： 簡單線性規(guī)劃． 專題： 不等式的解法及應(yīng)用． 分析： 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論． 解答： 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖： 設(shè)z=2x+3y得y=﹣x+z， 平移直線y=﹣x+z，由圖象可知當(dāng)直線y=﹣x+z經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)， 直線y=﹣x+z的截距最小，此時(shí)z最小， 由，解得，即C（2，1），此時(shí)zmin=22+31=7， 故選：A． 點(diǎn)評： 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用z的幾何意義，通過數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵． 　 5．設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若=3，則=（　?。? 　 A． 2 B． C． D． l或2 考點(diǎn)： 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和． 專題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： 利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解． 解答： 解：∵Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，=3， ∴=1+q2=3，∴q2=2， ∴====． 故選：B． 點(diǎn)評： 本題考查等比數(shù)列的前6項(xiàng)和與前4項(xiàng)和的比值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的合理運(yùn)用． 　 6．己知f（x）=的值域?yàn)镽，那么a的取值范圍是（　?。? 　 A． （一∞，一1] B． （一l，） C． [﹣1，） D． （0，） 考點(diǎn)： 分段函數(shù)的應(yīng)用；函數(shù)的值域． 專題： 計(jì)算題；分類討論；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用． 分析： 由于x≥1，lnx≥0，由于f（x）的值域?yàn)镽，則當(dāng)x＜1時(shí)，（1﹣2a）x+3a的值域包含一切負(fù)數(shù)，對a討論，分a=時(shí)，當(dāng)a＞時(shí)，當(dāng)a＜時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性，解不等式即可得到所求范圍． 解答： 解：由于x≥1，lnx≥0， 由于f（x）的值域?yàn)镽， 則當(dāng)x＜1時(shí)，（1﹣2a）x+3a的值域包含一切負(fù)數(shù)， 則當(dāng)a=時(shí)，（1﹣2a）x+3a=不成立； 當(dāng)a＞時(shí)，（1﹣2a）x+3a＞1+a，不成立； 當(dāng)a＜時(shí)，（1﹣2a）x+3a＜1+a， 由1+a≥0，可得a≥﹣1． 則有﹣1≤a＜． 故選C． 點(diǎn)評： 本題考查分段函數(shù)的值域，考查一次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，考查分類討論的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題． 　 7．執(zhí)行如圖所示的算法，則輸出的結(jié)果是（　?。? 　 A． 1 B． C． D． 2 考點(diǎn)： 程序框圖． 專題： 圖表型；算法和程序框圖． 分析： 模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的n，M，S的值，當(dāng)S=1時(shí)，滿足條件S∈Q，退出循環(huán)，輸出S的值為1． 解答： 解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得 S=0，n=2 n=3，M=，S= 不滿足條件S∈Q，n=4，M=，S=+ 不滿足條件S∈Q，n=5，M=，S=++=1 滿足條件S∈Q，退出循環(huán)，輸出S的值為1． 故選：A． 點(diǎn)評： 本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程，以便得出正確的結(jié)論，屬于基礎(chǔ)題． 　 8．如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積等于（　?。? 　 A． B． C． 1 D． 考點(diǎn)： 由三視圖求面積、體積． 專題： 計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離． 分析： 幾何體是三棱柱削去一個(gè)同高的三棱錐，根據(jù)三視圖判斷相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù)，把數(shù)據(jù)代入棱柱與棱錐的體積公式計(jì)算． 解答： 解：由三視圖知：幾何體是三棱柱削去一個(gè)同高的三棱錐， 其中三棱柱的高為2，底面是直角邊長為1的等腰直角三角形， 三棱錐的底面是直角邊長為1的等腰直角三角形， ∴幾何體的體積V=112﹣112=． 故選：A． 點(diǎn)評： 本題考查了由三視圖求幾何體的體積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀及數(shù)據(jù)所對應(yīng)的幾何量是解題的關(guān)鍵． 　 9．己知函數(shù)f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），f（）+f（）=0，且f（x）在區(qū)間（，）上遞減，則ω=（　　） 　 A． 3 B． 2 C． 6 D． 5 考點(diǎn)： 三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的圖象． 專題： 三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)． 分析： 首先通過三角恒等變換把函數(shù)變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用整體思想利用區(qū)間與區(qū)間的子集關(guān)系求出ω的范圍，進(jìn)一步利用代入法進(jìn)行驗(yàn)證求出結(jié)果． 解答： 解：f（x）=sinωx+cosωx =2sin（） 所以： 當(dāng)k=0時(shí)， 由于：f（x）在區(qū)間（，）單調(diào)遞減， 所以： 解不等式組得到： 當(dāng)ω=2時(shí)，f（）+f（）=0， 故選：B． 點(diǎn)評： 本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，帶入驗(yàn)證法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型． 　 10．4名大學(xué)生到三家企業(yè)應(yīng)聘，每名大學(xué)生至多被一家企業(yè)錄用，則每家企業(yè)至少錄用一名大學(xué)生的情況有（　?。? 　 A． 24種 B． 36種 C． 48種 D． 60種 考點(diǎn)： 計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用． 專題： 排列組合． 分析： 分兩類，第一類，有3名被錄用，第二類，4名都被錄用，則有一家錄用兩名，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理即可得到答案 解答： 解：分兩類，第一類，有3名被錄用，有=24種，第二類，4名都被錄用，則有一家錄用兩名，有=36， 根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有24+36=60（種） 故選D． 點(diǎn)評： 本題考查排列、組合的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要先確定分幾類，屬于基礎(chǔ)題 　 11．橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，若F關(guān)于直線x+y=0的對稱點(diǎn)A是橢圓C上的點(diǎn)，則橢圓C的離心率為（　?。? 　 A． B． C． D． 一l 考點(diǎn)： 橢圓的簡單性質(zhì)． 專題： 計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 分析： 求出F（﹣c，0）關(guān)于直線x+y=0的對稱點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入橢圓方程可得離心率． 解答： 解：設(shè)F（﹣c，0）關(guān)于直線x+y=0的對稱點(diǎn)A（m，n），則， ∴m=，n=c， 代入橢圓方程可得， 化簡可得e4﹣8e2+4=0， ∴e=﹣1， 故選：D． 點(diǎn)評： 本題考查橢圓的方程簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查對稱知識以及計(jì)算能力． 　 12．設(shè)函數(shù)f（x）=ax3﹣x+1（x∈R），若對于任意x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　　） 　 A． （﹣∞，2] B． [0+∞） C． [0，2] D． [1，2] 考點(diǎn)： 利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值． 專題： 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用． 分析： 對x討論，當(dāng)x=0，當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）=ax3﹣3x+1≥0可化為：aa≥﹣，設(shè)g（x）=﹣，由導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，即可求出a≥0；x∈[﹣1，0）時(shí)，求出a≤2，由此可得a的取值范圍． 解答： 解：若x=0，則不論a取何值，f（x）≥0都成立； 當(dāng)x＞0即x∈（0，1]時(shí)，f（x）=ax3﹣x+1≥0可化為： a≥﹣， 設(shè)g（x）=﹣，則g′（x）=， 所以g（x）在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞增， 因此g（x）max=g（1）=0，從而a≥0； 當(dāng)x＜0即x∈[﹣1，0）時(shí)，f（x）=ax3﹣x+1≥0可化為：a≤﹣， 設(shè)g（x）=﹣，則g′（x）=， g（x）在區(qū)間[﹣1，0）上單調(diào)遞增， 因此g（x）min=g（﹣1）=2， 從而a≤2， 則0≤a≤2． 即有實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0，2]． 故選：C． 點(diǎn)評： 本題考查不等式恒成立問題的解法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用． 　 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填寫在題中橫線上． 13．若復(fù)數(shù)z滿足z=i（2+z）（i為虛數(shù)單位），則z=　﹣1+i　． 考點(diǎn)： 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算． 專題： 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)． 分析： 根據(jù)復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算進(jìn)行求解即可． 解答： 解：由z=i（2+z）=zi+2i得（1﹣i）z=2i， 則z==﹣1+i， 故答案為：﹣1+i 點(diǎn)評： 本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，比較基礎(chǔ)． 　 14．過點(diǎn)A（3，1）的直線l與圓C：x2+y2﹣4y﹣1=0相切于點(diǎn)B，則?=　5?。? 考點(diǎn)： 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算． 專題： 平面向量及應(yīng)用． 分析： 過點(diǎn)A（3，1）的直線l與圓C：x2+y2﹣4y﹣1=0相切于點(diǎn)B，可得=0．因此?==，即可得出． 解答： 解：由圓C：x2+y2﹣4y﹣1=0配方為x2+（y﹣2）2=5．∴C（0，2），半徑r=． ∵過點(diǎn)A（3，1）的直線l與圓C：x2+y2﹣4y﹣1=0相切于點(diǎn)B， ∴=0． ∴?= =+ = =5． 故答案為：5． 點(diǎn)評： 本題考查了直線與圓相切性質(zhì)、向量的三角形法則、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題． 　 15．在三棱錐P﹣ABC中，PB=6，AC=3，G為△PAC的重心，過點(diǎn)G作三棱錐的一個(gè)截面，使截面平行于直線PB和AC，則截面的周長為　8?。? 考點(diǎn)： 棱錐的結(jié)構(gòu)特征． 專題： 計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離． 分析： 如圖所示，過G作EF∥AC，分別交PA，PC于點(diǎn)E，F(xiàn)．過點(diǎn)F作FM∥PB交BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN∥PB交AB于點(diǎn)N．由作圖可知：四點(diǎn)EFMN共面．可得=，EF=MN=2．同理可得：EN=FM=2． 解答： 解：如圖所示，過點(diǎn)G作EF∥AC，分別交PA，PC于點(diǎn)E，F(xiàn) 過點(diǎn)F作FM∥PB交BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN∥PB交AB于點(diǎn)N． 由作圖可知：EN∥FM，∴四點(diǎn)EFMN共面 可得MN∥AC∥EF，EN∥PB∥FM． ∴=， 可得EF=MN=2． 同理可得：EN=FM=2． ∴截面的周長為8． 故答案為：8． 點(diǎn)評： 本題考查了三角形重心的性質(zhì)、線面平行的判定與性質(zhì)定理、平行線分線段成比例定理，考查了推理能力用途計(jì)算能力，屬于中檔題． 　 16．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，2Sn﹣nan=n（n∈N*），若S20=﹣360，則a2=　﹣1　． 考點(diǎn)： 數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和． 專題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： 由已知得Sn=，從而，解得a1=1，進(jìn)而，由此得到{an}是等差數(shù)列，從而由已知條件利用等差數(shù)列的性質(zhì)能求出a2． 解答： 解：∵2Sn﹣nan=n（n∈N*）， ∴Sn=， ∴，解得a1=1， ∴，∴{an}是等差數(shù)列， ∵S20=﹣360，∴S20==﹣360， 解得a20+1=﹣36，即a20=﹣37， ∴19d=a20﹣a1=﹣38，解得d=﹣2， ∴a2=a1+d=1﹣2=﹣1． 故答案為：﹣1． 點(diǎn)評： 本題考查數(shù)列的第二項(xiàng)的值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用． 　 三、解答題：本大題共70分，其中（17）-（21）題為必考題，（22），（23），（24）題為選考題．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 17．（12分）（xx秋?唐山期末）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且csinB=bcos C=3． （I）求b； （Ⅱ）若△ABC的面積為，求c． 考點(diǎn)： 正弦定理；余弦定理． 專題： 計(jì)算題；解三角形． 分析： （Ⅰ）由正弦定理得sinC=cosC，可得C=45，由bcosC=3，即可求得b的值． （Ⅱ）由S=acsinB=，csinB=3，可求得a，據(jù)余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC=25，即可求得c的值． 解答： 解：（Ⅰ）由正弦定理得sinCsinB=sinBcosC， 又sinB≠0，所以sinC=cosC，C=45． 因?yàn)閎cosC=3， 所以b=3．…（6分） （Ⅱ）因?yàn)镾=acsinB=，csinB=3， 所以a=7． 據(jù)余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC=25， 所以c=5．…（12分） 點(diǎn)評： 本題主要考查了正弦定理、余弦定理 面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題． 　 18．（12分）（xx秋?唐山期末）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是平行四邊形，PA⊥底面ABCD，∠PCD=90，PA=AB=AC． （I）求證：AC⊥CD； （Ⅱ）點(diǎn)E在棱PC上，滿足∠DAE=60，求二面角B﹣AE﹣D的余弦值． 考點(diǎn)： 用空間向量求平面間的夾角；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系． 專題： 空間位置關(guān)系與距離；空間角． 分析： （Ⅰ）通過線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理即得結(jié)論； （Ⅱ）以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以為x軸正方向、以||為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系．利用∠DAE=60即cos＜，＞=可得=（0，，），通過cos＜，＞=即得二面角B﹣AE﹣D的余弦值為． 解答： （Ⅰ）證明：因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以PA⊥CD， 因?yàn)椤螾CD=90，所以PC⊥CD， 所以CD⊥平面PAC，所以CD⊥AC； （Ⅱ）解：∵底面ABCD是平行四邊形，CD⊥AC，∴AB⊥AC． 又PA⊥底面ABCD，∴AB，AC，AP兩兩垂直． 如圖所示，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以為x軸正方向、以||為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系． 則B（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，1），D（﹣1，1，0）． 設(shè)=λ=λ（0，1，﹣1），則=+=（0，λ，1﹣λ）， 又∠DAE=60，則cos＜，＞=， 即=，解得λ=． 則=（0，，），=﹣=（﹣1，，﹣）， 所以cos＜，＞==﹣． 因?yàn)?=0，所以⊥． 又⊥，故二面角B﹣AE﹣D的余弦值為﹣． 點(diǎn)評： 本題考查空間中線線垂直的判定，以及求二面角的三角函數(shù)值，注意解題方法的積累，屬于中檔題． 　 19．（12分）（xx秋?唐山期末）某城市有東西南北四個(gè)進(jìn)入城區(qū)主干道的入口，在早高峰時(shí)間段，時(shí)常發(fā)生交通擁堵現(xiàn)象，交警部門統(tǒng)計(jì)11月份30天內(nèi)的擁堵天數(shù)．東西南北四個(gè)主干道入口的擁堵天數(shù)分別是18天，15天，9天，15天．假設(shè)每個(gè)入口發(fā)生擁堵現(xiàn)象互相獨(dú)立，視頻率為概率． （I）求該城市一天中早高峰時(shí)間段恰有三個(gè)入口發(fā)生擁堵的概率； （Ⅱ）設(shè)翻乏示一天中早高峰時(shí)間段發(fā)生擁堵的主干道入口個(gè)數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望． 考點(diǎn)： 離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列． 專題： 概率與統(tǒng)計(jì)． 分析： （Ⅰ）設(shè)東西南北四個(gè)主干道入口發(fā)生擁堵分別為事件A，B，C，D，設(shè)一天恰有三個(gè)入口發(fā)生擁堵為事件M，則M=BCD+ACD+ABD+ABC．由此能求出該城市一天中早高峰時(shí)間段恰有三個(gè)入口發(fā)生擁堵的概率． （Ⅱ）ξ的可能取值為0，1，2，3，4．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望． 解答： 解：（Ⅰ）設(shè)東西南北四個(gè)主干道入口發(fā)生擁堵分別為事件A，B，C，D． 則P（A）==，P（B）==，P（C）==，P（D）==． 設(shè)一天恰有三個(gè)入口發(fā)生擁堵為事件M，則 M=BCD+ACD+ABD+ABC． 則P（M）=+++=．…（5分） （Ⅱ）ξ的可能取值為0，1，2，3，4． P（ξ=0）==， P（ξ=1）==， P（ξ=2）=， P（ξ=3）==， P（ξ=4）=． ξ的分布列為： ξ 0 1 2 3 4 p E（ξ）=0+3+4=．…（12分） 點(diǎn)評： 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合的合理運(yùn)用，是中檔題． 　 20．（12分）（xx秋?唐山期末）已知拋物線y2=2px（p＞0），過點(diǎn)C（一2，0）的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，?=12． （I）求拋物線的方程； （Ⅱ）當(dāng)以AB為直徑的圓與y軸相切時(shí)，求直線l的方程． 考點(diǎn)： 拋物線的簡單性質(zhì)． 專題： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 分析： （Ⅰ）設(shè)l：x=my﹣2，代入y2=2px，可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用?=12，可得x1x2+y1y2=12，代入即可得出． （Ⅱ）由（Ⅰ）（?）化為y2﹣4my+8=0．設(shè)AB的中點(diǎn)為M，可得|AB|=2xm=x1+x2=m（y1+y2）﹣4=4m2﹣4，又|AB|=|y1﹣y2|=，聯(lián)立解出m即可得出． 解答： 解：（Ⅰ）設(shè)l：x=my﹣2，代入y2=2px， 可得y2﹣2pmy+4p=0．（?） 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）， 則y1+y2=2pm，y1y2=4p， 則x1x2==4． ∵?=12， ∴x1x2+y1y2=12， 即4+4p=12， 得p=2，拋物線的方程為y2=4x． （Ⅱ）由（Ⅰ）（?）化為y2﹣4my+8=0． y1+y2=4m，y1y2=8． 設(shè)AB的中點(diǎn)為M， 則|AB|=2xm=x1+x2=m（y1+y2）﹣4=4m2﹣4，① 又|AB|=|y1﹣y2|=，② 由①②得（1+m2）（16m2﹣32）=（4m2﹣4）2， 解得m2=3，m=． ∴直線l的方程為x+y+2=0，或x﹣y+2=0． 點(diǎn)評： 本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、焦點(diǎn)弦長公式、弦長公式、直線與圓相切的性質(zhì)、數(shù)量積運(yùn)算，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題． 　 21．（12分）（xx秋?唐山期末）己知函數(shù)f（x）=aex+x2，g（x）=sin+bx，直線l與曲線y=f（x）切于點(diǎn)（0，f（0））且與曲線y=g（x）切于點(diǎn)（1，g（1））． （I）求a，b的值和直線l的方程． （Ⅱ）證明：f（x）＞g（x） 考點(diǎn)： 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值． 專題： 導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用． 分析： （Ⅰ）分別求出f（x）、g（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切線方程，再由切線唯一，即可求得a，b和切線方程； （Ⅱ）設(shè)F（x）=f（x）﹣（x+1）=ex+x2﹣x﹣1，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，求得最小值大于0，再設(shè)G（x）=x+1﹣g（x），由正弦函數(shù)的值域可得G（x）≥0，即可得到f（x）＞g（x），即可得證． 解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=aex+2x，g′（x）=cos+b， 即有f（0）=a，f′（0）=a，g（1）=1+b，g′（1）=b， 曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線為y=ax+a， 曲線y=g（x）在點(diǎn)（1，g（1））處的切線為y=b（x﹣1）+1+b， 即y=bx+1． 依題意，有a=b=1，直線l方程為y=x+1． （Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知f（x）=ex+x2，g（x）=sin+x． 設(shè)F（x）=f（x）﹣（x+1）=ex+x2﹣x﹣1，則F′（x）=ex+2x﹣1， 當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜F′（0）=0； 當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）＞F′（0）=0． F（x）在（﹣∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增， 故F（x）≥F（0）=0． 設(shè)G（x）=x+1﹣g（x）=1﹣sin， 則G（x）≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=4k+1（k∈Z）時(shí)等號成立． 由上可知，f（x）≥x+1≥g（x），且兩個(gè)等號不同時(shí)成立， 因此f（x）＞g（x）． 點(diǎn)評： 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，同時(shí)考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題和易錯(cuò)題． 　 請考生在第（22），（23），（24）三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．作答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑．選修4-1：幾何證明選講 22．（10分）（xx秋?唐山期末）如圖，四邊形么BDC內(nèi)接于圓，BD=CD，過C點(diǎn)的圓的切線與AB的延長線交于E點(diǎn)． （I）求證：∠EAC=2∠DCE； （Ⅱ）若BD⊥AB，BC=BE，AE=2，求AB的長． 考點(diǎn)： 與圓有關(guān)的比例線段；弦切角． 專題： 推理和證明． 分析： （Ⅰ）由等腰三角形性質(zhì)得∠BCD=∠CBD，由弦切角定理得∠ECD=∠CBD，從而∠BCE=2∠ECD，由此能證明∠EAC=2∠ECD． （Ⅱ）由已知得AC⊥CD，AC=AB，由BC=BE，得AC=EC．由切割線定理得EC2=AE?BE，由此能求出AB的長． 解答： （Ⅰ）證明：因?yàn)锽D=CD，所以∠BCD=∠CBD． 因?yàn)镃E是圓的切線，所以∠ECD=∠CBD． 所以∠ECD=∠BCD，所以∠BCE=2∠ECD． 因?yàn)椤螮AC=∠BCE，所以∠EAC=2∠ECD．…（5分） （Ⅱ）解：因?yàn)锽D⊥AB，所以AC⊥CD，AC=AB． 因?yàn)锽C=BE，所以∠BEC=∠BCE=∠EAC，所以AC=EC． 由切割線定理得EC2=AE?BE，即AB2=AE?（ AE﹣AB），即 AB2+2 AB﹣4=0，解得AB=﹣1．…（10分） 點(diǎn)評： 本題考查一個(gè)角是另一個(gè)角的二倍的證明，考查線段長的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意弦切角定理、切割線定理的合理運(yùn)用． 　 選修4-4；坐標(biāo)系與參數(shù)方程 23．（xx秋?唐山期末）極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，兩種坐標(biāo)系中的長度單位相同，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2（cosθ+sinθ），斜率為的直線l交y軸于點(diǎn)E（0，1）． （I）求C的直角坐標(biāo)方程，l的參數(shù)方程； （Ⅱ）直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，求|EA|+|EB|． 考點(diǎn)： 簡單曲線的極坐標(biāo)方程． 專題： 直線與圓． 分析： （I）由ρ=2（cosθ+sinθ），得ρ2=2（ρcosθ+ρsinθ），把代入即可得出；由斜率為的直線l交y軸于點(diǎn)E（0，1）即可得出直線的參數(shù)方程． （II）將代入（x﹣1）2+（y﹣1）2=2得t2﹣t﹣1=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、直線參數(shù)的意義即可得出． 解答： 解：（Ⅰ）由ρ=2（cosθ+sinθ），得ρ2=2（ρcosθ+ρsinθ）， 即x2+y2=2x+2y，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2． l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，t∈R）， （Ⅱ）將代入（x﹣1）2+（y﹣1）2=2得t2﹣t﹣1=0， 解得，t1=，t2=． 則|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|=． 點(diǎn)評： 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、直線方程的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題． 　 選修4-5：不等式選講 24．（xx?河南二模）設(shè)函數(shù)f（x）=|x+1|+|x|（x∈R）的最小值為a． （I）求a； （Ⅱ）已知兩個(gè)正數(shù)m，n滿足m2+n2=a，求+的最小值． 考點(diǎn)： 絕對值三角不等式；基本不等式． 專題： 不等式的解法及應(yīng)用． 分析： （I）化簡函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最小值，再根據(jù)函數(shù)的最小值為a，求得a的值． （Ⅱ）由（Ⅰ）知m2+n2=1，利用基本不等式求得≥2，再利用基本不等式求得+的最小值． 解答： 解：（I）函數(shù)f（x）=|x+1|+|x|=， 當(dāng)x∈（﹣∞，0]時(shí)，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）單調(diào)遞增， 所以當(dāng)x=0時(shí)，f（x）的最小值a=1． （Ⅱ）由（Ⅰ）知m2+n2=1，由m2+n2≥2mn，得mn≤，∴≥2 故有 +≥2≥2，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=時(shí)取等號． 所以+的最小值為2． 點(diǎn)評： 本題主要考查帶有絕對值的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．