2019-2020年高考數(shù)學(xué)考試萬(wàn)能工具包 第二篇 考前必看解題技巧 專(zhuān)題2.2 套用18個(gè)解題模板.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)考試萬(wàn)能工具包 第二篇 考前必看解題技巧 專(zhuān)題2.2 套用18個(gè)解題模板模板一求函數(shù)值例1已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.當(dāng)x0,0的情況;(3)將x+視為一個(gè)整體.解題思路為:【變式訓(xùn)練】【xx遼寧省凌源市模擬】已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值與最大值之和為_(kāi)模板五三角函數(shù)的圖象變換例5將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，再向右平移(0)個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值是()A. B. C. D. 【答案】D模板構(gòu)建三角函數(shù)圖象變換的主要類(lèi)型:在x軸方向上的左、右平移變換,在y軸方向上的上、下平移變換,在x軸或y軸方向上的伸縮變換.其基本步驟如下:【變式訓(xùn)練】【xx湖南省長(zhǎng)郡中學(xué)模擬】為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象（ ）A. 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B. 向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C. 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D. 向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度模板六解三角形例6【xx湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué)模擬】已知在中， 是邊上的點(diǎn)，且， ， ,則的值為 （ ）A. B. C. D. 【答案】A.模板構(gòu)建利用正弦定理、余弦定理都可以進(jìn)行三角形的邊、角之間的互化,當(dāng)已知三角形的兩邊及一邊的對(duì)角,或已知兩角及一角的對(duì)邊時(shí),可以利用正弦定理求解三角形中的有關(guān)量;如果已知三邊或兩邊及其夾角,則可利用余弦定理進(jìn)行求解.其基本思路如下:【變式訓(xùn)練】【xx河南省南陽(yáng)市第一中學(xué)模擬】在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.（1）求；（2）若的面積為，求的周長(zhǎng).模板七利用函數(shù)性質(zhì)解不等式例7已知定義在上的偶函數(shù)在上遞減且，則不等式的解集為_(kāi)【答案】模板構(gòu)建函數(shù)性質(zhì)法主要適用于解決抽象函數(shù)對(duì)應(yīng)的不等式問(wèn)題.其解題要點(diǎn)如下:【變式訓(xùn)練】【xx吉林省實(shí)驗(yàn)中模擬】設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是A. B. C. D. 模板八利用基本不等式求最值例8設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x23xy4y2z0，則當(dāng)取得最大值時(shí)， 的最大值為_(kāi)【答案】1【解析】由x23xy4y2z0，得zx23xy4y2，模板構(gòu)建拼湊法就是將函數(shù)解析式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?通過(guò)添項(xiàng)、拆項(xiàng)等方法湊成和為定值或積為定值的形式,然后利用基本不等式求最值.應(yīng)用此法求最值的基本思路如下:【變式訓(xùn)練】已知,且滿足,那么的最小值為_(kāi).模板九不等式恒成立問(wèn)題例9【xx河南省中原名校聯(lián)考】已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)， 恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】記函數(shù)在上的最小值為: 的定義域?yàn)?令，得或.時(shí)，對(duì)任意的,， 在上單調(diào)遞增， 的最小值為當(dāng)時(shí)，的最小值為;故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選C.模板構(gòu)建分離參數(shù)法是求解不等式恒成立問(wèn)題的常用方法,其解題要點(diǎn)如下:【變式訓(xùn)練】（）設(shè)不等式對(duì)滿足的一切實(shí)數(shù)的取值都成立，求的取值范圍； （）是否存在實(shí)數(shù),使得不等式對(duì)滿足的一切實(shí)數(shù)的取值都成立模板十簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題例10已知， 滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為_(kāi)【答案】【解析】模板構(gòu)建線性規(guī)劃問(wèn)題是指在線性約束條件下求解線性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題,解決此類(lèi)問(wèn)題最基本的方法是數(shù)形結(jié)合法.其基本的解題步驟如下:【變式訓(xùn)練】【xx遼寧省凌源市聯(lián)考】已知實(shí)數(shù)滿足則的最小值為_(kāi)模板十一數(shù)列的通項(xiàng)與求和例11【xx湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué)模擬】已知等差數(shù)列中， ，數(shù)列中， .（1）分別求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）定義， 是的整數(shù)部分， 是的小數(shù)部分，且.記數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.兩式相減，得故.模板構(gòu)建數(shù)列的通項(xiàng)與求和問(wèn)題的解題步驟如下:【變式訓(xùn)練】【xx貴州省貴陽(yáng)市第一中學(xué)模擬】已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別是且， ；等差數(shù)列 的公差 .（）若角及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若數(shù)列滿足 ，求數(shù)列的前項(xiàng)和.模板十二空間中的平行與垂直例12【xx南京市、鹽城市一模】如圖所示，在直三棱柱中， ，點(diǎn)分別是的中點(diǎn).（1）求證： 平面；（2）若，求證： .【解析】證明：（1）因?yàn)槭侵比庵?，且，又點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，所以，且則由側(cè)面底面，側(cè)面底面，且底面，得側(cè)面 又側(cè)面，所以 又， 平面，且，所以平面 又平面，所以模板構(gòu)建證明空間中的平行與垂直的步驟如下:【變式訓(xùn)練】如圖， 為圓柱的母線， 是底面圓的直徑， 是的中點(diǎn).（）問(wèn)： 上是否存在點(diǎn)使得平面？請(qǐng)說(shuō)明理由；（）在（）的條件下，若平面，假設(shè)這個(gè)圓柱是一個(gè)大容器，有條體積可以忽略不計(jì)的小魚(yú)能在容器的任意地方游弋，如果小魚(yú)游到四棱錐外會(huì)有被捕的危險(xiǎn)，求小魚(yú)被捕的概率.模板十三求空間角例13【xx吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬】如圖， 為圓的直徑，點(diǎn)， 在圓上， ，矩形和圓所在的平面互相垂直，已知， （）求證：平面平面；（）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為何值時(shí)，二面角的大小為（）設(shè)中點(diǎn)為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)， 方向分別為軸、軸、軸方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）設(shè)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，又，因此，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為時(shí)，平面與平面所成的銳二面角的大小為60。模板構(gòu)建空間角的求解可以用向量法.向量法是通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系把空間圖形的幾何特征代數(shù)化,避免尋找角和垂線段等諸多麻煩,使空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的判定和計(jì)算程序化、簡(jiǎn)單化,具體步驟如下:【變式訓(xùn)練】在四棱柱中，底面是正方形，且， （1）求證： ；（2）若動(dòng)點(diǎn)在棱上，試確定點(diǎn)的位置，使得直線與平面所成角的正弦值為模板十四直線與圓的位置關(guān)系例14【xx四川省綿陽(yáng)市南山中學(xué)模擬】若圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為，則直線的斜率的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】圓可化為 則圓心為（-2，2），半徑為3，1+ 由直線l的斜率k=-則上式可化為k2+4k+10解得 故選B模板構(gòu)建幾何法是通過(guò)比較圓心到直線的距離與圓的半徑的大小來(lái)確定直線和圓的位置關(guān)系的方法,其基本步驟如下:【變式訓(xùn)練】【xx北京市豐臺(tái)區(qū)模擬】已知直線和圓交于兩點(diǎn)，則_模板十五圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題例15【xx遼寧省凌源模擬】知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn).過(guò)橢圓右焦點(diǎn)且不與軸重合的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且. （1）求橢圓的方程；（2）若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，且直線與軸交于點(diǎn)，求面積的最大值.【解析】（I )依題意， 解得，故橢圓的方程為；（2）依題意，橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線，直線與橢圓方程聯(lián)立 化簡(jiǎn)并整理得，由題設(shè)知直線的方程為，令得 ，點(diǎn)(當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立)的面積存在最大值，最大值為1. 模板構(gòu)建與圓錐曲線有關(guān)的最值問(wèn)題的變化因素多,解題時(shí)需要在變化的過(guò)程中掌握運(yùn)動(dòng)規(guī)律,抓住主變?cè)?目標(biāo)函數(shù)法是避免此類(lèi)問(wèn)題出錯(cuò)的法寶,應(yīng)注意目標(biāo)函數(shù)式中自變量的限制條件(如直線與橢圓相交,0等).解題步驟如下:【變式訓(xùn)練】(xx合肥市質(zhì)檢)已知點(diǎn)F為橢圓E： (ab0)的左焦點(diǎn)，且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，直線與橢圓E有且僅有一個(gè)交點(diǎn)M.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)直線與y軸交于P，過(guò)點(diǎn)P的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B，若|PM|2|PA|PB|，求實(shí)數(shù)的取值范圍模板十六圓錐曲線中的探索性問(wèn)題例16在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C:y=與直線l:y=kx+a(a0)交于M,N兩點(diǎn).(1)當(dāng)k=0時(shí),分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程;(2)在y軸上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí),總有OPM=OPN?說(shuō)明理由.解析(1)由題設(shè)可得M(2,a),N(-2,a)或M(-2,a),N(2,a).因?yàn)閥=x,所以y=在x=2處的導(dǎo)數(shù)值為,所以曲線C在(2,a)處的切線方程為y-a=(x-2),即x-y-a=0.y=在x=-2處的導(dǎo)數(shù)值為-,所以曲線C在(-2,a)處的切線方程為y-a=-(x+2),即x+y+a=0.故所求切線方程為x-y-a=0和x+y+a=0.(2)假設(shè)存在符合題意的點(diǎn)P(0,b),(假設(shè)存在)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),直線PM,PN的斜率分別為k1,k2.將y=kx+a代入曲線C的方程,整理得x2-4kx-4a=0,(聯(lián)立方程)所以x1+x2=4k,x1x2=-4a,所以k1+k2=+=.當(dāng)b=-a時(shí),有k1+k2=0,則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ),故OPM=OPN,所以存在點(diǎn)P(0,-a)符合題意.(得出結(jié)論)模板構(gòu)建圓錐曲線中的探索性問(wèn)題在高考中多以解答題的形式呈現(xiàn),常用假設(shè)存在法求解,其解題要點(diǎn)如下:【變式訓(xùn)練】【xx湖南師大附中模擬】已知拋物線C：y22px(p0)的焦點(diǎn)F與橢圓： y21的一個(gè)焦點(diǎn)重合，點(diǎn)M(x0，2)在拋物線上，過(guò)焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)()求拋物線C的方程以及|MF|的值；()記拋物線C的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)H，試問(wèn)是否存在常數(shù)R，使得且|HA|2|HB|2都成立？若存在，求出實(shí)數(shù)的值； 若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由模板十七離散型隨機(jī)變量例17【xx遼寧省凌源市模擬】共享單車(chē)因綠色、環(huán)保、健康的出行方式，在國(guó)內(nèi)得到迅速推廣.最近，某機(jī)構(gòu)在某地區(qū)隨機(jī)采訪了10名男士和10名女士，結(jié)果男士、女士中分別有7人、6人表示“經(jīng)常騎共享單車(chē)出行”，其他人表示“較少或不選擇騎共享單車(chē)出行”.（1）從這些男士和女士中各抽取一人，求至少有一人“經(jīng)常騎共享單車(chē)出行”的概率；（2）從這些男士中抽取一人，女士中抽取兩人，記這三人中“經(jīng)常騎共享單車(chē)出行”的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.故隨機(jī)變量的分布列為的數(shù)學(xué)期望.模板構(gòu)建公式法就是直接利用古典概型、互斥事件、對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件以及獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、條件概率等的求解方法或計(jì)算公式求解離散型隨機(jī)變量的概率的方法.其基本步驟如下:【變式訓(xùn)練】某城市隨機(jī)抽取一年（365天）內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)（Air Pollution Index）的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：大于300空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良輕微污染輕度污染中度污染中度重污染重度污染天數(shù)101520307612（）若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖季，其中有7天為重度污染，完成下面列聯(lián)表，并判斷能否有的把握認(rèn)為該市本年空氣重度污染與供暖有關(guān)？非重度污染重度污染合計(jì)供暖季非供暖季合計(jì)1000.250.150.100.050.0250.0100.0050.0011.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828附： （）政府要治理污染，決定對(duì)某些企業(yè)生產(chǎn)進(jìn)行管控，當(dāng)在區(qū)間時(shí)企業(yè)正常生產(chǎn)；當(dāng)在區(qū)間時(shí)對(duì)企業(yè)限產(chǎn)（即關(guān)閉的產(chǎn)能），當(dāng)在區(qū)間時(shí)對(duì)企業(yè)限產(chǎn)，當(dāng)在300以上時(shí)對(duì)企業(yè)限產(chǎn)，企業(yè)甲是被管控的企業(yè)之一，若企業(yè)甲正常生產(chǎn)一天可得利潤(rùn)2萬(wàn)元，若以頻率當(dāng)概率，不考慮其他因素：在這一年中隨意抽取5天，求5天中企業(yè)被限產(chǎn)達(dá)到或超過(guò)的恰為2天的概率；求企業(yè)甲這一年因限產(chǎn)減少的利潤(rùn)的期望值模板十八線性回歸方程例18某種設(shè)備的使用年限x和維修費(fèi)用y(萬(wàn)元),有以下的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):x/年3456y/萬(wàn)元2.5344.5(1)畫(huà)出上表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程y=x+.解析(1)由題意知使用年限x和維修費(fèi)用y的樣本數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)分別為(3,2.5),(4,3),(5,4),(6,4.5).(構(gòu)建坐標(biāo))在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出散點(diǎn)圖如圖所示.(畫(huà)圖)(2)xiyi=32.5+43+54+64.5=66.5,=32+42+52+62=86,=(3+4+5+6)=4.5,=(2.5+3+4+4.5)=3.5,(計(jì)算)所以=0.7,=-=3.5-0.74.5=0.35,(代公式)所以所求的線性回歸方程為y=0.7x+0.35.(得結(jié)果)模板構(gòu)建線性回歸方程常用來(lái)預(yù)估某變量的值,因此選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)是解題的關(guān)鍵,一般解題要點(diǎn)如下:(1)作圖.依據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖,確定兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系.(2)計(jì)算.計(jì)算出,xiyi的值;計(jì)算回歸系數(shù),.(3)求方程.寫(xiě)出線性回歸直線方程y=x+.【變式訓(xùn)練】【xx湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué)模擬】2017年4月1日，新華通訊社發(fā)布：國(guó)務(wù)院決定設(shè)立河北雄安新區(qū).消息一出，河北省雄縣、容城、安新3縣及周邊部分區(qū)域迅速成為海內(nèi)外高度關(guān)注的焦點(diǎn).（1）為了響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，北京市某高校立即在所屬的8個(gè)學(xué)院的教職員工中作了“是否愿意將學(xué)校整體搬遷至雄安新區(qū)”的問(wèn)卷調(diào)查，8個(gè)學(xué)院的調(diào)查人數(shù)及統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：調(diào)查人數(shù)()1020304050607080愿意整體搬遷人數(shù)()817253139475566請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出變量關(guān)于變量的線性回歸方程（保留小數(shù)點(diǎn)后兩位有效數(shù)字）；若該校共有教職員工2500人，請(qǐng)預(yù)測(cè)該校愿意將學(xué)校整體搬遷至雄安新區(qū)的人數(shù)；（2）若該校的8位院長(zhǎng)中有5位院長(zhǎng)愿意將學(xué)校整體搬遷至雄安新區(qū)，現(xiàn)該校擬在這8位院長(zhǎng)中隨機(jī)選取4位院長(zhǎng)組成考察團(tuán)赴雄安新區(qū)進(jìn)行實(shí)地考察，記為考察團(tuán)中愿意將學(xué)校整體搬遷至雄安新區(qū)的院長(zhǎng)人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考公式及數(shù)據(jù)： .答案部分模板一求函數(shù)值【變式訓(xùn)練】【答案】Af(8)= ，f(5)= ，所以f(8)f(5)=2故選A模板二函數(shù)的圖象【變式訓(xùn)練】【答案】D【解析】為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除；當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，即在區(qū)間上遞增，且，又在區(qū)間上，排除B；當(dāng)時(shí)， ，排除C，故選D.模板三函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題【變式訓(xùn)練】【答案】【解析】作圖，由圖可得實(shí)數(shù)m的取值范圍是模板四三角函數(shù)的性質(zhì)【變式訓(xùn)練】【答案】模板五三角函數(shù)的圖象變換【變式訓(xùn)練】【答案】C【解析】= 所以需把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)故選C模板六解三角形【變式訓(xùn)練】【解析】（1）由題意及正弦定理得，又，的周長(zhǎng)為. 模板七利用函數(shù)性質(zhì)解不等式【變式訓(xùn)練】【答案】A【解析】為偶函數(shù)，且在 單調(diào)遞增，因?yàn)?，所?選A.模板八利用基本不等式求最值【變式訓(xùn)練】【答案】【解析】由，得=當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)等號(hào)成立的最小值為模板九不等式恒成立問(wèn)題【變式訓(xùn)練】【解析】（）不等式可化為， 滿足條件的的取值范圍為. （）令 ，使的一切實(shí)數(shù)都有.當(dāng)時(shí)， 在時(shí)， ，不滿足題意；當(dāng)時(shí)， 只需滿足下式或或 解之得上述不等式組的解集均為空集，故不存在滿足條件的的值.模板十簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題【變式訓(xùn)練】【答案】【解析】作出不等式組所對(duì)應(yīng)的可行域，如圖所示：當(dāng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)， 有最小值為.故選： 模板十一數(shù)列的通項(xiàng)與求和相減得， 則. 模板十二空間中的平行與垂直【變式訓(xùn)練】【解析】（）存在，E是的中點(diǎn) 證明：如圖 由平面，且由（）知，平面，又是中點(diǎn)，因是底面圓的直徑，得，且，平面，即為四棱錐的高 設(shè)圓柱高為，底面半徑為，則， ， ，即 模板十三求空間角【變式訓(xùn)練】【解析】（1）連接， ， ，因?yàn)椋?，所以和均為正三角形，于是設(shè)與的交點(diǎn)為，連接，則，又四邊形是正方形，所以，而，所以平面所以、兩兩垂直如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 的方向?yàn)檩S的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則， ， ， ， ， ， ，由，易求得設(shè)（），則，即，所以模板十四直線與圓的位置關(guān)系【變式訓(xùn)練】【答案】2【解析】圓，表示圓心為(1,0)，半徑為1的圓.圓心（1，0）滿足直線，即該直線過(guò)圓心，所以.答案為：2.模板十五圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題【變式訓(xùn)練】【解析】 (1)由題意，得a2c，bc，則橢圓E為.直線與y軸交于P(0,2)，|PM|2，當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，|PA|PB|(2)(2)1，|PM|2|PA|PB|，當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(34k2)x216kx40，依題意得，x1x2，且48(4k21)0，|PA|PB|(1k2)x1x2(1k2)1， (1)，k2，1.綜上所述，的取值范圍是，1)模板十六圓錐曲線中的探索性問(wèn)題【變式訓(xùn)練】【解析】()依題意，橢圓：y21中，a22，b21，故c2a2b21，故F，故1，則2p4，故拋物線C的方程為y24x，將M代入y24x，解得x01，故12. ()(法一)依題意，F(xiàn)，設(shè)l：xty1，設(shè)A，B，聯(lián)立方程，消去x，得y24ty40. 且，又則，即y1y2，代入模板十七離散型隨機(jī)變量【變式訓(xùn)練】【解析】（）根據(jù)以上數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：非重度污染重度污染合計(jì)供暖季23730非供暖季65570合計(jì)8812100，企業(yè)甲這一年的利潤(rùn)的期望值為 萬(wàn)元，故企業(yè)甲這一年因限產(chǎn)減少的利潤(rùn)的期望值是萬(wàn)元模板十八線性回歸方程【變式訓(xùn)練】【解析】（1）由已知有 ，,故變量 關(guān)于變量 的線性回歸方程為，所以當(dāng) 時(shí)， .（2）由題意可知的可能取值有1，2,3,4.，.所以 的分布列為1234