2019-2020年高三全國高校招生模擬考試數(shù)學（理）試題.doc

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2019-2020年高三全國高校招生模擬考試數(shù)學（理）試題一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，滿分50分，只有一個選項符號題目要求）1已知集合A=x|x22x0，B=x|0，則A（RB）=（）Ax|0x1Bx|1x2Cx|0x1Dx|1x2【考點】交、并、補集的混合運算【專題】集合【分析】分別求出A與B中不等式的解集，確定出A與B，根據(jù)全集R求出B的補集，找出A與B補集的交集即可【解答】解：集合A=x|x22x0，B=x|0，A=x|0x2，B=x|x1，或x1，RBx|1x1，A（RB）=x|0x1，故選：C【點評】此題考查了交、并、補集的混合運算，熟練掌握各自的定義是解本題的關鍵2函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則實數(shù)的取值范圍（ ）A B C D【答案】C3山西陽泉某校在暑假組織社會實踐活動，將8名高一年級學生，平均分配甲、乙兩家公司，其中兩名英語成績優(yōu)秀學生不能分給同一個公司；另三名電腦特長學生也不能分給同一個公司，則不同的分配方案有（）A36種B38種C108種D114種【考點】計數(shù)原理的應用【專題】排列組合【分析】分類討論：甲部門要2個電腦特長學生和一個英語成績優(yōu)秀學生；甲部門要1個電腦特長學生和1個英語成績優(yōu)秀學生分別求得這2個方案的方法數(shù)，再利用分類計數(shù)原理，可得結論【解答】解：由題意可得，有2種分配方案：甲部門要2個電腦特長學生，則有3種情況；英語成績優(yōu)秀學生的分配有2種可能；再從剩下的3個人中選一人，有3種方法根據(jù)分步計數(shù)原理，共有323=18種分配方案甲部門要1個電腦特長學生，則方法有3種；英語成績優(yōu)秀學生的分配方法有2種；再從剩下的3個人種選2個人，方法有33種，共323=18種分配方案由分類計數(shù)原理，可得不同的分配方案共有18+18=36種，故選A【點評】本題考查計數(shù)原理的運用，根據(jù)題意分步或分類計算每一個事件的方法數(shù)，然后用乘法原理和加法原理計算，是解題的常用方法4執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的x的值為2，則輸出的x的值為（）A3B126C127D128【考點】程序框圖【專題】算法和程序框圖【分析】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是利用循環(huán)計算x值并輸出，模擬程序的運行過程，即可得到答案【解答】解：當輸出的x=2時，執(zhí)行循環(huán)體后，x=3，不滿足退出循環(huán)的條件，當x=3時，執(zhí)行循環(huán)體后，x=7，不滿足退出循環(huán)的條件，當x=7時，執(zhí)行循環(huán)體后，x=127，滿足退出循環(huán)的條件，故輸出的x值為127故選：C【點評】本題考查的知識點是程序框圖，在寫程序的運行結果時，模擬程序的運行過程是解答此類問題最常用的辦法5某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積是（）ABCD【考點】由三視圖求面積、體積【專題】計算題；空間位置關系與距離【分析】根據(jù)已知中的三視圖可分析出該幾何體的直觀圖，代入棱錐體積公式可得答案【解答】解：幾何體如圖所示，則V=，故選：A【點評】本題考查的知識點是由三視圖求體積，正確得出直觀圖是解答的關鍵6 有兩個等差數(shù)列，其前項和分別為和，若，則A B C D【答案】D【考點】考查等差數(shù)列的通項公式。7已知雙曲線=1的一個焦點與拋物線y2=4x的焦點重合，且雙曲線的漸近線方程為y=x，則該雙曲線的方程為（）A=1By2=1Cx2=1D=1【考點】雙曲線的簡單性質【專題】計算題；圓錐曲線的定義、性質與方程【分析】首先根據(jù)雙曲線的焦點和拋物線的焦點重合，建立a，b，c的關系式，進一步利用雙曲線的漸近線建立關系式，進一步確定a和b的值，最后求出雙曲線的方程【解答】解：已知拋物線y2=4x的焦點和雙曲線的焦點重合，則雙曲線的焦點坐標為（，0），即c=，又因為雙曲線的漸近線方程為y=x，則有a2+b2=c2=10和=，解得a=3，b=1所以雙曲線的方程為：y2=1故選B【點評】本題主要考查的知識要點：雙曲線方程的求法，漸近線的應用屬于基礎題8在正方體8個頂點中任選3個頂點連成三角形，則所得的三角形是等腰直角三角形的概率為（）ABCD【考點】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率【專題】概率與統(tǒng)計【分析】總的事件數(shù)是C83，而從正方體的8個頂點中任取3個頂點可形成的等腰直角三角形的個數(shù)按所選取的三個頂點是只能是來自于該正方體的同一個面根據(jù)概率公式計算即可【解答】解：正方體8個頂點中任選3個頂點連成三角形，所得的三角形是等腰直角三角形只能在各個面上，在每一個面上能組成等腰直角三角形的有四個，所以共有46=24個，而在8個點中選3個點的有C83=56，所以所求概率為=故選：C【點評】本題是一個古典概型問題，學好古典概型可以為其它概率的學習奠定基礎，同時有利于理解概率的概念，有利于計算一些事件的概率，有利于解釋生活中的一些問題9設定義域為（0，+）的單調函數(shù)f（x），對任意的x（0，+），都有ff（x）lnx=e+1，若x0是方程f（x）f（x）=e的一個解，則x0可能存在的區(qū)間是（）A（0，1）B（e1，1）C（0，e1）D（1，e）【考點】函數(shù)零點的判定定理；導數(shù)的運算【專題】函數(shù)的性質及應用【分析】由題意知：f（x）lnx為常數(shù)，令f（x）lnx=k（常數(shù)），則f（x）=lnx+k由ff（x）lnx=e+1，得f（k）=e+1，又f（k）=lnk+k=e+1，所以f（x）=lnx+e，再用零點存在定理驗證，【解答】解：由題意知：f（x）lnx為常數(shù)，令f（x）lnx=k（常數(shù)），則f（x）=lnx+k由ff（x）lnx=e+1，得f（k）=e+1，又f（k）=lnk+k=e+1，所以f（x）=lnx+e，f（x）=，x0f（x）f（x）=lnx+e，令g（x）=lnx+e=lnx，x（0，+）可判斷：g（x）=lnx，x（0，+）上單調遞增，g（1）=1，g（e）=10，x0（1，e），g（x0）=0，x0是方程f（x）f（x）=e的一個解，則x0可能存在的區(qū)間是（1，e）故選：D【點評】本題考查了函數(shù)的單調性，零點的判斷，構造思想，屬于中檔題10如圖，已知雙曲線=1（a0，b0）的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，|F1F2|=4，P是雙曲線右支上一點，直線PF2交y軸于點A，AF1P的內(nèi)切圓切邊PF1于點Q，若|PQ|=1，則雙曲線的漸近線方程為（）Ay=xBy=3xCy=xDy=x【考點】雙曲線的簡單性質【專題】直線與圓；圓錐曲線的定義、性質與方程【分析】設內(nèi)切圓與AP切于點M，與AF1切于點N，|PF1|=m，|QF1|=n，由雙曲線的定義可得|PF1|PF2|=2a，即有m（n1）=2a，運用對稱性和切線的性質可得m1=n，可得a=1，再由c=2，可得b，結合漸近線方程即可得到【解答】解：設內(nèi)切圓與AP切于點M，與AF1切于點N，|PF1|=m，|QF1|=n，由雙曲線的定義可得|PF1|PF2|=2a，即有m（n1）=2a，由切線的性質可得|AM|=|AN|，|NF1|=|QF1|=n，|MP|=|PQ|=1，|MF2|=|NF1|=n，即有m1=n，由解得a=1，由|F1F2|=4，則c=2，b=，由雙曲線=1的漸近線方程為y=x，即有漸近線方程為y=x故選D【點評】本題考查雙曲線的方程和性質，考查切線的性質，運用對稱性和雙曲線的定義是解題的關鍵二、填空題（共5小題，每小題5分，滿分25分）11 下列命題中，真命題的序號為.（1）在中，若，則；（2）已知，則在上的投影為；（3）已知，則“”為假命題；（4）要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象向左平移個單位【答案】（1）（3）12直線l：（t為參數(shù)）與圓C：（為參數(shù)）相交所得的弦長的取值范圍是4，16【考點】參數(shù)方程化成普通方程【專題】直線與圓；坐標系和參數(shù)方程【分析】把直線與圓的參數(shù)方程化為普通方程，畫出圖形，結合圖形，求出直線被圓截得的弦長的最大值與最小值即可【解答】解：直線l：（t為參數(shù)），化為普通方程是=，即y=tanx+1；圓C的參數(shù)方程（為參數(shù)），化為普通方程是（x2）2+（y1）2=64；畫出圖形，如圖所示；直線過定點（0，1），直線被圓截得的弦長的最大值是2r=16，最小值是2=2=2=4弦長的取值范圍是4，16故答案為：4，16【點評】本題考查了直線與圓的參數(shù)方程的應用問題，解題時先把參數(shù)方程化為普通方程，再畫出圖形，數(shù)形結合，容易解答本題13設等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若1a31，0a63，則S9的取值范圍是（3，21）【考點】等差數(shù)列的前n項和【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】利用等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式及其“待定系數(shù)法”即可得出【解答】解：數(shù)列an是等差數(shù)列，S9=9a1+36d=x（a1+2d）+y（a1+5d）=（x+y）a1+（2x+5y）d，由待定系數(shù)法可得，解得x=3，y=633a33，06a618，兩式相加即得3S921S9的取值范圍是（3，21）故答案為：（3，21）【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式及其“待定系數(shù)法”等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題14若正數(shù)m、n滿足mnmn=3，則點（m，0）到直線xy+n=0的距離最小值是【考點】點到直線的距離公式【專題】直線與圓【分析】把已知的等式變形，得到（m1）（n1）4，寫出點到直線的距離，然后利用基本不等式得答案【解答】解：點（m，0）到直線xy+n=0的距離為d=，mnmn=3，（m1）（n1）=4，（m10，n10），（m1）+（n1）2，m+n6，則d=3故答案為：【點評】本題考查了的到直線的距離公式，考查了利用基本不等式求最值，是基礎題15如圖所示，正方體ABCDABCD的棱長為1，E、F分別是棱AA，CC的中點，過直線EF的平面分別與棱BB、DD交于M、N，設BM=x，x0，1，給出以下四個命題：平面MENF平面BDDB；當且僅當x=時，四邊形MENF的面積最?。凰倪呅蜯ENF周長l=f（x），x0，1是單調函數(shù)；四棱錐CMENF的體積v=h（x）為常函數(shù)；以上命題中真命題的序號為【考點】命題的真假判斷與應用；棱柱、棱錐、棱臺的體積；平面與平面垂直的判定【專題】空間位置關系與距離【分析】利用面面垂直的判定定理去證明EF平面BDDB四邊形MENF的對角線EF是固定的，所以要使面積最小，則只需MN的長度最小即可判斷周長的變化情況求出四棱錐的體積，進行判斷【解答】解：連結BD，BD，則由正方體的性質可知，EF平面BDDB，所以平面MENF平面BDDB，所以正確連結MN，因為EF平面BDDB，所以EFMN，四邊形MENF的對角線EF是固定的，所以要使面積最小，則只需MN的長度最小即可，此時當M為棱的中點時，即x=時，此時MN長度最小，對應四邊形MENF的面積最小所以正確因為EFMN，所以四邊形MENF是菱形當x0，時，EM的長度由大變小當x，1時，EM的長度由小變大所以函數(shù)L=f（x）不單調所以錯誤連結CE，CM，CN，則四棱錐則分割為兩個小三棱錐，它們以CEF為底，以M，N分別為頂點的兩個小棱錐因為三角形CEF的面積是個常數(shù)M，N到平面CEF的距離是個常數(shù)，所以四棱錐CMENF的體積V=h（x）為常函數(shù)，所以正確故答案為：【點評】本題考查空間立體幾何中的面面垂直關系以及空間幾何體的體積公式，本題巧妙的把立體幾何問題和函數(shù)進行的有機的結合，綜合性較強，設計巧妙，對學生的解題能力要求較高三、解答題（共6小題，滿分75分）16 設函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）的三邊所對的內(nèi)角分別為,若，且，求面積的最大值.【答案】（1），（2），整理得：由基本不等式可得：則17某校舉辦學生綜合素質大賽，對該校學生進行綜合素質測試，學校對測試成績（10分制）大于或等于7.5的學生頒發(fā)榮譽證書，現(xiàn)從A和B兩班中各隨機抽5名學生進行抽查，其成績記錄如下：A777.599.5B6x8.58.5y由于表格被污損，數(shù)據(jù)x，y看不清，統(tǒng)計人員只記得xy，且A和B兩班被抽查的5名學生成績的平均值相等，方差也相等（）若從B班被抽查的5名學生中任抽取2名學生，求被抽取2學生成績都頒發(fā)了榮譽證書的概率；（）從被抽查的10名任取3名，X表示抽取的學生中獲得榮譽證書的人數(shù)，求X的期望【考點】離散型隨機變量的期望與方差；離散型隨機變量及其分布列【專題】綜合題；概率與統(tǒng)計【分析】（）分別求出A和B的平均數(shù)和方差，由，得x+y=17，由，得（x8）2+（y8）2=1，由xy，得x=8，y=9，記“2名學生都頒發(fā)了榮譽證書”為事件C，則事件C包含個基本事件，共有個基本事件，由此能求出2名學生頒發(fā)了榮譽證書的概率（）由題意知X所有可能的取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出X的期望【解答】解：（）（7+7+7.5+9+9.5）=8，=（6+x+8.5+8.5+y），x+y=17，=，得（x8）2+（y8）2=1，由解得或，xy，x=8，y=9，記“2名學生都頒發(fā)了榮譽證書”為事件C，則事件C包含個基本事件，共有個基本事件，P（C）=，即2名學生頒發(fā)了榮譽證書的概率為（）由題意知X所有可能的取值為0，1，2，3，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，EX=【點評】本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的方差的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意平均值和方差的計算和應用18如圖，橢圓C1：的離心率為，x軸被曲線C2：y=x2b截得的線段長等于橢圓C1的短軸長C2與y軸的交點為M，過點M的兩條互相垂直的直線l1，l2分別交拋物線于A、B兩點，交橢圓于D、E兩點，（）求C1、C2的方程；（）記MAB，MDE的面積分別為S1、S2，若，求直線AB的方程【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題【專題】綜合題；圓錐曲線的定義、性質與方程【分析】（）橢圓C1：的離心率為，x軸被曲線C2：y=x2b截得的線段長等于橢圓C1的短軸長，建立方程，求出幾何量，即可求C1、C2的方程；（）設直線MA、MB的方程與y=x21聯(lián)立，求得A，B的坐標，進而可表示S1，直線MA、MB的方程與橢圓方程聯(lián)立，求得D，E的坐標，進而可表示S2，利用，即可求直線AB的方程【解答】解：（）橢圓C1：的離心率為，a2=2b2，令x2b=0可得x=，x軸被曲線C2：y=x2b截得的線段長等于橢圓C1的短軸長，2=2b，b=1，C1、C2的方程分別為，y=x21； （）設直線MA的斜率為k1，直線MA的方程為y=k1x1與y=x21聯(lián)立得x2k1x=0x=0或x=k1，A（k1，k121）同理可得B（k2，k221）S1=|MA|MB|=|k1|k2|y=k1x1與橢圓方程聯(lián)立，可得D（），同理可得E（） S2=|MD|ME|= 若則解得或直線AB的方程為或【點評】本題考查橢圓的標準方程，考查直線與拋物線、橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，聯(lián)立方程，確定點的坐標是關鍵19如圖，四面體ABCD中，平面ABC平面BCD，AC=AB，CB=CD，DCB=120，點E在BD上，且CE=DE（）求證：ABCE；（）若AC=CE，求二面角ACDB的余弦值【考點】二面角的平面角及求法；空間中直線與直線之間的位置關系【專題】空間位置關系與距離；空間角【分析】（）由已知得CDB=30，DCE=30，BCE=90，從而ECBC，由平面ABC平面BCD，得EC平面ABC，由此能證明ECAB（）取BC的中點O，BE中點F，連結OA，OF，以O為原點，OB為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標系，求出平面ACD的法向量和平面BCD的法向量，由此利用向量法能注出二面角ACDB的余弦值【解答】解：（）證明：BCD中，CB=CD，BCD=120，CDB=30，EC=DE，DCE=30，BCE=90，ECBC，又平面ABC平面BCD，平面ABC與平面BCD的交線為BC，EC平面ABC，ECAB（）解：取BC的中點O，BE中點F，連結OA，OF，AC=AB，AOBC，平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCD=BC，AO平面BCD，O是BC中點，F(xiàn)是BE中點，OFBC，以O為原點，OB為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標系，設DE=2，則A（0，0，1），B（0，0），C（0，0），D（3，2，0），=（0，1），=（3，0），設平面ACD的法向量為=（x，y，z），則，取x=1，得=（1，3），又平面BCD的法向量=（0，0，1），cos=，二面角ACDB的余弦值為【點評】本小題主要考查立體幾何的相關知識，具體涉及到線面以及面面的垂直關系、二面角的求法及空間向量在立體幾何中的應用本小題對考生的空間想象能力與運算求解能力有較高要求20已知數(shù)列an滿足a1=，an+1=an+（nN*）證明：對一切nN*，有（）；（）0an1【考點】數(shù)列遞推式【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】（）由已知得an0，an+1=an+0（nN*），an+1an=0，由此能證明對一切nN*，（）由已知得，當n2時， =，由此能證明對一切nN*，0an1【解答】證明：（）數(shù)列an滿足a1=，an+1=an+（nN*），an0，an+1=an+0（nN*），an+1an=0，對一切nN*，（）由（）知，對一切kN*，當n2時，=31+=31+=3（1+1）=，an1，又，對一切nN*，0an1【點評】本題考查不等式的證明，是中檔題，解題時要注意裂項求和法和放縮法的合理運用，注意不等式性質的靈活運用21已知函數(shù)f（x）=lnxa（1），aR（）求f（x）的單調區(qū)間；（）若f（x）的最小值為0（i）求實數(shù)a的值；（ii）已知數(shù)列an滿足：a1=1，an+1=f（an）+2，記x表示不大于x的最大整數(shù)，求證：n1時an=2【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；數(shù)列遞推式【專題】分類討論；導數(shù)的綜合應用；等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】（）利用導數(shù)，對a討論，當a0時，當a0時，即可求得f（x）的單調區(qū)間；（）（i）利用（）的結論即可求得a的值；（ii）利用歸納推理，猜想當n3，nN時，2an，利用數(shù)學歸納法證明，即可得出結論【解答】解：（）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+），且f（x）=當a0時，f（x）0，所以f（x）在區(qū)間（0，+）內(nèi)單調遞增；當a0時，由f（x）0，解得xa；由f（x）0，解得0xa所以f（x）的單調遞增區(qū)間為（a，+），單調遞減區(qū)間為（0，a）綜上述：a0時，f（x）的單調遞增區(qū)間是（0，+）；a0時，f（x）的單調遞減區(qū)間是（0，a），單調遞增區(qū)間是（a，+）（）（）由（）知，當a0時，f（x）無最小值，不合題意；當a0時，f（x）min=f（a）=1a+lna=0，令g（x）=1x+lnx（x0），則g（x）=1+=，由g（x）0，解得0x1；由g（x）0，解得x1所以g（x）的單調遞增區(qū)間為（0，1），單調遞減區(qū)間為（1，+）故g（x）max=g（1）=0，即當且僅當x=1時，g（x）=0因此，a=1（）因為f（x）=lnx1+，所以an+1=f（an）+2=1+lnan由a1=1得a2=2于是a3=+ln2因為ln21，所以2a3猜想當n3，nN時，2an下面用數(shù)學歸納法進行證明當n=3時，a3=+ln2，故2a3成立假設當n=k（k3，kN）時，不等式2ak成立則當n=k+1時，ak+1=1+lnak，由（）知函數(shù)h（x）=f（x）+2=1+lnx在區(qū)間（2，）單調遞增，所以h（2）h（ak）h（），又因為h（2）=1+ln22，h（）=1+ln1+1故2ak+1成立，即當n=k+1時，不等式成立根據(jù)可知，當n3，nN時，不等式2an成立綜上可得，n1時an=2【點評】本題主要考查函數(shù)的導數(shù)、導數(shù)的應用等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、創(chuàng)新意識等，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想、有限與無限思想等，屬難題