2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題4 數(shù)列 第2講 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用 文.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題4 數(shù)列 第2講 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用 文 求數(shù)列的通項(xiàng)訓(xùn)練提示: 求數(shù)列通項(xiàng)的常用方法有累加法、累積法、構(gòu)造等比數(shù)列法或已知Sn與an關(guān)系,求an或利用方程思想聯(lián)立方程組,求出基本量,得出an.解題時(shí)應(yīng)注意各自的適用范圍及注意驗(yàn)證n=1的情況.1.(xx寧夏石嘴山高三聯(lián)考)已知各項(xiàng)都不相等的等差數(shù)列an的前7項(xiàng)和為70,且a3為a1和a7的等比中項(xiàng).(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列bn滿足bn+1-bn=an(nN*),且b1=2,求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.解:(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d(d0),則解得所以an=2n+2.(2)因?yàn)閎n+1-bn=an,所以bn-bn-1=an-1=2n(n2,nN*)bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b2-b1)+b1=an-1+an-2+a1+b1=n(n+1).所以=-,所以Tn=1-+-+-=1-=.2.(xx東北三校第二次聯(lián)考)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=2,an+1=Sn+2,nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=nan,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解:(1)當(dāng)n=1時(shí)a2=S1+2=4=2a1,當(dāng)n2時(shí),an+1=2an,數(shù)列an滿足an+1=2an(nN*),且a1=2,所以an=2n(nN*).(2)bn=nan=n2nTn=121+222+323+(n-1)2n-1+n2n2Tn=122+223+324+(n-1)2n+n2n+1兩式相減,得-Tn=21+22+23+2n-1+2n-n2n+1-Tn=-n2n+1,Tn=2+(n-1)2n+1(nN*).求數(shù)列的前n項(xiàng)和訓(xùn)練提示: 在數(shù)列求和的幾種常見(jiàn)方法中,一定要注意其各自的適用范圍,其中在裂項(xiàng)相消法中注意裂項(xiàng)后的恒等變形,在錯(cuò)位相減法中注意相減后,哪些項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列.3.(xx甘肅二診)已知數(shù)列an中,a1=2,且an=2an-1-n+2(n2,nN*).(1)求a2,a3,并證明an-n是等比數(shù)列;(2)設(shè)bn=,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.解:(1)由已知an=2an-1-n+2(n2,nN*)得a2=4,a3=7.an-n=2an-1-2n+2,即an-n=2an-1-(n-1),因?yàn)?2(n2,nN*).所以an-n是以2為公比的等比數(shù)列.(2)由(1)得an-n=(a1-1)2n-1.即an=2n-1+n.所以bn=1+.設(shè)cn=,且前n項(xiàng)和為Tn,所以Tn=+Tn=+-得Tn=1+(+)-=-=2-.所以Tn=4-,Sn=n+4-.4.(xx鄭州第二次質(zhì)量預(yù)測(cè))已知等差數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù),a1=1,且a3,a4+,a11成等比數(shù)列.(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解:(1)設(shè)等差數(shù)列公差為d,由題意知d0.因?yàn)閍3,a4+,a11成等比數(shù)列,所以(a4+)2=a3a11,所以(+3d)2=(1+2d)(1+10d),即44d2-36d-45=0,所以d=(d=-舍去),所以an=.(2)bn=(-).所以Tn=(-+-+-)=.數(shù)列的綜合問(wèn)題訓(xùn)練提示: 解答數(shù)列綜合問(wèn)題要善于用化歸思想把非等差、等比數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問(wèn)題,并結(jié)合函數(shù)與方程的思想方法分析、解決問(wèn)題.數(shù)列與解析幾何的綜合問(wèn)題解決的策略往往是把綜合問(wèn)題分解成幾部分,先利用解析幾何的知識(shí)以及數(shù)形結(jié)合得到數(shù)列的通項(xiàng)公式,然后再利用數(shù)列知識(shí)和方法求解.5.(xx鄭州第二次質(zhì)量預(yù)測(cè))已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=2an-2.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=log2a1+log2a2+log2an,求使(n-8)bnnk對(duì)任意nN*恒成立的實(shí)數(shù)k的取值范圍.解:(1)由Sn=2an-2可得a1=2,因?yàn)镾n=2an-2,所以當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即=2.數(shù)列an是以a1=2為首項(xiàng),公比為2的等比數(shù)列,所以an=2n(nN*).(2)bn=log2a1+log2a2+log2an=1+2+3+n=.由(n-8)bnnk對(duì)任意nN*恒成立,即實(shí)數(shù)k對(duì)nN*恒成立;設(shè)cn=(n-8)(n+1),則當(dāng)n=3或4時(shí),cn取得最小值為-10,所以k-10.【教師備用】 (xx陜西卷)設(shè)fn(x)=x+x2+xn-1,x0,nN,n2.(1)求fn(2);(2)證明:fn(x)在(0,)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)(記為an),且0an-()n.(1)解:法一由題設(shè)fn(x)=1+2x+nxn-1.所以fn(2)=1+22+(n-1)2n-2+n2n-1,則2fn(2)=2+222+(n-1)2n-1+n2n,-得-fn(2)=1+2+22+2n-1-n2n=-n2n=(1-n)2n-1,所以fn(2)=(n-1)2n+1.法二當(dāng)x1時(shí),fn(x)=-1,則fn(x)=,可得fn(2)=(n-1)2n+1.(2)證明:因?yàn)閒n(0)=-10,所以fn(x)在(0,)內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn).又fn(x)=1+2x+nxn-10,所以fn(x)在(0,)內(nèi)單調(diào)遞增,因此fn(x)在(0,)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)an.由于fn(x)=-1,所以0=fn(an)=-1,由此可得an=+,故an.所以0an-=對(duì)任意nN+都成立的正整數(shù)m的最小值.解:(1)因?yàn)閍n+1=2an+1,所以an+1+1=2(an+1),因?yàn)閍1=1,a1+1=20,所以數(shù)列an+1是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.所以an+1=22n-1,所以an=2n-1.(2)因?yàn)閏n=(-),所以Tn=(-+-+-)=(-)=.所以=6+,nN*,所以6+15.所以當(dāng)n=1時(shí),取得最大值15.要使得am對(duì)任意nN*恒成立,結(jié)合(1)的結(jié)果,只需2m-115,由此得m4.所以正整數(shù)m的最小值是5.4.(xx東北三校聯(lián)合二模)已知數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn,滿足Sn=2an-2n(nN*).(1)證明:an+2是等比數(shù)列,并求an的通項(xiàng)公式;(2)數(shù)列bn滿足bn=log2(an+2),Tn為數(shù)列的前n項(xiàng)和,若Tna對(duì)正整數(shù)n都成立,求a的取值范圍.解:(1)由題設(shè)Sn=2an-2n(nN*),Sn-1=2an-1-2(n-1)(n2),兩式相減得an=2an-1+2,即an+2=2(an-1+2),又a1+2=4,所以an+2是以4為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.an+2=42n-1,an=42n-1-2=2n+1-2(n2),又a1=2,所以an=2n+1-2(nN*).(2)因?yàn)閎n=log2(an+2)=log22n+1=n+1,=-,所以Tn=(-)+(-)+(-)=-,所以a,即a的取值范圍為,+).類型三:數(shù)列的綜合問(wèn)題5.(xx東北三校聯(lián)合模擬)已知數(shù)列an滿足=(nN*),則a10等于(C)(A)e26(B)e29(C)e32(D)e35解析:因?yàn)?所以=所以得=,所以ln an=3n+2.所以ln a10=32,所以a10=e32.故選C.6.(xx濱州模擬)已知數(shù)列an中,a1=9,點(diǎn)(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上,其中n為正整數(shù).(1)證明:數(shù)列l(wèi)g(an+1)為等比數(shù)列.(2)令bn=an+1,設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)積為Tn,即Tn=(a1+1)(a2+1)(an+1),求lg Tn.(3)在(2)的條件下,記cn=,設(shè)數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Sn,求證:Sn1.(1)證明:由題意得an+1=+2an,即an+1+1=(an+1)2,對(duì)an+1+1=(an+1)2兩邊取對(duì)數(shù)得lg(an+1+1)=2lg(an+1),因?yàn)閍1=9,所以lg(a1+1)=lg 10=1,所以數(shù)列l(wèi)g(an+1)是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.(2)解:由(1)知lg(an+1)=2n-1.lg Tn=lg(a1+1)(a2+1)(an+1)=lg(a1+1)+lg(a2+1)+lg(an+1)=所以lg Tn=2n-1.(3)證明:cn=-,Sn=(-)+(-)+(-)+(-)=1-1.