葫蘆島市2015-2016學(xué)年九年級上期中數(shù)學(xué)試卷含答案解析.doc

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2015-2016學(xué)年遼寧省葫蘆島市九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 　 一、選擇題（每題3分共30分） 1．下列汽車標(biāo)志圖案中屬于中心對稱圖形的是（　　） A． B． C． D． 　 2．用配方法解方程x2+2x﹣5=0時(shí)，原方程應(yīng)變形為（　　） A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9 　 3．若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（　?。? A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠0 　 4．如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c（其中a、b、c為常數(shù)，a≠0）的部分圖象如圖所示，它的對稱軸過點(diǎn)（﹣1，0），那么關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0的一個(gè)正根可能是（　?。? A．0.5 B．1.5 C．2.5 D．3.5 　 5．如圖，在方格紙上△DEF是由△ABC繞定點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的．如果用（2，1）表示方格紙上A點(diǎn)的位置，（1，2）表示B點(diǎn)的位置，那么點(diǎn)P的位置為（　?。? A．（5，2） B．（2，5） C．（2，1） D．（1，2） 　 6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過格點(diǎn)A，B，C作一圓弧，點(diǎn)B與下列格點(diǎn)的連線中，能夠與該圓弧相切的是（　?。? A．點(diǎn)（0，3） B．點(diǎn)（2，3） C．點(diǎn)（5，1） D．點(diǎn)（6，1） 　 7．⊙O是等邊△ABC的外接圓，⊙O的半徑為2，則等邊△ABC的邊長為（　?。? A． B． C． D． 　 8．如圖，已知PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，AC是⊙O的直徑，∠P=40，則∠BAC的度數(shù)是（　?。? A．10 B．20 C．30 D．40 　 9．已知y=ax+b的圖象如圖所示，則y=ax2+bx的圖象有可能是（　?。? A． B． C． D． 　 10．如圖，AB是⊙O的直徑，⊙O交BC的中點(diǎn)于D，DE⊥AC于點(diǎn)E，連接AD，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（　?。? ①AD⊥BC；②∠EDA=∠B；③OA=AC；④DE是⊙O的切線． A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 　 　 二、填空題（本題共8個(gè)小題，每題3分共24分） 11．一元二次方程2x2=3x的根是　　　　　　． 　 12．已知：一元二次方程x2﹣6x+c=0有一個(gè)根為2，則另一根為　　　　　?。? 　 13．溱湖風(fēng)景區(qū)綠化管理處，為綠化環(huán)境，計(jì)劃經(jīng)過兩年時(shí)間，使風(fēng)景區(qū)綠地面積增加44%，這兩年平均每年綠地面積的增長率是　　　　　　%． 　 14．如圖，∠AOB=100，點(diǎn)C在⊙O上，且點(diǎn)C不與A、B重合，則∠ACB的度數(shù)為　　　　　?。? 　 15．一個(gè)邊長為4cm的等邊三角形ABC與⊙O等高，如圖放置，⊙O與BC相切于點(diǎn)C，⊙O與AC相交于點(diǎn)E，則CE的長為　　　　　　cm． 　 16．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，∠B=60，BC=2，△A′B′C可以由△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，其中點(diǎn)A′與點(diǎn)A是對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)B′與點(diǎn)B是對應(yīng)點(diǎn)，連接AB′，且A、B′、A′在同一條直線上，則AA′的長為　　　　　?。? 　 17．如圖所示的二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象中，劉星同學(xué)觀察得出了下面四條信息：（1）b2﹣4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a﹣b＜0；（4）a+b+c＜0．你認(rèn)為其中錯(cuò)誤的有　　　　　　個(gè)． 　 18．如圖，在Rt△AOB中，OA=OB=3，⊙O的半徑為1，點(diǎn)P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的一條切線PQ（點(diǎn)Q為切點(diǎn)），則切線PQ的最小值為　　　　　?。? 　 　 三、解答題（第19題10分，第20題12分共22分） 19．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠? （1）4（x+3）2=（x﹣1）2 （2）x2﹣2x﹣8=0． 　 20．如圖，在正方形網(wǎng)格上有一個(gè)△ABC． （1）作出△ABC關(guān)于點(diǎn)O的中心對稱圖形△A′B′C′（不寫作法，但要標(biāo)出字母）； （2）若網(wǎng)格上的最小正方形邊長為1，求出△A′B′C′的面積． 　 　 四、解答題（第21題12分，第22題12分共24分） 21．已知關(guān)于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分別為△ABC三邊的長． （1）如果x=﹣1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由； （2）如果方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由； （3）如果△ABC是等邊三角形，試求這個(gè)一元二次方程的根． 　 22．如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊DC上一點(diǎn)，把△ADE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△ABF的位置． （1）旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)　　　　　　，旋轉(zhuǎn)角度是　　　　　　度； （2）若連結(jié)EF，則△AEF是　　　　　　三角形；并證明； （3）若四邊形AECF的面積為25，DE=2，求AE的長． 　 　 五、解答題（滿分12分） 23．為了落實(shí)國務(wù)院的指示精神，某地方政府出臺了一系列“三農(nóng)”優(yōu)惠政策，使農(nóng)民收入大幅度增加．某農(nóng)戶生產(chǎn)經(jīng)銷一種農(nóng)產(chǎn)品，已知這種產(chǎn)品的成本價(jià)為每千克20元，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量y（千克）與銷售價(jià)x（元/千克）有如下關(guān)系：y=﹣2x+80．設(shè)這種產(chǎn)品每天的銷售利潤為w元． （1）求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式． （2）該產(chǎn)品銷售價(jià)定為每千克多少元時(shí)，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？ （3）如果物價(jià)部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價(jià)不高于每千克28元，該農(nóng)戶想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價(jià)應(yīng)定為每千克多少元？ 　 　 六、解答題（滿分12分） 24．如圖，已知⊙O的弦AB等于半徑，連接OB并延長使BC=OB． （1）∠ABC=　　　　　?。? （2）AC與⊙O有什么關(guān)系？請證明你的結(jié)論； （3）在⊙O上，是否存在點(diǎn)D，使得AD=AC？若存在，請畫出圖形，并給出證明；若不存在，請說明理由． 　 　 七、解答題（滿分12分） 25．把一副三角板如下圖甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90，∠A=45，∠D=30，斜邊AB=6cm，DC=7cm．把三角板DCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15得到△D1CE1（如圖乙）．這時(shí)AB與CD1相交于點(diǎn)O，與D1E1相交于點(diǎn)F． （1）求∠OFE1的度數(shù)； （2）求線段AD1的長． 　 　 八、解答題（滿分14分） 26．如圖，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，OA=4，OC=3，若拋物線的頂點(diǎn)在BC邊上，且拋物線經(jīng)過O，A兩點(diǎn)，直線AC交拋物線于點(diǎn)D． （1）求拋物線的解析式； （2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)； （3）若點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在x軸上，是否存在以A，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 　 　  2015-2016學(xué)年遼寧省葫蘆島市九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（每題3分共30分） 1．下列汽車標(biāo)志圖案中屬于中心對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】中心對稱圖形． 【分析】根據(jù)中心對稱的概念和各圖形的特點(diǎn)即可求解． 【解答】解：中心對稱圖形，即把一個(gè)圖形繞一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180后能和原來的圖形重合，A、B、C都不符合； 是中心對稱圖形的只有D． 故選D． 【點(diǎn)評】本題考查中心對稱圖形的概念：在同一平面內(nèi)，如果把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對稱圖形． 　 2．用配方法解方程x2+2x﹣5=0時(shí)，原方程應(yīng)變形為（　?。? A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9 【考點(diǎn)】解一元二次方程-配方法． 【分析】把常數(shù)項(xiàng)﹣5移項(xiàng)后，應(yīng)該在左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)2的一半的平方． 【解答】解：由原方程，得 x2+2x=5， x2+2x+1=5+1， （x+1）2=6． 故選：A． 【點(diǎn)評】本題考查了配方法解方程．配方法的一般步驟： （1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號的右邊； （2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1； （3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方． 選擇用配方法解一元二次方程時(shí)，最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1，一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù)． 　 3．若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（　?。? A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠0 【考點(diǎn)】根的判別式；一元二次方程的定義． 【分析】根據(jù)根的判別式及一元二次方程的定義得出關(guān)于k的不等式組，求出k的取值范圍即可． 【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根， ∴，即， 解得k＞﹣1且k≠0． 故選B． 【點(diǎn)評】本題考查的是根的判別式，熟知一元二次方程的根與判別式的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵． 　 4．如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c（其中a、b、c為常數(shù)，a≠0）的部分圖象如圖所示，它的對稱軸過點(diǎn)（﹣1，0），那么關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0的一個(gè)正根可能是（　　） A．0.5 B．1.5 C．2.5 D．3.5 【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)；二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系． 【分析】已知拋物線與x軸的負(fù)半軸的交點(diǎn)位置，根據(jù)拋物線的對稱性得出拋物線與x軸正半軸的交點(diǎn)位置，要求會估算． 【解答】解：∵拋物線的對稱軸為x=﹣1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3.5，0）， ∴拋物線與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)為（1.5，0）， ∴關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0的一個(gè)正根可能是1.5． 故選B． 【點(diǎn)評】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問題．充分利用拋物線的對稱性是解題的關(guān)鍵． 　 5．如圖，在方格紙上△DEF是由△ABC繞定點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的．如果用（2，1）表示方格紙上A點(diǎn)的位置，（1，2）表示B點(diǎn)的位置，那么點(diǎn)P的位置為（　?。? A．（5，2） B．（2，5） C．（2，1） D．（1，2） 【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)． 【專題】壓軸題． 【分析】如圖，分別連接AD、CF，然后作它們的垂直平分線即可得到它們的旋轉(zhuǎn)中心P，然后利用已知坐標(biāo)即可求出P的坐標(biāo)． 【解答】解：如圖，分別連接AD、CF，然后作它們的垂直平分線，它們交于P點(diǎn)，則它們旋轉(zhuǎn)中心為P， 根據(jù)圖形知道△ABC繞P點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到△DEF， ∴P的坐標(biāo)為（5，2）． 故選A． 【點(diǎn)評】本題涉及圖形旋轉(zhuǎn)，體現(xiàn)了新課標(biāo)的精神，抓住旋轉(zhuǎn)的三要素：旋轉(zhuǎn)中心P，旋轉(zhuǎn)方向順時(shí)針，旋轉(zhuǎn)角度90，通過畫圖即可得P點(diǎn)坐標(biāo)． 　 6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過格點(diǎn)A，B，C作一圓弧，點(diǎn)B與下列格點(diǎn)的連線中，能夠與該圓弧相切的是（　?。? A．點(diǎn)（0，3） B．點(diǎn)（2，3） C．點(diǎn)（5，1） D．點(diǎn)（6，1） 【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；勾股定理；垂徑定理． 【專題】壓軸題；網(wǎng)格型． 【分析】根據(jù)垂徑定理的性質(zhì)得出圓心所在位置，再根據(jù)切線的性質(zhì)得出，∠OBD+∠EBF=90時(shí)F點(diǎn)的位置即可． 【解答】解：連接AC，作AC，AB的垂直平分線，交格點(diǎn)于點(diǎn)O′，則點(diǎn)O′就是所在圓的圓心， ∴三點(diǎn)組成的圓的圓心為：O′（2，0）， ∵只有∠O′BD+∠EBF=90時(shí)，BF與圓相切， ∴當(dāng)△BO′D≌△FBE時(shí)， ∴EF=BD=2， F點(diǎn)的坐標(biāo)為：（5，1）， ∴點(diǎn)B與下列格點(diǎn)的連線中，能夠與該圓弧相切的是：（5，1）． 故選：C． 【點(diǎn)評】此題主要考查了切線的性質(zhì)以及垂徑定理和坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，得出△BOD≌△FBE時(shí)，EF=BD=2，即得出F點(diǎn)的坐標(biāo)是解決問題的關(guān)鍵． 　 7．⊙O是等邊△ABC的外接圓，⊙O的半徑為2，則等邊△ABC的邊長為（　　） A． B． C． D． 【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】首先連接OB，OC，過點(diǎn)O作OD⊥BC于D，由⊙O是等邊△ABC的外接圓，即可求得∠OBC的度數(shù)，然后由三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得OD的長，又由垂徑定理即可求得等邊△ABC的邊長． 【解答】解：連接OB，OC，過點(diǎn)O作OD⊥BC于D， ∴BC=2BD， ∵⊙O是等邊△ABC的外接圓， ∴∠BOC=360=120， ∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB===30， ∵⊙O的半徑為2， ∴OB=2， ∴BD=OB?cos∠OBD=2cos30=2=， ∴BC=2BD=2． ∴等邊△ABC的邊長為2． 故選C． 【點(diǎn)評】本題考查了垂徑定理，圓的內(nèi)接等邊三角形，以及三角函數(shù)的性質(zhì)等知識．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與輔助線的作法． 　 8．如圖，已知PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，AC是⊙O的直徑，∠P=40，則∠BAC的度數(shù)是（　?。? A．10 B．20 C．30 D．40 【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；圓周角定理． 【專題】壓軸題． 【分析】連接BC，OB，根據(jù)圓周角定理先求出∠C，再求∠BAC． 【解答】解：連接BC，OB， AC是直徑，則∠ABC=90， PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，則∠OAP=∠OBP=90， ∴∠AOB=180﹣∠P=140， 由圓周角定理知，∠C=∠AOB=70， ∴∠BAC=90﹣∠C=20． 故選B． 【點(diǎn)評】本題利用了直徑對的圓周角是直角，切線的概念，圓周角定理，四邊形內(nèi)角和定理求解． 　 9．已知y=ax+b的圖象如圖所示，則y=ax2+bx的圖象有可能是（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系． 【專題】壓軸題；數(shù)形結(jié)合． 【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)得到a＞0，b＜0，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線開口向上，拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)，拋物線過原點(diǎn)，由此可得到正確答案． 【解答】解：∵y=ax+b的圖象過第一、三、四象限， ∴a＞0，b＜0， 對于y=ax2+bx的圖象， ∵a＞0， ∴拋物線開口向上， ∵x=﹣＞0， ∴拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)， ∵c=0， ∴拋物線過原點(diǎn)． 故選D． 【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象為拋物線，當(dāng)a＞0，拋物線開口向上；對稱軸為直線x=﹣；拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）．也考查了一次函數(shù)的性質(zhì)． 　 10．如圖，AB是⊙O的直徑，⊙O交BC的中點(diǎn)于D，DE⊥AC于點(diǎn)E，連接AD，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（　　） ①AD⊥BC；②∠EDA=∠B；③OA=AC；④DE是⊙O的切線． A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【考點(diǎn)】切線的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；圓周角定理；弦切角定理． 【專題】壓軸題． 【分析】根據(jù)圓周角定理和切線的判定，采用排除法，逐條分析判斷． 【解答】解：∵AB是直徑， ∴∠ADB=90， ∴AD⊥BC，故①正確； 連接DO， ∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)， ∴CD=BD， ∴△ACD≌△ABD（SAS）， ∴AC=AB，∠C=∠B， ∵OD=OB， ∴∠B=∠ODB， ∴∠ODB=∠C，OD∥AC， ∴∠ODE=∠CED， ∴ED是圓O的切線，故④正確； 由弦切角定理知，∠EDA=∠B，故②正確； ∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，故③正確， 故選D． 【點(diǎn)評】本題利用了平行線的判定，弦切角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，切線的概念，中點(diǎn)的性質(zhì)求解． 　 二、填空題（本題共8個(gè)小題，每題3分共24分） 11．一元二次方程2x2=3x的根是　x1=0，或x2=?。? 【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法． 【專題】計(jì)算題． 【分析】移項(xiàng)得2x2﹣3x=0，把方程的左邊分解因式得2x2﹣3x=0，使每個(gè)因式等于0，就得到兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：∵2x2=3x， ∴2x2﹣3x=0， x（2x﹣3）=0， 2x2﹣3x=0x=0或2x﹣3=0， ∴x1=0 或x2=， 故答案為：x1=0 或x2=． 【點(diǎn)評】本題主要考查對解一元二次方程﹣因式分解法的理解和掌握，能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解此題的關(guān)鍵． 　 12．已知：一元二次方程x2﹣6x+c=0有一個(gè)根為2，則另一根為　4?。? 【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系． 【專題】計(jì)算題． 【分析】設(shè)方程另一根為t，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到2+t=6，然后解一次方程即可． 【解答】解：設(shè)方程另一根為t， 根據(jù)題意得2+t=6， 解得t=4． 故答案為4． 【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根為x1，x2，則x1+x2=﹣，x1?x2=． 　 13．溱湖風(fēng)景區(qū)綠化管理處，為綠化環(huán)境，計(jì)劃經(jīng)過兩年時(shí)間，使風(fēng)景區(qū)綠地面積增加44%，這兩年平均每年綠地面積的增長率是　20　%． 【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用． 【專題】增長率問題． 【分析】設(shè)兩年平均每年綠地面積的增長率是x，原來的景區(qū)綠地面積為1，那么經(jīng)過第一年景區(qū)綠地面積為（1+x），再過一年景區(qū)綠地面積為（1+x）（1+x），然后根據(jù)風(fēng)景區(qū)綠地面積增加44%，即可列出方程解決問題． 【解答】解：設(shè)兩年平均每年綠地面積的增長率是x， 依題意得（1+x）2=1+44%， ∴1+x=1.2， ∴x=0.2=20%或x=﹣2.2（不合題意，舍去）． 答：這兩年平均每年綠地面積的增長率是20%． 故填空答案：20%． 【點(diǎn)評】此題主要考查了增長率的問題，一般公式為：原來的量（1x）2=現(xiàn)在的量，增長用+，減少用﹣． 　 14．如圖，∠AOB=100，點(diǎn)C在⊙O上，且點(diǎn)C不與A、B重合，則∠ACB的度數(shù)為　50或130?。? 【考點(diǎn)】圓周角定理． 【專題】分類討論． 【分析】由于點(diǎn)2C的位置不能確定，故應(yīng)分點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上和在劣弧AB上兩種情況討論． 【解答】解：當(dāng)點(diǎn)C1所示時(shí)， ∵∠AC1B與∠AOB是同弧所對的圓周角與圓心角， ∴∠AC1B=∠AOB=100=50； 當(dāng)點(diǎn)C2所示時(shí)， ∵∠AC1B=50， ∴∠AC2B=180﹣50=130． 故答案為：50或130． 【點(diǎn)評】本題考查的是圓周角定理，解答此題時(shí)要注意進(jìn)行分類討論，不要漏解． 　 15．一個(gè)邊長為4cm的等邊三角形ABC與⊙O等高，如圖放置，⊙O與BC相切于點(diǎn)C，⊙O與AC相交于點(diǎn)E，則CE的長為　3　cm． 【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；垂徑定理；圓周角定理；弦切角定理． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】連接OC，并過點(diǎn)O作OF⊥CE于F，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，等邊三角形的高等于底邊的倍．已知邊長為4cm的等邊三角形ABC與⊙O等高，說明⊙O的半徑為，即OC=，又∠ACB=60，故有∠OCF=30，在Rt△OFC中，可得出FC的長，利用垂徑定理即可得出CE的長． 【解答】解：連接OC，并過點(diǎn)O作OF⊥CE于F， 且△ABC為等邊三角形，邊長為4， 故高為2，即OC=， 又∠ACB=60，故有∠OCF=30， 在Rt△OFC中，可得FC=OC?cos30=， OF過圓心，且OF⊥CE，根據(jù)垂徑定理易知CE=2FC=3． 故答案為：3． 【點(diǎn)評】本題主要考查了切線的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)和解直角三角形的有關(guān)知識．題目不是太難，屬于基礎(chǔ)性題目． 　 16．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，∠B=60，BC=2，△A′B′C可以由△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，其中點(diǎn)A′與點(diǎn)A是對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)B′與點(diǎn)B是對應(yīng)點(diǎn)，連接AB′，且A、B′、A′在同一條直線上，則AA′的長為　6?。? 【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 【分析】利用直角三角形的性質(zhì)得出AB=4，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)得出AB′=2，進(jìn)而得出答案． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90，∠B=60，BC=2， ∴∠CAB=30，故AB=4， ∵△A′B′C由△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，其中點(diǎn)A′與點(diǎn)A是對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)B′與點(diǎn)B是對應(yīng)點(diǎn)，連接AB′，且A、B′、A′在同一條直線上， ∴AB=A′B′=4，AC=A′C， ∴∠CAA′=∠A′=30， ∴∠ACB′=∠B′AC=30， ∴AB′=B′C=2， ∴AA′=2+4=6， 故答案為6． 【點(diǎn)評】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等知識，得出AB′=B′C=1是解題關(guān)鍵，此題難度不大． 　 17．如圖所示的二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象中，劉星同學(xué)觀察得出了下面四條信息：（1）b2﹣4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a﹣b＜0；（4）a+b+c＜0．你認(rèn)為其中錯(cuò)誤的有　1　個(gè)． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系． 【專題】計(jì)算題；壓軸題． 【分析】由拋物線的圖象可得：拋物線開口向下，與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn)在0到1之間，對稱軸在﹣1到0之間，且x=1時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值小于0，對四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可得到錯(cuò)誤選項(xiàng)的個(gè)數(shù)． 【解答】解：由圖象可知：拋物線與x軸交于兩個(gè)點(diǎn)， ∴b2﹣4ac＞0，選項(xiàng)（1）正確； 由函數(shù)圖象可得0＜c＜1，選項(xiàng)（2）錯(cuò)誤； 由拋物線的對稱軸的位置可得：﹣1＜﹣＜0， 又拋物線開口向下，∴a＜0， 不等式﹣1＜﹣?zhàn)冃蔚茫?a＜b，即2a﹣b＜0， 選項(xiàng)（3）正確； 由函數(shù)圖象可得：當(dāng)x=1時(shí)對應(yīng)的函數(shù)值小于0，即a+b+c＜0， 選項(xiàng)（4）正確， 其中錯(cuò)誤的選項(xiàng)為（2），共1個(gè)． 故答案為：1 【點(diǎn)評】此題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），a由拋物線的開口方向決定；c由拋物線與y軸交點(diǎn)位置決定；b的符合由a及對稱軸的位置共同決定，拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)由根的判別式b2﹣4ac來決定，此外可以由拋物線上特殊點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值的正負(fù)來決定所求式子的正確與否，比如出現(xiàn)判斷a+b+c的正負(fù)，即要找x=1時(shí)的函數(shù)值的正負(fù)，判斷a﹣b+c的正負(fù)即要找x=﹣1時(shí)的函數(shù)值的正負(fù)． 　 18．如圖，在Rt△AOB中，OA=OB=3，⊙O的半徑為1，點(diǎn)P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的一條切線PQ（點(diǎn)Q為切點(diǎn)），則切線PQ的最小值為　2　． 【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；等腰直角三角形． 【專題】壓軸題． 【分析】首先連接OP、OQ，根據(jù)勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2，可得當(dāng)OP⊥AB時(shí)，即線段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案． 【解答】解：連接OP、OQ． ∵PQ是⊙O的切線， ∴OQ⊥PQ； 根據(jù)勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2， ∴當(dāng)PO⊥AB時(shí)，線段PQ最短， ∵在Rt△AOB中，OA=OB=3， ∴AB=OA=6， ∴OP==3， ∴PQ===2． 故答案為：2． 【點(diǎn)評】本題考查了切線的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意得到當(dāng)PO⊥AB時(shí)，線段PQ最短是關(guān)鍵． 　 三、解答題（第19題10分，第20題12分共22分） 19．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠? （1）4（x+3）2=（x﹣1）2 （2）x2﹣2x﹣8=0． 【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法． 【分析】（1）兩邊開方，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可； （2）先分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：（1）4（x+3）2=（x﹣1）2， 開方得：2（x+3）=（x﹣1）， 2（x+3）=+（x﹣1），2（x+3）=﹣（x﹣1）， x1=﹣7，x2=﹣； （2）x2﹣2x﹣8=0， （x﹣4）（x+2）=0， x﹣4=0，x+2=0， x1=4，x2=﹣2． 【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解此題的關(guān)鍵． 　 20．如圖，在正方形網(wǎng)格上有一個(gè)△ABC． （1）作出△ABC關(guān)于點(diǎn)O的中心對稱圖形△A′B′C′（不寫作法，但要標(biāo)出字母）； （2）若網(wǎng)格上的最小正方形邊長為1，求出△A′B′C′的面積． 【考點(diǎn)】作圖-旋轉(zhuǎn)變換． 【分析】（1）直接利用關(guān)于點(diǎn)對稱的性質(zhì)得出得出A′、B′、C′的位置進(jìn)而得出； （2）直接利用△A′B′C′所在矩形面積減去周圍三角形的面積進(jìn)而得出答案． 【解答】解：（1）如圖所示：△A′B′C′即為所求； （2）如圖所示：△A′B′C′的面積為： 32﹣12﹣13﹣12 =2.5． 【點(diǎn)評】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換以及三角形面積求法，根據(jù)題意得出對應(yīng)點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵． 　 四、解答題（第21題12分，第22題12分共24分） 21．已知關(guān)于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分別為△ABC三邊的長． （1）如果x=﹣1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由； （2）如果方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由； （3）如果△ABC是等邊三角形，試求這個(gè)一元二次方程的根． 【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用． 【專題】代數(shù)幾何綜合題． 【分析】（1）直接將x=﹣1代入得出關(guān)于a，b的等式，進(jìn)而得出a=b，即可判斷△ABC的形狀； （2）利用根的判別式進(jìn)而得出關(guān)于a，b，c的等式，進(jìn)而判斷△ABC的形狀； （3）利用△ABC是等邊三角形，則a=b=c，進(jìn)而代入方程求出即可． 【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形； 理由：∵x=﹣1是方程的根， ∴（a+c）（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0， ∴a+c﹣2b+a﹣c=0， ∴a﹣b=0， ∴a=b， ∴△ABC是等腰三角形； （2）∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根， ∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0， ∴4b2﹣4a2+4c2=0， ∴a2=b2+c2， ∴△ABC是直角三角形； （3）當(dāng)△ABC是等邊三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理為： 2ax2+2ax=0， ∴x2+x=0， 解得：x1=0，x2=﹣1． 【點(diǎn)評】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用以及根的判別式和勾股定理逆定理等知識，正確由已知獲取等量關(guān)系是解題關(guān)鍵． 　 22．如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊DC上一點(diǎn)，把△ADE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△ABF的位置． （1）旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)　A　，旋轉(zhuǎn)角度是　90　度； （2）若連結(jié)EF，則△AEF是　等腰直角　三角形；并證明； （3）若四邊形AECF的面積為25，DE=2，求AE的長． 【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的定義，即可解決問題． （2））根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的定義，即可解決問題． （3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的定義得到△ADE≌△ABF，進(jìn)而得到S四邊形AECF=S正方形ABCD=25，求出AD的長度，即可解決問題． 【解答】解：（1）如圖，由題意得： 旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)A，旋轉(zhuǎn)角度是90度． 故答案為A、90． （2）由題意得：AF=AE，∠EAF=90， ∴△AEF為等腰直角三角形． 故答案為等腰直角． （3）由題意得：△ADE≌△ABF， ∴S四邊形AECF=S正方形ABCD=25， ∴AD=5，而∠D=90，DE=2， ∴． 【點(diǎn)評】該題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理等幾何知識點(diǎn)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是牢固掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理等幾何知識，這是靈活運(yùn)用、解題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵． 　 五、解答題（滿分12分） 23．為了落實(shí)國務(wù)院的指示精神，某地方政府出臺了一系列“三農(nóng)”優(yōu)惠政策，使農(nóng)民收入大幅度增加．某農(nóng)戶生產(chǎn)經(jīng)銷一種農(nóng)產(chǎn)品，已知這種產(chǎn)品的成本價(jià)為每千克20元，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量y（千克）與銷售價(jià)x（元/千克）有如下關(guān)系：y=﹣2x+80．設(shè)這種產(chǎn)品每天的銷售利潤為w元． （1）求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式． （2）該產(chǎn)品銷售價(jià)定為每千克多少元時(shí)，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？ （3）如果物價(jià)部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價(jià)不高于每千克28元，該農(nóng)戶想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價(jià)應(yīng)定為每千克多少元？ 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用． 【專題】壓軸題． 【分析】（1）根據(jù)銷售額=銷售量銷售單價(jià)，列出函數(shù)關(guān)系式； （2）用配方法將（1）的函數(shù)關(guān)系式變形，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值； （3）把y=150代入（2）的函數(shù)關(guān)系式中，解一元二次方程求x，根據(jù)x的取值范圍求x的值． 【解答】解：（1）由題意得出： w=（x﹣20）?y =（x﹣20）（﹣2x+80） =﹣2x2+120x﹣1600， 故w與x的函數(shù)關(guān)系式為：w=﹣2x2+120x﹣1600； （2）w=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2（x﹣30）2+200， ∵﹣2＜0， ∴當(dāng)x=30時(shí)，w有最大值．w最大值為200． 答：該產(chǎn)品銷售價(jià)定為每千克30元時(shí)，每天銷售利潤最大，最大銷售利潤200元． （3）當(dāng)w=150時(shí)，可得方程﹣2（x﹣30）2+200=150． 解得 x1=25，x2=35． ∵35＞28， ∴x2=35不符合題意，應(yīng)舍去． 答：該農(nóng)戶想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價(jià)應(yīng)定為每千克25元． 【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題． 　 六、解答題（滿分12分） 24．如圖，已知⊙O的弦AB等于半徑，連接OB并延長使BC=OB． （1）∠ABC=　120?。? （2）AC與⊙O有什么關(guān)系？請證明你的結(jié)論； （3）在⊙O上，是否存在點(diǎn)D，使得AD=AC？若存在，請畫出圖形，并給出證明；若不存在，請說明理由． 【考點(diǎn)】圓的綜合題． 【分析】（1）易證△ABO是等邊三角形，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解； （2）AC是⊙O的切線．△OAB為等邊三角形，則∠OAB=60，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)：等邊對等角，即可求得∠BAC的度數(shù)，從而求得∠OAC=90，從而證得AC是⊙O的切線； （3）延長BO交⊙O于點(diǎn)D，即為所求的點(diǎn)，利用ASA證明：△CAO≌△DAB即可證得． 【解答】解：（1）120； （2）AC是⊙O的切線； 證明：∵AB=OB=OA， ∴△OAB為等邊三角形， ∴∠OBA=∠AOB=60．OA=OB=BA， ∵BC=BO， ∴BC=BA， ∴∠C=∠CAB， 又∵∠OBA=∠C+∠CAB=2∠C， 即2∠C=60， ∴∠C=30 在△OAC中，∵∠O+∠C=60+30=90， ∴∠OAC=90， ∴AC是⊙O的切線； （3）存在． 如圖2，延長BO交⊙O于點(diǎn)D，即為所求的點(diǎn)． 證明如下： 連接AD，∵BD為直徑，∴∠DAB=90． 在△CAO和△DAB中， ∵， ∴△CAO≌△DAB（ASA）， ∴AC=AD． 【點(diǎn)評】本題考查了切線的判定以及三角形的全等的判定與性質(zhì)，切線的判定常用的方法是轉(zhuǎn)化成證明垂直的問題． 　 七、解答題（滿分12分） 25．把一副三角板如下圖甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90，∠A=45，∠D=30，斜邊AB=6cm，DC=7cm．把三角板DCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15得到△D1CE1（如圖乙）．這時(shí)AB與CD1相交于點(diǎn)O，與D1E1相交于點(diǎn)F． （1）求∠OFE1的度數(shù)； （2）求線段AD1的長． 【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；勾股定理． 【專題】代數(shù)幾何綜合題． 【分析】（1）如圖所示，∠3=15，∠E1=90，∠1=∠2=75，所以，可得∠OFE1=∠B+∠1=45+75=120； （2）由∠OFE1=∠120，得∠D1FO=60，所以∠4=90，由AC=BC，AB=6cm，得OA=OB=OC=3cm，所以，OD1=CD1﹣OC=7﹣3=4cm，在Rt△AD1O中，AD1===5cm． 【解答】解：（1）如圖所示， ∵∠3=15，∠E1=90， ∴∠1=∠2=75， 又∵∠B=45， ∴∠OFE1=∠B+∠1=45+75=120； （2）∵∠OFE1=120， ∴∠D1FO=60， ∵∠C D1E1=30， ∴∠4=90， 又∵AC=BC，AB=6cm， ∴OA=OB=3cm， ∵∠ACB=90， ∴CO=AB=6=3cm， 又∵CD1=7cm， ∴OD1=CD1﹣OC=7﹣3=4cm， ∴在Rt△AD1O中， AD1===5cm． 【點(diǎn)評】本題主要考查了勾股定理和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，能熟練應(yīng)用勾股定理，并且掌握旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形完全相等． 　 八、解答題（滿分14分） 26．如圖，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，OA=4，OC=3，若拋物線的頂點(diǎn)在BC邊上，且拋物線經(jīng)過O，A兩點(diǎn)，直線AC交拋物線于點(diǎn)D． （1）求拋物線的解析式； （2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)； （3）若點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在x軸上，是否存在以A，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題． 【專題】綜合題；壓軸題． 【分析】（1）由OA的長度確定出A的坐標(biāo)，再利用對稱性得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)形式y(tǒng)=a（x﹣2）2+3，將A的坐標(biāo)代入求出a的值，即可確定出拋物線解析式； （2）設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，將A與C坐標(biāo)代入求出k與b的值，確定出直線AC解析式，與拋物線解析式聯(lián)立即可求出D的坐標(biāo)； （3）存在，分兩種情況考慮：如圖所示，當(dāng)四邊形ADMN為平行四邊形時(shí)，DM∥AN，DM=AN，由對稱性得到M（3，），即DM=2，故AN=2，根據(jù)OA+AN求出ON的長，即可確定出N的坐標(biāo)；當(dāng)四邊形ADM′N′為平行四邊形，可得三角形ADQ全等于三角形N′M′P，M′P=DQ=，N′P=AQ=3，將y=﹣代入得：﹣=﹣x2+3x，求出x的值，確定出OP的長，由OP+PN′求出ON′的長即可確定出N′坐標(biāo)． 【解答】解：（1）設(shè)拋物線頂點(diǎn)為E，根據(jù)題意OA=4，OC=3，得：E（2，3）， 設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣2）2+3， 將A（4，0）坐標(biāo)代入得：0=4a+3，即a=﹣， 則拋物線解析式為y=﹣（x﹣2）2+3=﹣x2+3x； （2）設(shè)直線AC解析式為y=kx+b（k≠0）， 將A（4，0）與C（0，3）代入得：， 解得：， 故直線AC解析式為y=﹣x+3， 與拋物線解析式聯(lián)立得：， 解得：或， 則點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，）； （3）存在，分兩種情況考慮： ①當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方時(shí)，如答圖1所示： 四邊形ADMN為平行四邊形，DM∥AN，DM=AN， 由對稱性得到M（3，），即DM=2，故AN=2， ∴N1（2，0），N2（6，0）； ②當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方時(shí)，如答圖2所示： 過點(diǎn)D作DQ⊥x軸于點(diǎn)Q，過點(diǎn)M作MP⊥x軸于點(diǎn)P，可得△ADQ≌△NMP， ∴MP=DQ=，NP=AQ=3， 將yM=﹣代入拋物線解析式得：﹣=﹣x2+3x， 解得：xM=2﹣或xM=2+， ∴xN=xM﹣3=﹣﹣1或﹣1， ∴N3（﹣﹣1，0），N4（﹣1，0）． 綜上所述，滿足條件的點(diǎn)N有四個(gè)：N1（2，0），N2（6，0），N3（﹣﹣1，0），N4（﹣1，0）． 【點(diǎn)評】此題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法確定拋物線解析式，一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)，平行四邊形的性質(zhì)，以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，是一道多知識點(diǎn)的探究型試題． 　  2016年2月2日 第28頁（共28頁）