一階可分離變量型微分方程.ppt

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第二節(jié),一階可分離變量型微分方程,一、可分離變量的微分方程,,可分離變量的微分方程.,解法,為微分方程的通解.,分離變量法,例1求解微分方程,解,分離變量,兩端積分,例題,又,兩端積分,通解為,解,解,由題設(shè)條件,衰變規(guī)律,例4,有高為1米的半球形容器,水從它的底部小孔流出,小孔橫截面積為1平方厘米(如圖).開始時容器內(nèi)盛滿了水,求水從小孔流出過程中容器里水面的高度h(水面與孔口中心間的距離)隨時間t的變化規(guī)律.,解,由力學(xué)知識得,水從孔口流出的流量為,,設(shè)在微小的時間間隔,水面的高度由h降至,,比較(1)和(2)得:,即為未知函數(shù)的微分方程.,可分離變量,所求規(guī)律為,思考題,為所求通解.,求解微分方程,也是解.,練習(xí)題,練習(xí)題答案,1、齊次方程P230,的微分方程稱為齊次方程.,2.解法,作變量代換,代入原式,可分離變量的方程,1.定義,可化為分離變量的微分方程---齊次方程,例1求解微分方程,微分方程的解為,解,例2求解微分方程,解,微分方程的解為,例3拋物線的光學(xué)性質(zhì),實例:車燈的反射鏡面------旋轉(zhuǎn)拋物面,解,如圖,入射角余角=反射角余角,由夾角正切公式,分離變量,積分得,得微分方程,平方化簡得,拋物線,2、可化為齊次的方程,為齊次方程.,（其中h和k是待定的常數(shù)）,否則為非齊次方程.,,,2.解法,1.定義,(2)有唯一一組解(h,k).,(1),(2),求通解,可分離變量的微分方程.,可分離變量的微分方程.,可分離變量.,求通解,代回z=ax+by,解,代入原方程得,分離變量、積分得,得原方程的通解,方程變?yōu)?通解為,解,利用變量代換求微分方程的解,解,代入原方程,原方程的通解為,思考題,方程,是否為齊次方程?,思考題解答,方程兩邊同時對求導(dǎo):,原方程是齊次方程.,練習(xí)題,練習(xí)題答案,