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2019-2020年高考數學5年真題備考題庫 第八章 第5節(jié) 橢圓 理（含解析）
1．（xx安徽，5分）若F1，F2分別是橢圓E：x2＋＝1(0
b>0)的離心率為，F是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為，O為坐標原點．
(1)求E的方程；
(2)設過點A的動直線l與E相交于P，Q兩點．當△OPQ的面積最大時，求l的方程．
解：(1)設F(c,0)，由條件知，＝，得c＝.
又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.
故E的方程為＋y2＝1.
(2)當l⊥x軸時不合題意，故設l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
將y＝kx－2代入＋y2＝1，
得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.
當Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>時，
x1,2＝.
從而|PQ|＝|x1－x2|＝.
又點O到直線PQ的距離d＝.
所以△OPQ的面積S△OPQ＝d|PQ|＝.
設 ＝t，則t>0，S△OPQ＝＝.
因為t＋≥4，當且僅當t＝2，即k＝時等號成立，且滿足Δ>0.
所以，當△OPQ的面積最大時，l的方程為y＝x－2或y＝－x－2.
4．（xx江蘇，14分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，F1，F2分別是橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，頂點B的坐標為(0，b)，連結BF2并延長交橢圓于點A，過點A作x軸的垂線交橢圓于另一點C，連結F1C.
(1)若點C的坐標為，且BF2＝，求橢圓的方程；
(2)若F1C⊥AB，求橢圓離心率e的值．
解：設橢圓的焦距為2c，則F1(－c，0)，F2(c,0)．
(1)因為B(0，b)，所以BF2＝＝a.
又BF2＝，故a＝.
因為點C在橢圓上，所以＋＝1.
解得b2＝1.
故所求橢圓的方程為＋y2＝1.
(2)因為B(0，b)，F2(c,0)在直線AB上，
所以直線AB的方程為＋＝1.
解方程組得或
所以點A的坐標為.
又AC垂直于x軸，由橢圓的對稱性，可得點C的坐標為.
因為直線F1C的斜率為＝，直線AB的斜率為－，且F1C⊥AB，
所以＝－1.
又b2＝a2－c2，整理得a2＝5c2.故e2＝.
因此e＝.
5．（xx福建，14分）設P，Q分別為圓x2＋(y－6)2＝2和橢圓＋y2＝1上的點，則P，Q兩點間的最大距離是( )
A．5 B.＋
C．7＋ D．6
解析：選D 設圓的圓心為C，則C(0,6)，半徑為r＝，點C到橢圓上的點Q(cos α，sin α)的距離|CQ|＝＝＝≤＝5，當且僅當sin α＝－時取等號，所以|PQ|≤|CQ|＋r＝5＋＝6，即P，Q兩點間的最大距離是6，故選D.
6．（xx江西，14分）過點M(1,1)作斜率為－的直線與橢圓C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B兩點，若M是線段AB的中點，則橢圓C的離心率等于________．
解析：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，分別代入橢圓方程相減得＋＝0，根據題意有x1＋x2＝21＝2，y1＋y2＝21＝2，且＝－，所以＋＝0，得a2＝2b2，所以a2＝2(a2－c2)，整理得a2＝2c2得＝，所以e＝.
答案：.
7．（xx天津，14分）設橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，右頂點為A，上頂點為B.已知|AB|＝|F1F2|.
(1)求橢圓的離心率；
(2)設P為橢圓上異于其頂點的一點，以線段PB為直徑的圓經過點F1，經過原點O的直線l與該圓相切．求直線的斜率．
解析：(1)設橢圓右焦點F2的坐標為(c,0)．
由|AB|＝|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2，
又b2＝a2－c2，則＝.
所以橢圓的離心率e＝.
(2)由(1)知a2＝2c2，b2＝c2.故橢圓方程為＋＝1.
設P(x0，y0)，由F1(－c,0)，B(0，c)，
有＝(x0＋c，y0)，＝(c，c)．
由已知，有＝0，即(x0＋c)c＋y0c＝0.
又c≠0，故有x0＋y0＋c＝0.?、?
又因為點P在橢圓上，故＋＝1.?、?
由①和②可得3x＋4cx0＝0.而點P不是橢圓的頂點，故x0＝－c，代入①得y0＝，則點P的坐標為.
設圓的圓心為T(x1，y1)，
則x1＝＝－c，y1＝＝c，
進而圓的半徑r＝＝c.
設直線l的斜率為k，依題意，直線l的方程為y＝kx.由l與圓相切，可得＝r，即＝c，整理得k2－8k＋1＝0，解得k＝4.
所以直線l的斜率為4＋或4－.
8．（xx新課標全國Ⅰ，5分）已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交E于A，B兩點．若AB的中點坐標為(1，－1)，則E的方程為( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：本題考查直線與橢圓的位置關系、斜率公式、焦點弦和中點弦問題，意在考查考生通過解方程組求解弦的中點的能力．運用兩點式得到直線的方程，代入橢圓方程，消去y，由根與系數的關系得到a，b之間的關系，并由a，b，c之間的關系確定橢圓方程．因為直線AB過點F(3,0)和點(1，－1)，所以直線AB的方程為y＝(x－3)，代入橢圓方程＋＝1消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，所以AB的中點的橫坐標為＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，選擇D.
答案：D
9．（xx廣東，5分）已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1,0)，離心率等于，則C的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：本題主要考查橢圓的圖像、方程、性質等知識，考查數形結合的數學思想方法，意在考查考生的抽象概括能力、運算求解能力．依題意，設橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)，所以解得a2＝4，b2＝3.
答案：D
10．（xx新課標全國Ⅱ，5分）設橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，P是C上的點，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30，則C的離心率為( )
A. B.
C. D.
解析：本題主要考查橢圓離心率的計算，涉及橢圓的定義、方程與幾何性質等知識，意在考查考生的運算求解能力．
法一：由題意可設|PF2|＝m，結合條件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故離心率e＝＝＝＝＝.
法二：由PF2⊥F1F2可知P點的橫坐標為c，將x＝c代入橢圓方程可解得y＝，所以|PF2|＝.又由∠PF1F2＝30可得|F1F2|＝|PF2|，故2c＝，變形可得(a2－c2)＝2ac，等式兩邊同除以a2，得(1－e2)＝2e，解得e＝或e＝－(舍去)．
答案：D
11．（xx遼寧，5分）已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點為F，C與過原點的直線相交于A，B兩點，連接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，則C的離心率為( )
A. B.
C. D.
解析：本題主要考查圓錐曲線的定義、離心率，解三角形等知識，意在考查考生對圓錐曲線的求解能力以及數據處理能力．由余弦定理得，|AF|＝6，所以2a＝6＋8＝14，又2c＝10，所以e＝＝.
答案：B
12．（xx四川，5分）從橢圓＋＝1(a＞b＞0)上一點P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點F1，A是橢圓與x軸正半軸的交點，B是橢圓與y軸正半軸的交點，且AB∥OP(O是坐標原點)，則該橢圓的離心率是( )
A. B.
C. D.
解析：本題主要考查橢圓的簡單幾何性質，意在考查曲線和方程這一解析幾何的基本思想．由已知，點P(－c，y)在橢圓上，代入橢圓方程，得P.∵AB∥OP，∴kAB＝kOP，即－＝－，則b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2c2，則＝，即該橢圓的離心率是.
答案：C
13．（xx天津，13分）設橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左焦點為F，離心率為，過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.
(1)求橢圓的方程；
(2)設A，B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點．若＋＝8，求k的值．
解：本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線的方程、向量的運算等基礎知識，考查用代數方法研究圓錐曲線的性質，考查考生的運算求解能力以及運用方程思想解決問題的能力．
(1)設F(－c,0)，由＝，知a＝c.過點F且與x軸垂直的直線的方程為x＝－c，代入橢圓方程有＋＝1，解得y＝，于是＝，解得b＝，又a2－c2＝b2，從而a＝，c＝1，所以橢圓的方程為＋＝1.
(2)設點C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直線CD的方程為y＝k(x＋1)，由方程組消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.
由根與系數的關系可得x1＋x2＝－，x1x2＝.因為A(－，0)，B(，0)所以＋＝(x1＋，y1)(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)(－x1，－y1)
＝6－2x1x2－2y1y2
＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)
＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2
＝6＋.
由已知得6＋＝8，解得k＝.
14．（xx山東，5分）已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為.雙曲線x2－y2＝1的漸近線與橢圓C有四個交點，以這四個交點為頂點的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：因為橢圓的離心率為，所以e＝＝，c2＝a2，c2＝a2＝a2－b2，所以b2＝a2，即a2＝4b2.雙曲線的漸近線方程為y＝x，代入橢圓方程得＋＝1，即＋＝＝1，所以x2＝b2，x＝b，y2＝b2，y＝ b，則在第一象限雙曲線的漸近線與橢圓C的交點坐標為(b，b)，所以四邊形的面積為4 b b＝b2＝16，所以b2＝5，所以橢圓方程為＋＝1.
答案：D
15．（xx新課標全國，5分）設F1，F2是橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，P為直線x＝上一點，△F2PF1是底角為30的等腰三角形，則E的離心率為( )
A. B.
C. D.
解析：由題意可得|PF2|＝|F1F2|，所以2(a－c)＝2c，所以3a＝4c，所以e＝.
答案：C
16．（2011浙江，5分）已知橢圓C1：＋＝1(a＞b＞0)與雙曲線C2：x2－＝1有公共的焦點，C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A，B兩點．若C1恰好將線段AB三等分，則( )
A．a2＝ B．a2＝13
C．b2＝ D．b2＝2
解析：對于直線與橢圓、圓的關系，如圖所示，設直線AB與橢圓C1的一個交點為C(靠近A的交點)，則|OC|＝，
因tan∠COx＝2，
∴sin∠COx＝，
cos∠COx＝，
則C的坐標為(，)，代入橢圓方程得＋＝1，∴a2＝11b2.∵5＝a2－b2，∴b2＝.
答案：C
17．（2011新課標全國，5分）在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F1，F2在x軸上，離心率為.過F1的直線l交C于A，B兩點，且△ABF2的周長為16，那么C的方程為____．
解析：根據橢圓焦點在x軸上，可設橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，∵e＝，∴＝.根據△ABF2的周長為16得4a＝16，因此a＝4，b＝2，
所以橢圓方程為＋＝1.
答案：＋＝1
18．（xx陜西，13分）已知橢圓C1：＋y2＝1，橢圓C2以C1的長軸為短軸，且與C1有相同的離心率．
(1)求橢圓C2的方程；
(2)設O為坐標原點，點A，B分別在橢圓C1和C2上，＝2，求直線AB的方程．
解：(1)由已知可設橢圓C2的方程為＋＝1(a>2)，
其離心率為，故＝，則a＝4，
故橢圓C2的方程為＋＝1.
(2)法一：A，B兩點的坐標分別記為(xA，yA)，(xB，yB)，由＝2及(1)知，O，A，B三點共線且點A，B不在y軸上，因此可設直線AB的方程為y＝kx.
將y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，
所以x＝，
將y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16，
所以x＝，
又由＝2，得x＝4x，即＝，
解得k＝1，故直線AB的方程為y＝x或y＝－x.
法二：A，B兩點的坐標分別記為(xA，yA)，(xB，yB)，
由＝2及(1)知，O，A，B三點共線且點A，B不在y軸上，
因此可設直線AB的方程為y＝kx.
將y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以
x＝，由＝2，得x＝，y＝，
將x，y代入＋＝1中，得＝1，即4＋k2＝1＋4k2，
解得k＝1，故直線AB的方程為y＝x或y＝－x.
19．(xx天津，12分)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4.
(1)求橢圓的方程；
(2)設直線l與橢圓相交于不同的兩點A，B，已知點A的坐標為(－a,0)，點Q(0，y0)在線段AB的垂直平分線上，且＝4，求y0的值．
解：(1)由e＝＝，得3a2＝4c2，再由c2＝a2－b2，得a＝2b.
由題意可知2a2b＝4，即ab＝2.
解方程組得a＝2，b＝1.
所以橢圓的方程為＋y2＝1.
(2)由(1)可知A(－2,0)，設B點的坐標為(x1，y1)，直線l的斜率為k，則直線l的方程為y＝k(x＋2)．
于是A，B兩點的坐標滿足方程組
由方程組消去y并整理，得
(1＋4k2)x2＋16k2x＋(16k2－4)＝0.
由－2x1＝，得
x1＝，從而y1＝.
設線段AB的中點為M，則M的坐標為(－，)．
以下分兩種情況：
①當k＝0時，點B的坐標為(2,0)，線段AB的垂直平分線為y軸，
于是＝(－2，－y0)，＝(2，－y0)．
由＝4，得y0＝2.
②當k≠0時，線段AB的垂直平分線的方程為y－＝－(x＋)．
令x＝0，解得y0＝－.
由＝(－2，－y0)，＝(x1，y1－y0)，
＝－2x1－y0(y1－y0)＝＋(＋)
＝＝4，
整理得7k2＝2，故k＝，
所以y0＝.
綜上，y0＝2或y0＝.
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