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2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 第4講 橢圓訓(xùn)練 理
一、選擇題
1．中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，若長軸長為18，且兩個焦點(diǎn)恰好將長軸三等分，則此橢圓的方程是( )．
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析 依題意知：2a＝18，∴a＝9,2c＝2a，∴c＝3，
∴b2＝a2－c2＝81－9＝72，∴橢圓方程為＋＝1.
答案 A
2．橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別是A，B，左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為 ( )．
A. B. C. D.－2
解析 因?yàn)锳，B為左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點(diǎn)，所以|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a＋c.
又因?yàn)閨AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，
所以(a－c)(a＋c)＝4c2，即a2＝5c2.
所以離心率e＝＝，故選B.
答案 B
3．已知橢圓x2＋my2＝1的離心率e∈，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ( )．
A. B.
C.∪ D.∪
解析 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋＝1.當(dāng)m>1時，e2＝1－∈，解得m>；當(dāng)0
b>0)的兩頂點(diǎn)為A(a,0)，B(0，b)，且左焦點(diǎn)為F，△FAB是以角B為直角的直角三角形，則橢圓的離心率e為( )
A. B.
C. D.
解析 根據(jù)已知a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝，故所求的橢圓的離心率為.
答案 B
6．已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為.雙曲線x2－y2＝1的漸近線與橢圓C有四個交點(diǎn)，以這四個交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為 ( )．
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析 因?yàn)闄E圓的離心率為，所以e＝＝，c2＝a2，c2＝a2＝a2－b2，所以b2＝a2，即a2＝4b2.雙曲線的漸近線方程為y＝x，代入橢圓方程得＋＝1，即＋＝＝1，所以x2＝b2，x＝b，y2＝b2，y＝b，則在第一象限雙曲線的漸近線與橢圓C的交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以四邊形的面積為4bb＝b2＝16，所以b2＝5，所以橢圓方程為＋＝1.
答案 D
二、填空題
7．設(shè)F1、F2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，M是F1P的中點(diǎn)，|OM|＝3，則P點(diǎn)到橢圓左焦點(diǎn)的距離為________．
解析 由題意知|OM|＝|PF2|＝3，∴|PF2|＝6.∴|PF1|＝25－6＝4.
答案 4
8．在等差數(shù)列{an}中，a2＋a3＝11，a2＋a3＋a4＝21，則橢圓C：＋＝1的離心率為________．
解析 由題意，得a4＝10，設(shè)公差為d，則a3＋a2＝(10－d)＋(10－2d)＝20－3d＝11，∴d＝3，∴a5＝a4＋d＝13，a6＝a4＋2d＝16>a5，∴e＝＝.
答案
9. 橢圓=1的焦點(diǎn)為F1和F2，點(diǎn)P在橢圓上.如果線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，那么|PF1|是|PF2|的_____倍．
解析 不妨設(shè)F1（－3，0），F(xiàn)2（3，0）由條件得P（3，），即|PF2|=，|PF1|=，因此|PF1|=7|PF2|.
答案 7
10.如圖，∠OFB＝，△ABF的面積為2－，則以O(shè)A為長半軸，OB為短半軸，F(xiàn)為一個焦點(diǎn)的橢圓方程為________．
解析 設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)，
由題可知，|OF|＝c，|OB|＝b，∴|BF|＝a，
∵∠OFB＝，∴＝，a＝2b.
S△ABF＝|AF||BO|＝(a－c)b
＝(2b－b)b＝2－，
∴b2＝2，∴b＝，∴a＝2，∴橢圓的方程為＋＝1.
答案?。?
三、解答題
11．如圖，設(shè)P是圓x2＋y2＝25上的動點(diǎn)，點(diǎn)D是P在x軸上的投影，M為PD上一點(diǎn)，且|MD|＝|PD|.
(1)當(dāng)P在圓上運(yùn)動時，求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
(2)求過點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的長度．
解 (1)設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，P的坐標(biāo)為(xP，yP)，
由已知得
∵P在圓上，∴x2＋2＝25，
即C的方程為＋＝1.
(2)過點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線方程為y＝(x－3)，
設(shè)直線與C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，
將直線方程y＝(x－3)代入C的方程，得
＋＝1，
即x2－3x－8＝0.
∴x1＝，x2＝.
∴線段AB的長度為|AB|＝
＝
＝ ＝.
12．設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，過F2的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為60，F(xiàn)1到直線l的距離為2.
(1)求橢圓C的焦距；
(2)如果＝2，求橢圓C的方程．
解 (1)設(shè)橢圓C的焦距為2c，由已知可得F1到直線l的距離c＝2，故c＝2.
所以橢圓C的焦距為4.
(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝2及l(fā)的傾斜角為60，知y1<0，y2>0，
直線l的方程為y＝(x－2)．
由消去x，
整理得(3a2＋b2)y2＋4b2y－3b4＝0.
解得y1＝，y2＝.
因?yàn)椋?，所以－y1＝2y2，
即＝2，解得a＝3.
而a2－b2＝4，所以b2＝5.
故橢圓C的方程為＋＝1.
13． 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x－y＋2＝0相切．
(1)求橢圓C的方程；
(2)已知點(diǎn)P(0,1)，Q(0,2)．設(shè)M，N是橢圓C上關(guān)于y軸對稱的不同兩點(diǎn)，直線PM與QN相交于點(diǎn)T.求證：點(diǎn)T在橢圓C上．
(1)解 由題意知，b＝＝.
因?yàn)殡x心率e＝＝，所以＝ ＝.
所以a＝2.
所以橢圓C的方程為＋＝1.
(2)證明 由題意可設(shè)M，N的坐標(biāo)分別為(x0，y0)，(－x0，y0)，
則直線PM的方程為y＝x＋1， ①
直線QN的方程為y＝x＋2. ②
法一 聯(lián)立①②解得x＝，y＝，
即T.由＋＝1，可得x＝8－4y.
因?yàn)?＋2＝
＝＝＝＝1，
所以點(diǎn)T的坐標(biāo)滿足橢圓C的方程，即點(diǎn)T在橢圓C上．
法二 設(shè)T(x，y)，聯(lián)立①②解得x0＝，y0＝.
因?yàn)椋?，所以2＋2＝1.
整理得＋＝(2y－3)2，
所以＋－12y＋8＝4y2－12y＋9，即＋＝1.
所以點(diǎn)T坐標(biāo)滿足橢圓C的方程，即點(diǎn)T在橢圓C上．
14．如圖，設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)O，長軸在x軸上，上頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，線段OF1，OF2的中點(diǎn)分別為B1，B2，且△AB1B2是面積為4的直角三角形．
(1)求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過B1作直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，使PB2⊥QB2，求直線l的方程．
解 (1) 如圖，設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a＞b＞0)，右焦點(diǎn)為F2(c,0)．
因△AB1B2是直角三角形，
又|AB1|＝|AB2|，
故∠B1AB2為直角，
因此|OA|＝|OB2|，得b＝.
結(jié)合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，
故a2＝5b2，c2＝4b2，所以離心率e＝＝.
在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，
故S△AB1B2＝|B1B2||OA|＝|OB2||OA|＝b＝b2.由題設(shè)條件S△AB1B2＝4得b2＝4，從而a2＝5b2＝20.因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：＋＝1.
(2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)．由題意知直線l的傾斜角不為0，故可設(shè)直線l的方程為x＝my－2.代入橢圓方程得(m2＋5)y2－4my－16＝0.
設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1，y2是上面方程的兩根，
因此y1＋y2＝，y1y2＝－，
又＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，
所以＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2
＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16
＝－－＋16＝－，
由PB2⊥QB2，得＝0，
即16m2－64＝0，解得m＝2.
所以滿足條件的直線有兩條，其方程分別為x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0.
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