概率論與數(shù)理統(tǒng)計第1章.ppt
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1,目前,數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)、金融、管理科學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用越來越廣泛,需要應(yīng)用隨機(jī)數(shù)學(xué)對這些領(lǐng)域中的許多問題及大量數(shù)據(jù)建模、分析和進(jìn)行推斷,為此,必須掌握隨機(jī)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)課程概率論與數(shù)理統(tǒng)計。,應(yīng)用,理論基礎(chǔ),2,概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)分支,從近代博弈論逐步發(fā)展起來;數(shù)理統(tǒng)計以概率論為工具研究統(tǒng)計資料的收集、整理,并依據(jù)收集現(xiàn)象的規(guī)律性作出科學(xué)的分析和推斷。,概率論與數(shù)理統(tǒng)計以隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性為研究對象,其最終目的在于用隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性指導(dǎo)我們的實踐。,3,1.1隨機(jī)現(xiàn)象與統(tǒng)計規(guī)律性,一、隨機(jī)現(xiàn)象與決定性現(xiàn)象,定義:在試驗或觀測之前,不能確切知道哪個結(jié)果會發(fā)生,稱此現(xiàn)象為隨機(jī)現(xiàn)象。相反,在一定條件下能夠明確預(yù)知其結(jié)果,稱此現(xiàn)象為決定性現(xiàn)象。,4,(4)火箭速度超過第一宇宙速度就會擺脫地球引力而飛出地球。,(2)從93個產(chǎn)品(其中90正3次)中抽取一個產(chǎn)品;,例1:判斷下列現(xiàn)象為隨機(jī)現(xiàn)象還是決定性現(xiàn)象?,(1)扔一枚分幣;,(3)在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下將水加熱至100必沸騰;,5,二、隨機(jī)試驗與樣本空間,定義:概率論中將對隨機(jī)現(xiàn)象的觀察或為觀察隨機(jī)現(xiàn)象而進(jìn)行的試驗稱為隨機(jī)試驗,它應(yīng)具備以下三個特征:,每次試驗的可能結(jié)果不止一個,且事先明確知道試驗的所有可能性結(jié)果。,進(jìn)行試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會發(fā)生。,試驗可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行。,隨機(jī)試驗簡稱試驗,用英文字母E表示。,6,定義:隨機(jī)試驗E的每一個基本結(jié)果,稱為樣本點(diǎn),記為;樣本點(diǎn)的全體組成的集合稱為樣本空間,記為。,例2:求下列隨機(jī)試驗的樣本空間:(1)將一枚硬幣連擲兩次;,(3)某人向一目標(biāo)進(jìn)行射擊,直至命中目標(biāo),觀察其射擊的次數(shù)。,(2)擲一顆骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù);,7,三、隨機(jī)事件,定義:在隨機(jī)試驗中可能會發(fā)生和可能不會發(fā)生的事件稱為隨機(jī)事件,簡稱事件,用大寫英文字母A,B,C,Ai等表示。,事件是樣本點(diǎn)的集合,它是樣本空間的子集。樣本空間必然事件。不包含任何樣本點(diǎn)的空集不可能事件。,8,四、頻率的穩(wěn)定性,定義:對于隨機(jī)事件A,若在n次試驗中出現(xiàn)了次,則稱,為事件A在n次試驗中出現(xiàn)的頻率。,例3:擲一枚硬幣,A“正面向上”,幾位數(shù)學(xué)家的試驗結(jié)果如下:,9,Fn(A)穩(wěn)定在0.5附近擺動,但不是普通的極限意義。,10,五、概率的統(tǒng)計意義,定義:隨機(jī)試驗E中的事件A,在n次重復(fù)試驗中出現(xiàn)的頻率為Fn(A),當(dāng)n很大時,F(xiàn)n(A)穩(wěn)定地在某一數(shù)值p的附近擺動,且隨著n的增大,擺動幅度會減小,則稱p為隨機(jī)事件A發(fā)生的概率,記為,11,1.2隨機(jī)事件間的關(guān)系與運(yùn)算,一、關(guān)系,1、包含(子事件):,事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生,稱A是B的子事件,記為AB。,若AB且AB,則稱事件A與事件B等價,記為AB。,12,2、交事件:,事件A與事件B同時發(fā)生,記為AB或AB。,n個事件的交事件指A1,A2,An同時發(fā)生:,3、并事件:,事件A、B至少有一個發(fā)生,記為AB。,n個事件的并事件指A1,A2,An至少有一個發(fā)生:,13,4、差事件:,事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生,記為。,5、互不相容或互斥:,事件A與事件B不可能同時發(fā)生,記。,當(dāng)事件A、B互斥時,記ABAB。,6、對立事件:,對于事件A,稱“事件A不發(fā)生”為事件A的對立事件,記為。,14,A()發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)(A)不發(fā)生;若兩個事件A、B滿足稱A、B對立或稱A、B互逆。,于是有,15,二、運(yùn)算規(guī)律,1、交換律:,2、結(jié)合律:,3、分配律:,16,4、德摩根(DeMorgen)律:,此律又稱對偶律;,對于n個事件,甚至無限可列個事件,此律亦成立。,17,例1:圓柱形產(chǎn)品,直徑、長度都要合格,產(chǎn)品才算合格。規(guī)定A“長度合格”;B“直徑合格”;C“產(chǎn)品合格”,描述A,B,C之間的關(guān)系。,例2:A1“2個樣品中有一個次品”;A2“2個樣品全是次品”;B“2個樣品中至少有一個次品”,求。,18,例3:p.11,第3題。,例4:擲骰子,A=“擲出奇數(shù)點(diǎn)”;B=“點(diǎn)數(shù)不超過3”;C=“點(diǎn)數(shù)大于2”;D=“擲出5點(diǎn)”。求AB;BC;AB;BD;AB;BA。,19,例5:某人連續(xù)三次購買體育彩票,每次一張,令A(yù)、B、C分別表示其第一、二、三次所買的彩票中獎事件,試用A、B、C表示下列事件:(1)第三次未中獎;(2)只有第三次中了獎;(3)恰有一次中獎;(4)至少有一次中獎;(5)不止一次中獎;(6)至多中獎兩次。,20,1.3概率的古典意義,一、古典概型,1、定義:具有下述兩個特征的隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型稱為古典概型:,試驗E的樣本空間是有限的,即,每個樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性即發(fā)生的概率相同。,21,設(shè)為古典概型,事件A發(fā)生的概率定義為,概率的古典定義,22,2、概率的基本性質(zhì),定理1.1:,非負(fù)性:對任一事件A,有0P(A)1。,規(guī)范性:,有限可加性:若事件A,B互斥,則,進(jìn)一步,如果A1,A2,Am是兩兩互斥的事件,則,為基本性質(zhì),23,加法公式:,若,則,24,二、古典概型的計算,1、復(fù)習(xí)排列組合,兩個基本原理,乘法原理進(jìn)行A過程有n種方法,B過程有m種方法,則進(jìn)行AB過程有mn種方法。,加法原理進(jìn)行A過程有n種方法,B過程有m種方法,則進(jìn)行AB過程有m+n種方法。,25,排列:從n個元素中取出r個元素進(jìn)行有順序地放置。,有放回選取,從n個元素中有放回選取r個元素,共有nr種方法。,無放回選取,從n個元素中無放回選取r個元素(rn),共有種方法。,26,組合:從n個元素中取出r個元素,不必考慮r個元素的前后順序。設(shè)其結(jié)果為或。,組合的計算是通過考慮一個組合可以產(chǎn)生多少個排列而得到結(jié)果。,27,例1:某鐵路線上共有20個車站,要為這條鐵路線準(zhǔn)備多少種車票?,例2:30個籃球隊進(jìn)行單循環(huán)比賽,要進(jìn)行幾場比賽?,例3:袋中有5紅2白7個球,有放回地每次從袋中摸一球,共摸三次,問兩次摸紅球、一次摸白球的試驗結(jié)果有幾個?,28,2、具體例子,設(shè)有20個某種零件,其中16個為一級品,4個為二級品,現(xiàn)從中任取三個,求:只有一個一級品的概率;至少有一個一級品的概率。,從0、1、2、3這4個數(shù)字中任取3個進(jìn)行排列,求“取得的3個數(shù)字排成的數(shù)是三位數(shù)且是偶數(shù)”的概率。,29,一口袋中有5紅2白7個球,從袋中任取一球,有放回地取2次,求:均取紅球的概率;第一次取紅球,第二次取白球的概率;取得一紅一白的概率。,設(shè)事件A、B的概率分別為和,求下列三種情況下的值:A與B互斥;。,30,在某城市中共發(fā)行三種報紙A、B、C,該城市的居民中,訂購A的占45;訂購B的占35;訂購C的占30;同時訂購A、B的占10;同時訂購A、C的占8;同時訂購B、C的占5;同時訂購A、B、C的占3。試求下列百分率:只訂購A的;正好訂購兩種報紙;至少訂購一種報紙;不訂購任何報紙。,31,1.4概率的公理化意義,一、幾何概率,引例:在一個均勻陀螺的圓周上均勻地刻上0,3)上的諸數(shù)字,旋轉(zhuǎn)陀螺至其停止,問B“圓周的接觸點(diǎn)位于區(qū)間1,2)上”的概率為多少?,解:由于刻度均勻,圓周上各刻度與桌面接觸是等可能的,因此所求概率應(yīng)與區(qū)間的長度成正比。又概率應(yīng)在01之間,故如下定義是合理的:,32,定義:設(shè)試驗E的樣本空間為某可度量的區(qū)域,且中任一區(qū)域出現(xiàn)的可能性的大小與該區(qū)域的幾何度量成正比而與該區(qū)域的位置和形狀無關(guān),則稱該試驗E為幾何概型的。如果A是中的任一區(qū)域,且A可以度量,則定義A的概率為,可以為一維(長度);二維(面積);三維(體積)。稱這樣定義的概率為幾何概率。,33,例1:甲、乙兩船駛向一個不能同時停泊兩艘船的碼頭,它們在一晝夜內(nèi)到達(dá)的時刻是等可能的。如果甲船停泊時間為1小時,乙船停泊時間為2小時,求它們?nèi)我凰叶疾恍枰却a頭空出的概率。,例2:把長度為a的棒任意折成三段,求它們可以構(gòu)成一個三角形的概率。,34,幾何概率的基本性質(zhì),對任一事件A,有0P(A)1。,。,若A1,A2,Am是兩兩互不相容的事件,則,為基本性質(zhì),進(jìn)一步,m,有限可加性可列可加性。,幾何概率同樣滿足古典概型的性質(zhì)。,35,二、概率的公理化定義,本書所提及的概率全為公理化定義的概率。古典概率和幾何概型均強(qiáng)調(diào)等可能性,存在很大的局限性。由、基本性質(zhì)可歸納出概率的公理化定義。概率的公理化定義,36,定義:設(shè)為基本事件空間,對于任一事件A,定義一個實數(shù)P(A),它滿足如下三條公理:,0P(A)1;,P()=1;,對于兩兩互不相容的事件Ai,i1,2,有,則稱P(A)為事件A的概率。,37,性質(zhì):,若A1,A2,Am兩兩互不相容,則,若,則P(A)P(B),P(BA)=P(B)P(A)。,任意兩事件A,B,,38,例3:甲袋中有2紅1白3個球,乙袋中有1紅2白3個球,從甲袋中任取一球放入乙袋,再從乙袋中任取一球放入甲袋,求試驗后甲袋中球的成分不變的概率。,例4:口袋中有紅、黃、白三個球,有放回地每次抽一個球,共抽三次。求:L“三個球中無紅或無黃情形”的概率。,39,1.5條件概率與事件獨(dú)立性,一、條件概率與乘法公式,引例:兩臺機(jī)床加工同一零件,基本情況如下:,現(xiàn)從100只產(chǎn)品中任取一個,A“取到第一臺的產(chǎn)品”,B“取到正品”,求:,40,(1)P(B);(2)如果已知取到的是第一臺車床的產(chǎn)品,即已知A發(fā)生,問B發(fā)生即取到正品的概率為多少?,解:,如果已知取到的是第一臺車床的產(chǎn)品,即已知A發(fā)生,問B發(fā)生即取到正品的概率為,定義:在事件A發(fā)生的條件下(已知P(A)0),事件B發(fā)生的概率稱為條件概率,記為。,41,乘法公式(乘法定理):,若P(A)0,則,即,同理,若P(B)0,則。,對稱性,若P(A1A2An-1)0,則,42,例1:袋中有10個白球與90個黑球,現(xiàn)從中無放回地接連取3個球,求3個都是白球的概率。,例2:設(shè)某種動物從出生算起活20歲以上的概率為0.8,活25歲以上的概率為0.4,如果現(xiàn)在有一個20歲的動物,問它能活到25歲以上的概率為多少?,例3:拋一枚均勻分幣2次,設(shè)Ai=第i次正面向上,i=1,2。求,。,43,例4:現(xiàn)有甲、乙兩個品牌的外型完全一樣的電池17只,甲牌有6只正品2只次品,乙牌有5只正品4只次品,從17只電池中任意取出1只,并設(shè)A“取到甲牌”,B“取到正品”,求,。,44,1.5條件概率與事件獨(dú)立性(續(xù)),一、條件概率與乘法公式,若P(B)0,則,二、全概率公式與貝葉斯公式,1、樣本空間的劃分,設(shè)為樣本空間,事件A1,A2,An滿足,A1,A2,An兩兩互不相容,即,則稱A1,A2,An為樣本空間的一個劃分。,45,2、全概率公式,設(shè)A1,A2,An為樣本空間的一個劃分,P(Ai)0(i=1,2,n),則對任一事件B,有,全概率公式,證明:,因為A1,A2,An兩兩互不相容,所以,46,例1:某項考試須由考生抽簽答題。已知10只考簽中有3只難簽,被考生抽到的考簽不再放回,現(xiàn)有甲、乙兩人先后應(yīng)考,求甲、乙各自抽到難簽的概率。,例2:設(shè)有一箱同類型的產(chǎn)品由三家工廠所生產(chǎn),已知其中有50的產(chǎn)品是第一家工廠所生產(chǎn)的,其它二廠各生產(chǎn)25。又知第一、第二兩廠生產(chǎn)的有2是次品;第三家工廠生產(chǎn)的有4是次品。現(xiàn)從箱中任取一個產(chǎn)品,問拿到的是次品的概率為多少?,47,3、貝葉斯(Bayes)公式,設(shè)A1,A2,An為樣本空間的一個劃分,P(Ai)0(i=1,2,n)且P(B)0則有,貝葉斯公式,證明:因為,故由,以及,即得。,48,例3:發(fā)電報,A“發(fā)”,P(A)=0.6,“發(fā)”,。“發(fā)收”的概率為0.8;“發(fā)但收”的概率為0.2;“發(fā)但收”的概率為0.1;“發(fā)收”的概率為0.9。(1)令B“收到”,求P(B);(2)現(xiàn)在收到,問“真是發(fā)”的概率。,49,三、事件獨(dú)立性,1、兩個事件A,B的獨(dú)立性,定義:若事件A,B滿足P(AB)=P(A)P(B),稱A與B獨(dú)立。,定理:設(shè)A,B為事件且P(A)0,若A,B相互獨(dú)立,則,P(B|A)=P(B),即B發(fā)生與A是否發(fā)生無關(guān),反之亦然;,A與;與B;與亦相互獨(dú)立。,50,2、三個事件A,B,C的獨(dú)立性,定義:設(shè)A,B,C是三個事件,若滿足P(AB)=P(A)P(B);P(AC)=P(A)P(C);P(BC)=P(B)P(C);P(ABC)=P(A)P(B)P(C),則稱A,B,C相互獨(dú)立。,證:,若A,B,C相互獨(dú)立,則一定兩兩獨(dú)立;若A,B,C兩兩獨(dú)立,則A,B,C不一定相互獨(dú)立。,51,3、n個事件相互獨(dú)立,定義:設(shè)A1,A2,An為n個事件,對于,任意滿足,2n-n-1個等式,則稱A1,A2,An相互獨(dú)立。,此時記Bi為Ai或,則B1,B2,Bn相互獨(dú)立。,A1,A2,An相互獨(dú)立,反之不成立。,52,例4:甲、乙兩射手獨(dú)立地向目標(biāo)射擊,A“甲擊中”,B“乙擊中”,C“目標(biāo)擊中”,P(A)0.9,P(B)0.8,求P(C)。,例5:一個工人看三臺布機(jī),5分鐘內(nèi)第i臺機(jī)床停車(i=1,2,3)的概率分別為0.4,0.5,0.7。設(shè)Ai=“第i臺機(jī)床停車”,三臺布機(jī)停車與否相互獨(dú)立,求5分鐘內(nèi)恰有一臺停車的概率。,53,4、可靠度,可靠度指元件能正常工作的概率。,設(shè)每個元件的可靠度為r,n個元件相互獨(dú)立。,若串聯(lián):,獨(dú)立積rn,若并聯(lián):,獨(dú)立和1-(1-r)n,54,例8:已知事件A,B,C,D相互獨(dú)立。A“a閉合”,B“b閉合”,C“c閉合”,D“d閉合”。P(A)P(B)P(C)P(D)0.5。,例9:某種彩票中獎面為36,某君一次購買了10張,求其中獎的概率。,求E“燈亮”的概率;已知燈亮,求開關(guān)a,b同時閉合的概率即求P(AB|E)。,a,b,c,d,- 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