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小結(jié)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.通過知識(shí)點(diǎn)與相應(yīng)題目相結(jié)合,進(jìn)一步鞏固本章知識(shí)點(diǎn).
2.體會(huì)反比例函數(shù)的意義,會(huì)根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)表達(dá)式.
3.會(huì)畫反比例函數(shù)的圖象,理解反比例函數(shù)的性質(zhì).
4.能用反比例函數(shù)解決某些實(shí)際問題.
學(xué)習(xí)過程
第一層學(xué)習(xí):復(fù)習(xí)知識(shí)
1.什么是反比例函數(shù)?常見的三種表達(dá)形式是什么?
2.你能回顧與總結(jié)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)嗎?
圖象
形狀
位置
增減性
變化趨勢
對(duì)稱性
面積不變性
第二層學(xué)習(xí):典例剖析
1.反比例函數(shù)的概念
【例1】下列函數(shù)中是反比例函數(shù)的有 (填序號(hào)).
①y=x3;②y=2x;③y=-32x;④xy=12;⑤y=x-1;⑥yx=2;⑦y=kx(k為常數(shù),k≠0).
點(diǎn)評(píng):本題考查了反比例函數(shù)的定義,判斷一個(gè)函數(shù)是否是反比例函數(shù),首先看兩個(gè)變量是否具有反比例關(guān)系,然后根據(jù)反比例函數(shù)的意義去判斷,其形式為y=kx(k為常數(shù),k≠0)或y=kx-1(k為常數(shù),k≠0).
【例2】m為何值時(shí),下列函數(shù)是反比例函數(shù)?
(1)y=(m-1)xm2-2;
(2)y=m+2x|m|-1.
點(diǎn)評(píng):掌握反比例函數(shù)解析式的兩種形式:①y=kx(k≠0)和②y=kx-1(k≠0)的特點(diǎn),據(jù)此列出關(guān)于字母參數(shù)的方程或不等式是關(guān)鍵.
2.反比例函數(shù)的性質(zhì)
【例3】在函數(shù)y=-a2-1x(a為常數(shù))的圖象上有三點(diǎn)(1,y1),12,y2,(-3,y3),則函數(shù)值y1,y2,y3的大小關(guān)系是( )
A.y1
0時(shí),圖象分布在第一、三象限,在每一象限,y隨x的增大而減小;當(dāng)k<0時(shí),圖象分布在第二、四象限,在每一象限,y隨x的增大而增大.
3.反比例函數(shù)解析式中k的幾何意義
【例4】如圖所示,兩個(gè)反比例函數(shù)y=k1x和y=k2x在第一象限內(nèi)的圖象依次是C1和C2,設(shè)點(diǎn)P在C1上,PC⊥x軸于點(diǎn)C,交C2于點(diǎn)A,PD⊥y軸于點(diǎn)D,交C2于點(diǎn)B,則四邊形PAOB的面積為( )
A.k1+k2
B.k1-k2
C.k1k2
D.k1k2-k2
點(diǎn)評(píng):本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義:在反比例函數(shù)y=kx圖象中任取一點(diǎn),過這一個(gè)點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線,與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|k|.
4.反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
【例5】為了預(yù)防“流感”,某學(xué)校對(duì)教室采用藥熏消毒法進(jìn)行消毒,已知藥物燃燒時(shí),室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(mg)與時(shí)間x(min)成正比例,藥物燃燒完后,y與x成反比例(如圖所示).現(xiàn)測得藥物8 min燃畢,此時(shí)室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量為6 mg.研究表明,當(dāng)空氣中每立方米的含藥量不低于3 mg才有效,那么此次消毒的有效時(shí)間是多少?
點(diǎn)評(píng):本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用,現(xiàn)實(shí)生活中存在大量成反比例函數(shù)的兩個(gè)變量,解答該類問題的關(guān)鍵是確定兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系,然后利用待定系數(shù)法求出它們的關(guān)系式.
5.反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用
【例6】如圖,一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y=kx的圖象交于第一象限C,D兩點(diǎn),與坐標(biāo)軸交于A,B兩點(diǎn),連接OC,OD(O是坐標(biāo)原點(diǎn)).
(1)利用圖中條件,求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式和m的值;
(2)雙曲線上是否存在一點(diǎn)P,使得△POC和△POD的面積相等?若存在,給出證明并求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
點(diǎn)評(píng):本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題,用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用,用了數(shù)形結(jié)合思想.
評(píng)價(jià)作業(yè)
1.(10分)下列函數(shù):xy=1,y=x3,y=kx,y=1x-2,y=2x2中,是y關(guān)于x的反比例函數(shù)的有( )
A.1個(gè) B.2個(gè)
C.3個(gè) D.4個(gè)
2.(10分)反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,5),若點(diǎn)(-5,n)在反比例函數(shù)的圖象上,則n等于( )
A.-10 B.-5
C.-2 D.-110
3.(10分)對(duì)于函數(shù)y=3x+kx(k>0)有以下四個(gè)結(jié)論:
①這是y關(guān)于x的反比例函數(shù);②當(dāng)x>0時(shí),y的值隨著x的增大而減小;③函數(shù)圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn);④函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)(0,3)成中心對(duì)稱.
其中正確的是( )
A.①② B.③④
C.①②③ D.②③④
4.(10分)在函數(shù)y=-2x的圖象上有三點(diǎn)(-1,y1),(-0.25,y2),(3,y3),則函數(shù)值y1,y2,y3的大小關(guān)系是 .
5.(10分)小偉欲用撬棍撬動(dòng)一塊大石頭,已知阻力和阻力臂分別為1 200 N和0.5 m,當(dāng)撬動(dòng)石頭的動(dòng)力F至少需要400 N時(shí),則動(dòng)力臂l的最大值為 m.
6.(10分)如圖,點(diǎn)D為矩形OABC的AB邊的中點(diǎn),反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D,交BC邊于點(diǎn)E.若△BDE的面積為1,則k= .
7.(20分)如圖,直線y=3x-5與反比例函數(shù)y=k-1x的圖象相交A(2,m),B(n,-6)兩點(diǎn),連接OA,OB.
(1)求k和n的值;
(2)求△AOB的面積.
8.(20分)喝綠茶前需要燒水和泡茶兩個(gè)工序,即需要將電熱水壺中的水燒到100 ℃,然后停止燒水,等水溫降低到適合的溫度時(shí)再泡茶,燒水時(shí)水溫y(℃)與時(shí)間x(min)成一次函數(shù)關(guān)系;停止加熱過了1分鐘后,水壺中水的溫度y(℃)與時(shí)間x(min)近似于反比例函數(shù)關(guān)系(如圖).已知水壺中水的初始溫度是20 ℃,降溫過程中水溫不低于20 ℃.
(1)分別求出圖中所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,并且寫出自變量x的取值范圍;
(2)從水壺中的水燒開(100 ℃)降到80 ℃就可以進(jìn)行泡制綠茶,問從水燒開到泡茶需要等待多長時(shí)間?
參考答案
第一層學(xué)習(xí):復(fù)習(xí)知識(shí)
1.一般地,形如y=kx(k是常數(shù),k≠ 0 )的函數(shù)叫做反比例函數(shù).
解析式有三種常見的表達(dá)形式:①y=kx(k是常數(shù),k≠0),②xy=k(k是常數(shù),k≠0),③y=kx-1(k是常數(shù),k≠0).
2.
圖象
k>0 k<0
形狀
圖象是雙曲線
位置
當(dāng)k>0時(shí),雙曲線分別位于第一,三象限內(nèi)
當(dāng)k<0時(shí),雙曲線分別位于第二,四象限內(nèi)
增減性
當(dāng)k>0時(shí),在每一象限內(nèi),y隨x的增大而減小
當(dāng)k<0時(shí),在每一象限內(nèi),y隨x的增大而增大
變化趨勢
雙曲線無限接近于x,y軸,但永遠(yuǎn)不會(huì)與坐標(biāo)軸相交
對(duì)稱性
雙曲線既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形.
面積不變性
任意一組變量的乘積是一個(gè)定值,即xy=k;
長方形面積|mn|=|k|
第二層學(xué)習(xí):典例剖析
1.反比例函數(shù)的概念
【例1】解析:由題意可得①⑤⑥是一次函數(shù);②③④⑦是反比例函數(shù).
答案:②③④⑦
【例2】解:(1)由題意得m2-2=-1,且m-1≠0,
解得m=-1;
(2)由題意得m+2≠0,|m|-1=1,
解得m=2.
2.反比例函數(shù)的性質(zhì)
【例3】解析:∵-a2-1<0,
∴函數(shù)y=-a2-1x(a為常數(shù))的圖象分布在第二、四象限,
∴y3為正數(shù),最大;y1>y2,
∴y20),
將(8,6)代入,得6=8k1,解得k1=34;
設(shè)藥物燃燒后y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=k2x(k2>0),
將(8,6)代入,得6=k28,解得k2=48,
所以藥物燃燒時(shí)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=34x(0≤x≤8),
藥物燃燒后y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=48x(x>8);
把y=3代入y=34x,得x=4,
把y=3代入y=48x,得x=16.
16-4=12(分鐘).
故此次消毒的有效時(shí)間是12分鐘.
5.反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用
【例6】解:(1)把C(1,4)代入y=kx,
得k=4,
把(4,m)代入y=4x,得m=1;
∴反比例函數(shù)的解析式為y=4x,m=1;
把C(1,4),D(4,1)代入y=ax+b得出4=k+b,1=4k+b,
解得k=-1,b=5,
∴一次函數(shù)的解析式為y=-x+5;
(2)雙曲線上存在點(diǎn)P(2,2),使得S△POC=S△POD,理由如下:
∵C點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4),D點(diǎn)坐標(biāo)為(4,1),
∴OD=OC=17,
∴當(dāng)點(diǎn)P在∠COD的平分線上時(shí),∠COP=∠POD,又OP=OP,
∴△POC≌△POD,
∴S△POC=S△POD.
∵C點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4),D點(diǎn)坐標(biāo)為(4,1),
可得∠COB=∠DOA,
又∵這個(gè)點(diǎn)是∠COD的平分線與雙曲線的y=4x交點(diǎn),
∴∠BOP=∠POA,
∴P點(diǎn)橫縱坐標(biāo)相等,
即xy=4,x2=4,
∴x=2,
∵x>0,
∴x=2,y=2,
故P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2),使得△POC和△POD的面積相等.
利用點(diǎn)CD關(guān)于直線y=x對(duì)稱,P(2,2)或P(-2,-2).
評(píng)價(jià)作業(yè)
1.A 2.C 3.D
4.y3
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