2019年春九年級數(shù)學下冊《第28章 銳角三角函數(shù)》單元測試卷（含解析）（新版）新人教版.doc

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《第28章 銳角三角函數(shù)》單元測試卷 一．選擇題（共10小題） 1．Rt△ABC中，∠C＝90，cosA＝，AC＝6cm，那么BC等于（　?。? A．8cm B． cm C． cm D． cm 2．已知＜cosA＜sin80，則銳角A的取值范圍是（　?。? A．60＜A＜80 B．30＜A＜80 C．10＜A＜60 D．10＜A＜30 3．在Rt△ABC中，∠C＝90，若sinA＝，則cosA的值為（　?。? A． B． C． D． 4．在Rt△ABC中，∠C＝90，sinB＝，則tanA的值為（　　） A． B． C． D． 5．在△ABC中，∠C＝90，，則∠B為（　?。? A．30 B．45 C．60 D．90 6．計算sin20﹣cos20的值是（保留四位有效數(shù)字）（　?。? A．﹣0.5976 B．0.5976 C．﹣0.5977 D．0.5977 7．在Rt△ABC中，∠C＝90，cosA＝，AC＝，則BC等于（　　） A． B．1 C．2 D．3 8．如圖，為了測量河岸A，B兩點的距離，在與AB垂直的方向上取點C，測得AC＝a，∠ABC＝α，那么AB等于（　?。? A．a?sinα B．a?cosα C．a?tanα D． 9．如圖，一輛小車沿傾斜角為α的斜坡向上行駛13米，已知cosα＝，則小車上升的高度是（　?。? A．5米 B．6米 C．6.5米 D．12米 10．如圖，學校環(huán)保社成員想測量斜坡CD旁一棵樹AB的高度，他們先在點C處測得樹頂B的仰角為60，然后在坡頂D測得樹頂B的仰角為30，已知斜坡CD的長度為20m，DE的長為10m，則樹AB的高度是（　　）m． A．20 B．30 C．30 D．40 二．填空題（共5小題） 11．如圖，△ABC的頂點是正方形網(wǎng)格的格點，則tanA的值為　 ?。? 12．有四個命題： ①若45＜a＜90，則sina＞cosa； ②已知兩邊及其中一邊的對角能作出唯一一個三角形； ③已知x1，x2是關于x的方程2x2+px+p+1＝0的兩根，則x1+x2+x1x2的值是負數(shù)； ④某細菌每半小時分裂一次（每個分裂為兩個），則經(jīng)過2小時它由1個分裂為16個． 其中正確命題的序號是　 ?。ㄗⅲ喊阉姓_命題的序號都填上）． 13．若0＜α＜90，，則sinα＝　 ?。? 14．在△ABC中，∠C＝90，sinA＝，則tanB＝　 ?。? 15．已知α為銳角，且sin（α﹣10）＝，則α等于　 　度． 三．解答題（共6小題） 16．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝BC＝6，點D為AC中點，點E為邊AB上一動點，點F為射線BC上一動點，且∠FDE＝90． （1）當DF∥AB時，連接EF，求∠DEF的余切值； （2）當點F在線段BC上時，設AE＝x，BF＝y(tǒng)，求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍； （3）連接CE，若△CDE為等腰三角形，求BF的長． 17．下列關系式是否成立（0＜α＜90），請說明理由． （1）sinα+cosα≤1； （2）sin2α＝2sinα． 18．計算：tan260﹣2sin30﹣cos45． 19．如圖，△ABC中，∠ACB＝90，sinA＝，BC＝8，D是AB中點，過點B作直線CD的垂線，垂足為點E． （1）求線段CD的長； （2）求cos∠ABE的值． 20．隨著人們經(jīng)濟收入的不斷提高，汽車已越來越多地進入到各個家庭．某大型超市為緩解停車難問題，建筑設計師提供了樓頂停車場的設計示意圖．按規(guī)定，停車場坡道口上坡要張貼限高標志，以便告知車輛能否安全駛入．如圖，地面所在的直線ME與樓頂所在的直線AC是平行的，CD的厚度為0.5m，求出汽車通過坡道口的限高DF的長（結果精確到0.1m，sin28≈0.47，cos28≈0.88，tan28≈0.53）． 21．2013年9月23日強臺風“天兔”登錄深圳，伴隨著就是狂風暴雨．梧桐山山坡上有一棵與水平面垂直的大樹，臺風過后，大樹被刮傾斜后折斷倒在山坡上，樹的頂部恰好接觸到坡面（如圖所示）．已知山坡的坡角∠AEF＝23，量得樹干的傾斜角為∠BAC＝38，大樹被折斷部分和坡面所成的角∠ADC＝60，AD＝3m． （1）求∠DAC的度數(shù)； （2）求這棵大樹折斷前的高度．（結果保留根號）  2019年人教版九下數(shù)學《第28章 銳角三角函數(shù)》單元測試卷 參考答案與試題解析 一．選擇題（共10小題） 1．Rt△ABC中，∠C＝90，cosA＝，AC＝6cm，那么BC等于（　　） A．8cm B． cm C． cm D． cm 【分析】首先利用銳角三角函數(shù)的定義求出斜邊的長度，再運用勾股定理即可求解． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90，cosA＝＝，AC＝6cm， ∴AB＝10cm， ∴BC＝＝8cm． 故選：A． 【點評】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義：在直角三角形中，銳角的余弦為鄰邊比斜邊，同時考查了勾股定理． 2．已知＜cosA＜sin80，則銳角A的取值范圍是（　?。? A．60＜A＜80 B．30＜A＜80 C．10＜A＜60 D．10＜A＜30 【分析】首先明確cos30＝，sin80＝cos10，再根據(jù)余弦函數(shù)隨角增大而減小，進行分析． 【解答】解：∵cos30＝，sin80＝cos10，余弦函數(shù)隨角增大而減小， ∴10＜A＜30． 故選：D． 【點評】熟記特殊角的三角函數(shù)值，了解銳角三角函數(shù)的增減性是解題的關鍵； 還要知道正余弦之間的轉換方法：一個銳角的正弦值等于它的余角的余弦值． 3．在Rt△ABC中，∠C＝90，若sinA＝，則cosA的值為（　　） A． B． C． D． 【分析】根據(jù)同一銳角的正弦與余弦的平方和是1，即可求解． 【解答】解：∵sin2A+cos2A＝1，即（）2+cos2A＝1， ∴cos2A＝， ∴cosA＝或﹣（舍去）， ∴cosA＝． 故選：D． 【點評】此題主要考查了同角的三角函數(shù)，關鍵是掌握同一銳角的正弦與余弦之間的關系：對任一銳角α，都有sin2α+cos2α＝1． 4．在Rt△ABC中，∠C＝90，sinB＝，則tanA的值為（　?。? A． B． C． D． 【分析】根據(jù)一個角的余弦等于它余角的正弦，可得∠A的余弦，根據(jù)同角三角函數(shù)的關系，可得∠A的正弦，∠A的正切． 【解答】解：由Rt△ABC中，∠C＝90，sinB＝，得 cosA＝sinB＝． 由sin2A+cos2A＝1，得sinA＝＝， tanA＝＝＝． 故選：D． 【點評】本題考查了互余兩角三角函數(shù)的關系，利用一個角的余弦等于它余角的正弦得出∠A的余弦是解題關鍵． 5．在△ABC中，∠C＝90，，則∠B為（　　） A．30 B．45 C．60 D．90 【分析】根據(jù)60角的正弦值等于解答． 【解答】解：∵sin60＝， ∴∠B＝60． 故選：C． 【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟記30、45、60的三角函數(shù)值是解題的關鍵． 6．計算sin20﹣cos20的值是（保留四位有效數(shù)字）（　　） A．﹣0.5976 B．0.5976 C．﹣0.5977 D．0.5977 【分析】本題要求熟練應用計算器，對計算器給出的結果，根據(jù)有效數(shù)字的概念用四舍五入法取近似數(shù)． 【解答】解：按MODE，出現(xiàn)：DEG，按sin20﹣cos20，＝后，顯示：﹣0.597 7． 故選：C． 【點評】本題考查了熟練應用計算器的能力． 7．在Rt△ABC中，∠C＝90，cosA＝，AC＝，則BC等于（　　） A． B．1 C．2 D．3 【分析】根據(jù)題意畫出圖形，利用勾股定理求出BC的長． 【解答】解：如圖： ∵cosA＝， ∴＝， 又∵AC＝， ∴BC＝＝1． 故選：B． 【點評】本題主要考查了解直角三角形，畫出圖形并利用勾股定理和三角函數(shù)是解題的關鍵． 8．如圖，為了測量河岸A，B兩點的距離，在與AB垂直的方向上取點C，測得AC＝a，∠ABC＝α，那么AB等于（　?。? A．a?sinα B．a?cosα C．a?tanα D． 【分析】根據(jù)已知角的正切值表示即可． 【解答】解：∵AC＝a，∠ABC＝α，在直角△ABC中tanα＝， ∴AB＝． 故選：D． 【點評】此題主要考查了解直角三角形的應用，正確記憶三角函數(shù)的定義是解決本題的關鍵． 9．如圖，一輛小車沿傾斜角為α的斜坡向上行駛13米，已知cosα＝，則小車上升的高度是（　　） A．5米 B．6米 C．6.5米 D．12米 【分析】在Rt△ABC中，先求出AB，再利用勾股定理求出BC即可． 【解答】解：如圖AC＝13，作CB⊥AB， ∵cosα＝＝， ∴AB＝12， ∴BC＝＝＝5， ∴小車上升的高度是5m． 故選：A． 【點評】此題主要考查解直角三角形，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會構造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型． 10．如圖，學校環(huán)保社成員想測量斜坡CD旁一棵樹AB的高度，他們先在點C處測得樹頂B的仰角為60，然后在坡頂D測得樹頂B的仰角為30，已知斜坡CD的長度為20m，DE的長為10m，則樹AB的高度是（　　）m． A．20 B．30 C．30 D．40 【分析】先根據(jù)CD＝20米，DE＝10m得出∠DCE＝30，故可得出∠DCB＝90，再由∠BDF＝30可知∠DBE＝60，由DF∥AE可得出∠BGF＝∠BCA＝60，故∠GBF＝30，所以∠DBC＝30，再由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結論． 【解答】解：在Rt△CDE中， ∵CD＝20m，DE＝10m， ∴sin∠DCE＝＝， ∴∠DCE＝30． ∵∠ACB＝60，DF∥AE， ∴∠BGF＝60 ∴∠ABC＝30，∠DCB＝90． ∵∠BDF＝30， ∴∠DBF＝60， ∴∠DBC＝30， ∴BC＝＝＝20m， ∴AB＝BC?sin60＝20＝30m． 故選：B． 方法二：可以證明△DGC≌△BGF，所以BF＝DC＝20，所以AB＝20+10＝30， 故選：B． 【點評】本題考查的是解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關鍵． 二．填空題（共5小題） 11．如圖，△ABC的頂點是正方形網(wǎng)格的格點，則tanA的值為　?。? 【分析】首先構造以A為銳角的直角三角形，然后利用正切的定義即可求解． 【解答】解：連接CD． 則CD＝，AD＝， 則tanA＝＝＝． 故答案是：． 【點評】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊，構造直角三角形是本題的關鍵． 12．有四個命題： ①若45＜a＜90，則sina＞cosa； ②已知兩邊及其中一邊的對角能作出唯一一個三角形； ③已知x1，x2是關于x的方程2x2+px+p+1＝0的兩根，則x1+x2+x1x2的值是負數(shù)； ④某細菌每半小時分裂一次（每個分裂為兩個），則經(jīng)過2小時它由1個分裂為16個． 其中正確命題的序號是?、佗堋。ㄗⅲ喊阉姓_命題的序號都填上）． 【分析】一個銳角的正弦值隨著角的增大而增大，余弦值隨著角的增大而減??； 判定三角形求全等的方法：SSS、SAS、ASA、AAS； 一元二次方程的根與系數(shù)的關系：兩根之和等于一次項系數(shù)的相反數(shù)除以二次項系數(shù)，兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)； 半小時每個分裂成2個，則2小時由1個分裂為24個． 【解答】解：①因為sin45＝cos45＝，再結合銳角三角函數(shù)的變化規(guī)律，故此選項正確； ②不一定能夠判定兩個三角形全等，故此選項錯誤； ③根據(jù)根與系數(shù)的關系，得x1+x2＝﹣，x1x2＝． ∴x1+x2+x1x2＝，是正數(shù)． 故此選項錯誤； ④根據(jù)題意，得2小時它由1個分裂24個，即16個，故此選項正確． 故正確的有①④． 【點評】此題涉及的知識的綜合性較強． 綜合考查了銳角三角函數(shù)的知識、全等三角形的判定方法、一元二次方程根與系數(shù)的關系等知識． 13．若0＜α＜90，，則sinα＝　?。? 【分析】畫出直角三角形，根據(jù)tanB＝＝設AC＝k，BC＝2k，由勾股定理求出AB＝k，代入sinα＝sinB＝求出即可． 【解答】解： 如圖在Rt△ACB中，∠C＝90，∠B＝α， tanB＝＝， 設AC＝k，BC＝2k，由勾股定理得：AB＝k， 則sinα＝sinB＝＝＝， 故答案為：． 【點評】本題考查了勾股定理，解直角三角形的應用，主要考查學生的計算能力． 14．在△ABC中，∠C＝90，sinA＝，則tanB＝　?。? 【分析】設BC＝4x，AB＝5x，由勾股定理求出AC＝3x，代入tanB＝求出即可． 【解答】解：∵sinA＝＝， ∴設BC＝4x，AB＝5x， 由勾股定理得：AC＝＝3x， ∴tanB＝＝＝， 故答案為：． 【點評】本題考查了解直角三角形，勾股定理的應用，注意：在Rt△ACB中，∠C＝90，則sinA＝，cosA＝，tanA＝． 15．已知α為銳角，且sin（α﹣10）＝，則α等于　70　度． 【分析】根據(jù)sin60＝解答． 【解答】解：∵α為銳角，sin（α﹣10）＝，sin60＝， ∴α﹣10＝60， ∴α＝70． 【點評】此題比較簡單，只要熟記特特殊角的三角函數(shù)值即可． 三．解答題（共6小題） 16．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝BC＝6，點D為AC中點，點E為邊AB上一動點，點F為射線BC上一動點，且∠FDE＝90． （1）當DF∥AB時，連接EF，求∠DEF的余切值； （2）當點F在線段BC上時，設AE＝x，BF＝y(tǒng)，求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍； （3）連接CE，若△CDE為等腰三角形，求BF的長． 【分析】（1）先根據(jù)勾股定理求出AB的長，再由三角形的中位線定理求出DF、DE的長，由銳角三角函數(shù)的定義即可求出∠DEF的余切值； （2）過點E作EH⊥AC于點H，由平行線的性質及等腰三角形的性質可求出HE、HD的表達式，再由相似三角形的判定定理求出△HDE∽△CFD，根據(jù)相似三角形的性質可寫出y關于x的函數(shù)關系式； （3）先分析出△DCE為等腰三角形時的兩種情況，再根據(jù)題意畫出圖形，當DC＝DE時，點F在邊BC上，過點D作DG⊥AE于點G，可求出AE的長度，由AE的長可判斷出F的位置，進而可求出BF的長；當ED＝EC時，先判斷出點F的位置，再根據(jù)相似三角形的性質及判定定理即可解答． 【解答】解：（1）∵AC＝BC＝6，∠ACB＝90， ∴， ∵DF∥AB，， ∴，（1分） ∴，（1分） 在Rt△DEF中，；（2分） （2）過點E作EH⊥AC于點H，設AE＝x， ∵BC⊥AC， ∴EH∥BC， ∴∠AEH＝∠B， ∵∠B＝∠A， ∴∠AEH＝∠A，，（1分） ∴， 又可證△HDE∽△CFD， ∴，（1分） ∴， ∴；（2分） （3）∵，CD＝3， ∴CE＞CD， ∴若△DCE為等腰三角形，只有DC＝DE或ED＝EC兩種可能．（1分） 當DC＝DE時，點F在邊BC上，過點D作DG⊥AE于點G（如圖①） 可得：，即點E在AB中點， ∴此時F與C重合， ∴BF＝6；（2分） 當ED＝EC時，點F在BC的延長線上， 過點E作EM⊥CD于點M，（如圖②） 可證： ∵EM⊥CD， ∴△DME是直角三角形， ∵DE⊥DF， ∴∠EDM+∠FDC＝90， ∵∠FDC+∠F＝90， ∴∠F＝∠EDM． ∴△DFC∽△DEM， ∴， ∴， ∴CF＝1，∴BF＝7，（2分） 綜上所述，BF為6或7． 【點評】本題是一道綜合題，涉及到銳角三角函數(shù)的定義、直角三角形的性質、相似三角形的判定與性質，涉及面較廣，難度較大． 17．下列關系式是否成立（0＜α＜90），請說明理由． （1）sinα+cosα≤1； （2）sin2α＝2sinα． 【分析】（1）利用三角函數(shù)的定義和三角形的三邊關系得到該結論不成立； （2）舉出反例進行論證． 【解答】解：（1）該不等式不成立，理由如下： 如圖，在△ABC中，∠B＝90，∠C＝α． 則sinα+cosα＝+＝＞1，故sinα+cosα≤1不成立； （2）該等式不成立，理由如下： 假設α＝30，則sin2α＝sin60＝，2sinα＝2sin30＝2＝1， ∵≠1， ∴sin2α≠2sinα，即sin2α＝2sinα不成立． 【點評】本題考查了同角三角函數(shù)的關系．解題的關鍵是掌握銳角三角函數(shù)的定義和特殊角的三角函數(shù)值． 18．計算：tan260﹣2sin30﹣cos45． 【分析】將特殊角的三角函數(shù)值代入求解． 【解答】解：原式＝（）2﹣2﹣ ＝3﹣1﹣1 ＝1． 【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關鍵是掌握幾個特殊角的三角函數(shù)值． 19．如圖，△ABC中，∠ACB＝90，sinA＝，BC＝8，D是AB中點，過點B作直線CD的垂線，垂足為點E． （1）求線段CD的長； （2）求cos∠ABE的值． 【分析】（1）在△ABC中根據(jù)正弦的定義得到sinA＝＝，則可計算出AB＝10，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質即可得到CD＝AB＝5； （2）在Rt△ABC中先利用勾股定理計算出AC＝6，在根據(jù)三角形面積公式得到S△BDC＝S△ADC，則S△BDC＝S△ABC，即CD?BE＝?AC?BC，于是可計算出BE＝，然后在Rt△BDE中利用余弦的定義求解． 【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠ACB＝90， ∴sinA＝＝， 而BC＝8， ∴AB＝10， ∵D是AB中點， ∴CD＝AB＝5； （2）在Rt△ABC中，∵AB＝10，BC＝8， ∴AC＝＝6， ∵D是AB中點， ∴BD＝5，S△BDC＝S△ADC， ∴S△BDC＝S△ABC，即CD?BE＝?AC?BC， ∴BE＝＝， 在Rt△BDE中，cos∠DBE＝＝＝， 即cos∠ABE的值為． 【點評】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．也考查了直角三角形斜邊上的中線性質和三角形面積公式． 20．隨著人們經(jīng)濟收入的不斷提高，汽車已越來越多地進入到各個家庭．某大型超市為緩解停車難問題，建筑設計師提供了樓頂停車場的設計示意圖．按規(guī)定，停車場坡道口上坡要張貼限高標志，以便告知車輛能否安全駛入．如圖，地面所在的直線ME與樓頂所在的直線AC是平行的，CD的厚度為0.5m，求出汽車通過坡道口的限高DF的長（結果精確到0.1m，sin28≈0.47，cos28≈0.88，tan28≈0.53）． 【分析】首先根據(jù)AC∥ME，可得∠CAB＝∠AE28，再根據(jù)三角函數(shù)計算出BC的長，進而得到BD的長，進而求出DF即可． 【解答】解：∵AC∥ME，∴∠CAB＝∠AEM， 在Rt△ABC中，∠CAB＝28，AC＝9m， ∴BC＝ACtan28≈90.53＝4.77（m）， ∴BD＝BC﹣CD＝4.77﹣0.5＝4.27（m）， 在Rt△BDF中，∠BDF+∠FBD＝90， 在Rt△ABC中，∠CAB+∠FBC＝90， ∴∠BDF＝∠CAB＝28， ∴DF＝BDcos28≈4.270.88＝3.7576≈3.8（m）， 答：坡道口的限高DF的長是3.8m． 【點評】此題考查了三角函數(shù)的基本概念，主要是正弦、正切概念及運算，關鍵把實際問題轉化為數(shù)學問題加以計算．利用三角函數(shù)首先要確定直角三角形． 21．2013年9月23日強臺風“天兔”登錄深圳，伴隨著就是狂風暴雨．梧桐山山坡上有一棵與水平面垂直的大樹，臺風過后，大樹被刮傾斜后折斷倒在山坡上，樹的頂部恰好接觸到坡面（如圖所示）．已知山坡的坡角∠AEF＝23，量得樹干的傾斜角為∠BAC＝38，大樹被折斷部分和坡面所成的角∠ADC＝60，AD＝3m． （1）求∠DAC的度數(shù)； （2）求這棵大樹折斷前的高度．（結果保留根號） 【分析】（1）延長BA交EF于點G，利用三角形外角性質即可求出所求角的度數(shù)； （2）過A作CD的垂線，垂足為H，在直角三角形ADH中，求出∠DAH＝30，利用30度角所對的直角邊等于斜邊的一半求出DH與AH的長，確定出三角形ACH為等腰直角三角形，求出CH，AH的長，由AC+CH+HD求出大樹高即可． 【解答】解：（1）延長BA交EF于一點G，如圖所示， 則∠DAC＝180﹣∠BAC﹣∠GAE＝180﹣38﹣（90﹣23）＝75； （2）過點A作CD的垂線，設垂足為H， 在Rt△ADH中，∠ADC＝60，∠AHD＝90， ∴∠DAH＝30， ∵AD＝3， ∴DH＝，AH＝， 在Rt△ACH中，∠CAH＝∠CAD﹣∠DAH＝75﹣30＝45， ∴∠C＝45， ∴CH＝AH＝，AC＝， 則樹高++（米）． 【點評】此題屬于解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，涉及的知識有：勾股定理，含30度直角三角形的性質，特殊角的三角函數(shù)值，以及外角性質，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．