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標(biāo)準(zhǔn)仿真模擬練（一）
(120分鐘 150分)
第Ⅰ卷
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合要求的)
1.已知集合A={(x,y)|x,y∈R,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y∈R,且y=x},則A∩B的元素個數(shù)為( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】選C.集合A表示的是圓心在原點的單位圓,集合B表示的是直線y=x,據(jù)此畫出圖象,可得圖象有兩個交點,即A∩B的元素個數(shù)為2.
2.設(shè)z=1+i(i是虛數(shù)單位),則2z-z= ( )
A.i B.2-i C.1-i D.0
【解析】選D.因為2z-z=21+i-1+i=2(1-i)(1+i)(1-i)-1+i=1-i-1+i=0.
3.“直線y=x+b與圓x2+y2=1相交”是“0
2 019成立的i的最小正整數(shù)值,則輸出框中應(yīng)填 ( )
A.輸出i-2 B.輸出i-1
C.輸出i D.輸出i+1
【解析】選A.假設(shè)使不等式成立的i的最小正整數(shù)為k.則當(dāng)i=k-2時,S>2 019不成立,繼續(xù)循環(huán);S=2468…(k-2),i=i+2=k;S>2 019不成立,繼續(xù)循環(huán);S=2468…k,i=i+2=k+2,S>2 019成立,跳出循環(huán),此時i值為k+2,故應(yīng)輸出i-2.
8.已知f(x)=2sin2x+π6,若將它的圖象向右平移π6個單位,得到函數(shù)g(x)的圖象,則函數(shù)g(x)圖象的一條對稱軸的方程為 ( )
A.x=π12 B.x=π4 C.x=π3 D.x=π2
【解析】選C.f(x)=2sin2x+π6,若將它的圖象向右平移π6個單位,得到函數(shù)g(x)=2sin2x-π6+π6=2sin2x-π6的圖象,
令2x-π6=kπ+π2,k∈Z,得x=kπ2+π3,k∈Z,故函數(shù)圖象的一條對稱軸的方程為x=π3.
9.已知⊥,||=1t,||=t,若P點是△ABC所在平面內(nèi)一點,且= +,當(dāng)t變化時,的最大值等于 ( )
A.-2 B.0 C.2 D.4
【解析】選B.以A為坐標(biāo)原點,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,
因為⊥,||=1t,||=t,所以B1t,0,
C(0,t),
因為P點是△ABC所在平面內(nèi)一點,
且=+,
所以=(1,0)+(0,1)=(1,1),即P(1,1),
所以=1t-1,-1,=(-1,t-1),
所以=-1t+1-t+1=2-1t+t,
因為1t+t≥21tt=2,
所以的最大值等于0,
當(dāng)且僅當(dāng)t=1t,即t=1時,取等號.
10.已知函數(shù)f(x)滿足f(x)+1=1f(x+1),當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)=x.若g(x)= f(x)-mx-2m在區(qū)間(-1,1]上有兩個零點,則實數(shù)m的取值范圍是 ( )
A.00,即直線y=mx+2m的斜率大于0,而此時應(yīng)使直線y=mx+2m上的點(1,3m)位于點(1,1)或其下方,則可得
3m≤1,即m≤13.綜上所述,01),若對任意的x1∈[0,4],總存在x2∈[0,4],使得f(x1)=g(x2),則實數(shù)a的取值范圍為 ( )
A.1,94 B.[9,+∞)
C.1,94∪[9,+∞) D.32,94∪[9,+∞)
【解析】選C.函數(shù)f(x)=x3-6x2+9x,導(dǎo)數(shù)為f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),可得f(x)的極值點為1,3,
由f(0)=0,f(1)=4,f(3)=0,f(4)=4,
可得f(x)在[0,4]的值域為[0,4];
g(x)=13x3-a+12x2+ax-13(a>1),
導(dǎo)數(shù)為g′(x)=x2-(a+1)x+a=(x-1)(x-a),
當(dāng)1a時,g′(x)>0,g(x)遞增.
由g(0)=-13,g(1)=12(a-1),
g(a)=-16a3+12a2-13,g(4)=13-4a,
當(dāng)3≤a≤4時,13-4a≤12(a-1),
g(x)在[0,4]的值域為-13,12(a-1),
由對任意的x1∈[0,4],總存在x2∈[0,4],
使得f(x1)=g(x2),可得[0,4]?-13,12(a-1),
即有4≤12(a-1),解得a≥9不成立;
當(dāng)112(a-1),
g(x)在[0,4]的值域為-13,13-4a,
由題意可得[0,4]?-13,13-4a,
即有4≤13-4a,解得a≤94,即為14時,可得g(1)取得最大值,g(4)<-3為最小值,即有[0,4]?13-4a,12(a-1),
可得13-4a≤0,4≤12(a-1),即a≥134且a≥9,
解得a≥9.
綜上可得,a的取值范圍是1,94∪[9,+∞).
第Ⅱ卷
本卷包含必考題和選考題兩部分.第13題～第21題為必考題,每個試題考生都必須作答.第22題～第23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分)
13.在△ABC中,∠BAC=3π4,AB=6,AC=32,點D在BC邊上,AD=BD,則AD=______.
【解析】設(shè)△ABC的內(nèi)角∠BAC,角B,C所對的邊分別是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC
=(32)2+62-2326cos3π4
=18+36-(-36)=90,所以a=310.
又由正弦定理得sin B=bsin∠BACa=1010,
由題設(shè)知0|PF2|,則|PF1||PF2|的值為____________.
【解析】若∠PF2F1=90,則|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,因為|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=25,
解得|PF1|=143,|PF2|=43,所以|PF1||PF2|=72.若∠F2PF1=90,則|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=|PF1|2+(6-|PF1|)2,
解得|PF1|=4,|PF2|=2,所以|PF1||PF2|=2.
綜上所述,|PF1||PF2|=2或72.
答案:2或72
三、解答題(解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)
17.(本小題滿分12分)數(shù)列{an}中,a1=8,a4=2,且滿足an+2-2an+1+an=0.
(1)求數(shù)列的通項公式.
(2)設(shè)Sn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Sn.
【解析】(1)因為an+2-2an+1+an=0,所以an+2-an+1=an+1-an,所以{an}是以a1為首項的等差數(shù)列,則an=a1+(n-1)d,a4=a1+3d,所以d=2-83=-2,所以an=10-2n.
(2)令Tn=a1+a2+…+an,因為an=10-2n,令an=0,得n=5.當(dāng)n>5時,an<0;當(dāng)n=5時,an=0;當(dāng)n<5時,an>0.
所以當(dāng)n>5時,Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a5-(a6+a7+…+an)= T5-(Tn-T5)=2T5-Tn=n2-9n+40,
當(dāng)n≤5時,Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Tn=9n-n2.
所以Sn=9n-n2 (n≤5),n2-9n+40 (n>5).
18.(本小題滿分12分)全世界人們越來越關(guān)注環(huán)境保護問題,某監(jiān)測站點于2016年8月某日起連續(xù)n天監(jiān)測空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI),數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下:
空氣質(zhì)量指
數(shù)(μg/m3)區(qū)間
[0,50)
[50,
100)
[100,
150)
[150,
200)
[200,
250)
空氣質(zhì)量等級
空氣優(yōu)
空氣良
輕度
污染
中度
污染
重度
污染
天數(shù)
20
40
m
10
5
(1)根據(jù)所給統(tǒng)計表和頻率分布直方圖中的信息求出n,m的值,并完成頻率分布直方圖.
(2)由頻率分布直方圖求該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù).
(3)在空氣質(zhì)量指數(shù)分別屬于[50,100)和[150,200)的監(jiān)測數(shù)據(jù)中,用分層抽樣的方法抽取5天,再從中任意選取2天,求事件A“兩天空氣都為良”發(fā)生的概率.
【解析】(1)因為0.00450=20n,所以n=100
因為20+40+m+10+5=100,所以m=25.
4010050=0.008,2510050=0.005,1010050=0.002,510050=0.001.
(2)由組中點值代替組中值計算平均數(shù)
0.225+0.475+0.25125+0.1175+0.05225=95,由50+3450=87.5知中位數(shù)為87.5.
所以平均數(shù)為95,中位數(shù)為87.5.
(3)在空氣質(zhì)量指數(shù)為[50,100)和[150,200)的監(jiān)測天數(shù)中應(yīng)分別抽取4天和1天,在所抽取的5天中,將空氣質(zhì)量指數(shù)為[50,100)的4天分別記為a,b,c,d;將空氣質(zhì)量指數(shù)為[150,200)的1天分別記為e;從中任取2天的基本事件分別為:(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)共10種.其中事件A“兩天空氣都為良”包含的基本事件為:(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)共6種.所以事件A“兩天空氣都為良”發(fā)生的概率是P(A)=610=35.
19.(本小題滿分12分)如圖1,在邊長為4的菱形ABCD中,∠DAB=60,點E,F分別是邊CD,CB的中點,AC∩EF=O.沿EF將△CEF翻折到△PEF,連接PA,PB,PD,得到如圖2的五棱錐P-ABFED,且PB=10.
(1)求證:BD⊥平面POA.
(2)求四棱錐P-BFED的體積.
【解析】(1)因為點E,F分別是邊CD,CB的中點,
所以BD∥EF.
因為ABCD是菱形,所以BD⊥AC,所以EF⊥AC,
所以翻折后EF⊥AO,EF⊥PO,
因為AO?平面POA,PO?平面POA,AO∩PO=O,
所以EF⊥平面POA,所以BD⊥平面POA.
(2)設(shè)AO∩BD=H,連接BO,
因為ABCD是菱形,所以AB=AD,因為∠DAB=60,
所以△ABD為等邊三角形,
所以BD=4,BH=2,HA=23,HO=PO=3,
在Rt△BHO中,BO=BH2+HO2=7,
在△PBO中,BO2+PO2=10=PB2,
所以PO⊥BO,
因為PO⊥EF,EF∩BO=O,EF?平面BFED,BO?平面BFED,所以PO⊥平面BFED,又梯形BFED的面積為S=12(EF+BD)HO=33,
所以四棱錐P-BFED的體積V=13SPO=13333=3.
20.(本小題滿分12分)已知橢圓C的對稱中心為原點O,焦點在x軸上,左,右焦點分別為F1,F2,上頂點和右頂點分別為B,A,線段AB的中點為D,且kODkAB=-12,△AOB的面積為22.
(1)求橢圓C的方程.
(2)過F1的直線l與橢圓C相交于M,N兩點,若△MF2N的面積為163,求以F2為圓心且與直線l相切的圓的方程.
【解析】(1)設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0).由已知得A(a,0),B(0,b),Da2,b2,所以kODkAB=b2a2b-a=-12,即a2=2b2,①
又S△AOB=12ab=22,所以ab=42,②
由①②解得a2=8,b2=4,所以橢圓方程為x28+y24=1.
(2)①當(dāng)直線l⊥x軸時,易得M(-2,2),N(-2,-2),△MF2N的面積為42,不合題意.
②當(dāng)直線l與x軸不垂直時,設(shè)直線l的方程為y=k(x+2),代入橢圓方程得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0.
顯然有Δ>0,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=-8k21+2k2,x1x2=8k2-81+2k2,
所以|MN|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2
=1+k2-8k21+2k22-48k2-81+2k2,
化簡得|MN|=42(1+k2)1+2k2.
設(shè)圓的半徑為r,則r=4|k|1+k2,所以S△MF2N=12|MN|r=1242(1+k2)1+2k24|k|1+k2=82|k|1+k21+2k2=163,
化簡得k4+k2-2=0,解得k=1,所以r=22,所以所求圓的方程為(x-2)2+y2=8.
21.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)=aln x+1-a2x2-bx(a≠1),曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線斜率為0.
(1)求b.
(2)若存在x0≥1,使得f(x0)1,故當(dāng)x∈1,a1-a時,f′(x)<0,x∈a1-a,+∞時,
f′(x)>0,
f(x)在1,a1-a上單調(diào)遞減,f(x)在a1-a,+∞上單調(diào)遞增.所以,存在x0≥1,使得f(x0)aa-1,所以不符合題意.
③若a>1,則f(1)=1-a2-1=-1-a2
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