2019-2020年人教A版高中數(shù)學 高三一輪 三角函數(shù)與解三角形 3-1任意角、弧度制與任意角的三角函數(shù)《教案》.doc
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2019-2020年人教A版高中數(shù)學 高三一輪 三角函數(shù)與解三角形 3-1任意角、弧度制與任意角的三角函數(shù)《教案》 【教學目標】 1.了解任意角的概念; 2.了解弧度制的概念,能進行弧度與角度的互化; 3.理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義。 【重點難點】 1.教學重點:任意角,弧度制和任意角三角函數(shù)的概念; 2.教學難點:學會對知識進行整理達到系統(tǒng)化,提高分析問題和解決問題的能力; 【教學策略與方法】 自主學習、小組討論法、師生互動法 【教學過程】 教學流程 教師活動 學生活動 設計意圖 考綱再現(xiàn): 考試內容 要求層次 了解 理解 掌握 任意角的概念和弧度制 √ 弧度與角度的互化 √ 任意角的正弦、余弦、正切定義 √ 用單位圓中的三角函數(shù)線表示正弦、余弦和正切 √ [考綱傳真]1.了解任意角的概念 2.了解弧度制的概念,能進行弧度與角度的互化 3.理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義 從近五年高考情況來看,本課時在高考中一般不直接考查, 常與三角恒等變形進行綜合考查,但本講是學習后邊內容的基礎,是學好三角函數(shù)必須要掌握的基本內容. 真題再現(xiàn) 1. 【xx福建高考】若 , 且 為第四象限角,則 的值等于( ) 2.【xx課標卷Ⅰ】如圖所示,圓O的半徑為1,A是圓上的定點,P是圓上的動點.角x的始邊為射線OA,終邊為射線OP,過點P作直線OA的垂線,垂足為M,將點M到直線OP的距離表示成x的函數(shù)f(x),則y=f(x)在[0,π]的圖象大致為( ) 解析:以O為坐標原點,射線OA為x軸的正方向,坐系.則P(cosx,sinx),M(cosx,0),故M到直O(jiān)P的距離為f(x)=|sinxcosx|=|sin2x|,x∈[0,π],故選B. 。 學生通過對高考真題的解決,發(fā)現(xiàn)自己對知識的掌握情況。 學生通過對高考真題的解決,感受高考題的考察視角。 通過對考綱的解讀和分析。讓學生明確考試要求,做到有的放矢 環(huán)節(jié)二: 知識梳理: 知識點1 角的有關概念 1.從運動的角度看,可分為正角、_____和______. 2.從終邊位置來看,可分為_______和軸線角. 3.若α與β角的終邊相同,則β用α表示為β=α+2kπ(k∈Z). 知識點2 弧度的定義和公式 1.定義:長度等于_______的弧所對的圓心角叫做1弧度的角,弧度記作rad. 2.換算關系與相關公式 角α的弧度數(shù)公式 |α|=(弧長用l表示) 角度與弧度的換算 1=rad;1 rad= 弧長公式 弧長l=|α|r 扇形面積公式 S=lr=|α|r2 知識點3 任意角的三角函數(shù) 1).任意角的三角函數(shù)定義: 任意角α的終邊與單位圓交于點P(x,y)時,sin α= ,cos α= ,tan α= (x≠0). 2).三角函數(shù)線 如下圖,設角α的終邊與單位圓交于點P,過P作PM⊥x軸,垂足為M,過A(1,0)作單位圓的切線與α的終邊或終邊的反向延長線相交于點T. 名師點睛: 1.必會結論(1)象限角與軸線角 ①象限角: ②軸線角: (2)任意角三角函數(shù)的定義 設P(x,y)是角α終邊上異于頂點的任一點,其到原點O的距離為r,則sin α=,cos α=,tan α=. 2.必清誤區(qū) (1)第一象限角、銳角、小于90的角是三個不同的概念,前者是象限角,后兩者是區(qū)間角. (2)角度制與弧度制可利用180=π rad進行互化,在同一個式子中,采用的度量制度必須一致,不可混用. 考點分項突破 考點一: 角的概念及其集合表示 1.終邊在直線y=x上的角的集合是________. 【解析】 在(0,π)內終邊在直線y=x上的角為, ∴終邊在直線y=x上的角的集合為 2.若角θ的終邊與角的終邊相同,則在[0,2π]內終邊與角的終邊相同的角的個數(shù)為________. 【解析】 ∵θ=+2kπ(k∈Z),∴=+(k∈Z), 依題意0≤+≤2π,∴-≤k≤,∴k=0,1,2,即在[0,2π]內與終邊相同的角為,,共三個. 跟蹤訓練1: 1.若角α的終邊和函數(shù)y=-|x|的圖象重合,試寫出角的集合; 2.若θ角的終邊與168角的終邊相同,求在[0,360)內終邊與角的終邊相同的角 解析:1.由于y=-|x|的圖象是三、四象限的角平分線, 故在0~360間所對應的兩個角分別為225及315,從而角α的集合為 S={α|α=k?360+225或α=k?360+315,k∈Z}. 解析2.:θ=k360+168,k∈Z,=k120+56,k∈Z.依題意得0≤k120+56<360,當k=0,1,2時, k120+56在[0,360)內,所以=56,176,296. 歸納:1.終邊在某直線上角的求法步驟 (1)數(shù)形結合,在平面直角坐標系中畫出該直線. (2)按逆時針方向寫出[0,2π]內的角. (3)再由終邊相同角的表示方法寫出滿足條件角的集合.(4)求并集化簡集合. 2.確定kα,(k∈N*)的終邊位置的方法 先用終邊相同角的形式表示出角α的范圍,再寫出kα或的范圍,然后根據(jù)k的可能取值討論確定kα或的終邊所在位置. 考點二: 扇形的弧長、面積公式 (1)若圓弧長度等于該圓內接正方形的邊長,則其圓心角的弧度數(shù)是________. (2)已知扇形的圓心角是α,半徑是r,弧長為l, ①若α=100,r=2,求扇形的面積; ②若扇形的周長為20,求扇形面積的最大值,并求此時扇形圓心 【解析】 (1)設圓半徑為r,則圓內接正方形的對角線長為2r,∴正方形邊長為r,∴圓心角的弧度數(shù)是=.角的弧度數(shù). (2)①S=lr=αr2=π4=π, ②由題意知l+2r=20,即l=20-2r,S=lr=(20-2r)r=-(r-5)2+25,當r=5時,S的最大值為25. 當r=5時,l=20-25=10,α==2(rad). 即扇形的面積最大值為25,此時扇形圓心角的弧度數(shù)為2 rad. 跟蹤訓練2: 1. 已知一扇形的圓心角為α,半徑為R,弧長為l. (1)若α=60,R=10 cm,求扇形的弧長l; (2)已知扇形的周長為10 cm,面積是4 cm2,求扇形的圓心角: (3)若扇形周長為20 cm,當扇形的圓心角α為多少弧度時,這個 扇形的面積最大? 解 由已知得,l+2R=20. 當R=5時,S取得最大值25,此時l=10,α=2. 2 已知2弧度的圓心角所對的弦長為2,那么這個圓心角所對弧長是( ) A.2 B.sin2 C. D.2sin1 解析:如圖,∠AOB=2弧度,過O點作OC⊥AB于C,并延長OC交于D.∠AOD=∠BOD=1弧度,且 AC=AB=1,在Rt△AOC中,AO==, 從而弧AB的長為l=|α|R=.故選C. 歸納:弧度制下有關弧長、扇形面積問題的解題策略 1.明確弧度制下弧長公式l=αr,扇形的面積公式是S=lr=αr2(其中l(wèi)是扇形的弧長,α是扇形的圓心角). 2.求扇形面積的關鍵是求得扇形的圓心角、半徑、弧長三個量中的任意兩個量. 考點三:三角函數(shù)的定義 ●命題角度1 利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值 1.已知角α的終邊經(jīng)過點(-4,3),則cos α=( ) A. B. C.- D.- 【解析】 因為角α的終邊經(jīng)過點(-4,3),所以x=-4,y=3,r=5,所以cos α==-. 2.若角θ的終邊經(jīng)過點P(-,m)(m≠0)且sin θ=m,則cos θ的值為________. 【解析】 由題意知r=,∴sin θ==m,∵m≠0,∴m=,∴r==2, ∴cos θ==. ●命題角度2 利用三角函數(shù)的定義求點的坐標 3.點P從(0,1)出發(fā),沿單位圓逆時針方向運動弧長到達Q點,則Q點的坐標為________. 【解析】 由三角函數(shù)定義可知Q點的坐標(x,y)滿足x=cos π=-,y=sin π=-,∴Q. 4.已知角α的始邊與x軸的正半軸重合,頂點在坐標原點,角α終邊上的一點P到原點的距離為,若α=,則點P的坐標為________. 【解析】 設P點坐標為(x,y),由題意知x=cos,y=sin,∴P點坐標為(1,1). ●命題角度3 利用三角函數(shù)線解三角不等式 5.在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊的范圍, 并由此寫出角α的集合:sinα≥ 解析:作直線y=交單位圓于A、B兩點,連結OA、OB,則OA與OB圍成的區(qū)域即為角α的終邊的范圍,故滿足條件的角α的集合為{α|2kπ+≤α≤2kπ+π,k∈Z}. 跟蹤訓練3: 1. 設90<α<180,角α的終邊上一點為P(x,), 且cosα=x,求sinα與tanα的值; 解析:∵r=,∴cosα=, 從而x=,解得x=0或x=. ∵90<α<180,∴x<0,因此x=-. 故r=2,sinα==,tanα==-. 2.如圖所示,在平面直角坐標系xOy中,角α的終邊與單位圓交于點A,點A的縱坐標為,則cosα=______. 解析:由題意可得,點A的橫坐標為 -,由三角函數(shù)的定義得cosα=-. 3. 如果點P(sinθcosθ,2cosθ)位于第三象限,那么角θ所在的象限是( ) A. 第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限 解析:3. 因為點P(sinθcosθ,2cosθ)位于第三象限, 所以sinθcosθ<0,2cosθ<0,即所以θ為第二象限角,選B. 4.在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊的范圍, 并由此寫出角α的 解:作直線x=-交單位圓于C、D兩點,連結OC,OD,則OC與OD圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角α終邊的范圍.故滿足條件的角α的集合{α|2kπ+π≤α≤2kπ+π,k∈Z}. 集合:cosα≤-. 歸納:三角函數(shù)定義的應用方法 1.已知角α終邊上一點P的坐標,可求角α的三角函數(shù)值.先求P到原點的距離,再用三角函數(shù)的定義求解. 2.已知角α的某三角函數(shù)值,可求角α終邊上一點P的坐標中的參數(shù)值,可根據(jù)定義中的兩個量列方程求參數(shù)值. 3.已知角α的終邊所在的直線方程或角α的大小,根據(jù)三角函數(shù)的定義可求角α終邊上某特定點的坐標. 4. 單位圓及三角函數(shù)線,體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想方法. 引導學生通過對基礎知識的逐點掃描,來澄清概念,加強理解。從而為后面的練習奠定基礎. 在解題中注意引導學生自主分析和解決問題,教師及時點撥從而提高學生的解題能力和興趣。 教師引導學生及時總結,以幫助學生形成完整的認知結構。 通過跟蹤訓練,來鍛煉學生獨立解決問題的能力,到底知識和能力的內化。 教師引導學生及時總結,以幫助學生形成完整的認知結構。 教師引導學生及時總結,以幫助學生形成完整的認知結構。 通過跟蹤訓練,來鍛煉學生獨立解決問題的能力,到底知識和能力的內化。 教師引導學生及時總結,以幫助學生形成完整的認知結構。 由常見問題的解決和總結,使學生形成解題模塊,提高模式識別能力和解題效率。 教師引導學生及時總結,以幫助學生形成完整的認知結構。 引導學生對所學的知識進行小結,由利于學生對已有的知識結構進行編碼處理,加強理解記憶,提高解題技能。 環(huán)節(jié)三: 課堂小結: 1.認真分析題意,合理選擇數(shù)學模型是解決應用問題的基礎; 2.實際問題中往往解決一些最值問題,我們可以利用二次函數(shù)的最值、函數(shù)的單調性、基本不等式、導數(shù)等求得最值. 3.函數(shù)模型應用不當是常見的解題錯誤.所以,正確理解題意,選擇適當?shù)暮瘮?shù)模型是正確解決這類問題的前提和基礎. 4.要特別關注實際問題的自變量的取值范圍,合理確定函數(shù)的定義域. 5.注意問題反饋.在解決函數(shù)模型后,必須驗證這個數(shù)學結果對實際問題的合理性. 學生回顧,總結. 引導學生對學習過程進行反思,為在今后的學習中,進行有效調控打下良好的基礎。 環(huán)節(jié)四: 課后作業(yè):學生版練與測 學生通過作業(yè)進行課外反思,通過思考發(fā)散鞏固所學的知識。- 配套講稿:
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