2018-2019學年高中數(shù)學 第二章 幾個重要的不等式 3.1 數(shù)學歸納法學案 北師大版選修4-5.docx
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3.1數(shù)學歸納法學習目標1.了解數(shù)學歸納法的基本原理.2.了解數(shù)學歸納法的應用范圍.3.會用數(shù)學歸納法證明一些簡單問題知識點數(shù)學歸納法在學校,我們經(jīng)常會看到這樣的一種現(xiàn)象:排成一排的自行車,如果一個同學將第一輛自行車不小心弄倒了,那么整排自行車就會倒下思考1試想要使整排自行車倒下,需要具備哪幾個條件?答案第一輛自行車倒下;任意相鄰的兩輛自行車,前一輛倒下一定導致后一輛倒下思考2由這種思想方法所得的數(shù)學方法叫數(shù)學歸納法,那么,數(shù)學歸納法適用于解決哪類問題?答案適合解決一些與正整數(shù)n有關的問題梳理數(shù)學歸納法的概念及步驟(1)數(shù)學歸納法的定義一般地,當要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時,可以用以下兩個步驟:證明當nn0時命題成立;假設當nk(kN,且kn0)時命題成立,證明當nk1時命題也成立在完成了這兩個步驟后,就可以斷定命題對于不小于n0的所有正整數(shù)都成立這種證明方法稱為數(shù)學歸納法(2)數(shù)學歸納法適用范圍數(shù)學歸納法的適用范圍僅限于與正整數(shù)有關的數(shù)學命題的證明(3)數(shù)學歸納法的基本過程類型一用數(shù)學歸納法證明等式例1用數(shù)學歸納法證明1(nN)證明(1)當n1時,左邊,右邊1,等式成立(2)假設當nk(k1,kN)時,等式成立,即1.當nk1時,11,即當nk1時,等式也成立由(1)(2)可知,原等式對nN均成立反思與感悟利用數(shù)學歸納法證明代數(shù)恒等式時要注意兩點:一是要準確表述nn0時命題的形式,二是要準確把握由nk到nk1時,命題結構的變化特點并且一定要記?。涸谧C明nk1成立時,必須使用歸納假設跟蹤訓練1用數(shù)學歸納法證明12232n2n(n1)(2n1)(nN)證明(1)當n1時,左邊121,右邊1,等式成立(2)假設當nk(k1,kN)時,等式成立,即122232k2.當nk1時,122232k2(k1)2(k1)2.所以當nk1時等式也成立由(1)(2)可知,等式對任何nN都成立類型二證明與整除有關的問題例2求證:x2ny2n(nN)能被xy整除證明(1)當n1時,x2y2(xy)(xy)能被xy整除(2)假設nk(k1,kN)時,x2ky2k能被xy整除,那么當nk1時,x2k2y2k2x2x2ky2y2kx2y2kx2y2kx2(x2ky2k)y2k(x2y2)x2ky2k與x2y2都能被xy整除,x2(x2ky2k)y2k(x2y2)能被xy整除即當nk1時,x2k2y2k2能被xy整除由(1)(2)可知,對任意正整數(shù)n,命題均成立反思與感悟利用數(shù)學歸納法證明整除問題時,關鍵是整理出除數(shù)因式與商數(shù)因式積的形式這往往要利用“添項”與“減項”“因式分解”等變形技巧來湊出nk時的情形,從而利用歸納假設使問題得證跟蹤訓練2用數(shù)學歸納法證明:n3(n1)3(n2)3能被9整除(nN)證明(1)當n1時,13233336能被9整除,所以結論成立(2)假設當nk(kN,k1)時結論成立,即k3(k1)3(k2)3能被9整除則當nk1時,(k1)3(k2)3(k3)3k3(k1)3(k2)3(k3)3k3k3(k1)3(k2)39k227k27k3(k1)3(k2)39(k23k3)因為k3(k1)3(k2)3能被9整除,9(k23k3)也能被9整除,所以(k1)3(k2)3(k3)3也能被9整除,即當nk1時結論也成立由(1)(2)知,命題對一切nN成立1用數(shù)學歸納法證明“凸n邊形的內(nèi)角和等于(n2)”時,歸納奠基中n0的取值應為()A1B2C3D4答案C解析邊數(shù)最少的凸n邊形為三角形,故n03.2用數(shù)學歸納法證明1aa2an1(nN,a1),在驗證n1成立時,左邊所得的項為()A1B1aa2C1aD1aa2a3答案B解析當n1時,n12,故左邊所得的項為1aa2.3用數(shù)學歸納法證明34n152n1(nN)能被8整除,當nk1時,34(k1)152(k1)1應變形為_答案81(34k152k1)5652k1(或25(34k152k1)5634k1)解析34(k1)152(k1)134k552k38134k12552k18134k18152k15652k181(34k152k1)5652k1.4用數(shù)學歸納法證明13(2n1)n2(nN)證明(1)當n1時,左邊1,右邊1,等式成立(2)假設當nk(k1,kN)時,等式成立,即13(2k1)k2,那么,當nk1時,13(2k1)2(k1)1k22(k1)1k22k1(k1)2.所以當nk1時等式成立由(1)(2)可知,等式對任意正整數(shù)n都成立1應用數(shù)學歸納法時應注意的問題(1)第一步中的驗證,對于有些問題驗證的并不是n1,有時需驗證n2,n3.(2)對nk1時式子的項數(shù)以及nk與nk1的關系的正確分析是應用數(shù)學歸納法成功證明問題的保障(3)“假設nk時命題成立,利用這一假設證明nk1時命題成立”,這是應用數(shù)學歸納法證明問題的核心環(huán)節(jié),對待這一推導過程決不可含糊不清,推導的步驟要完整、嚴謹、規(guī)范2判斷利用數(shù)學歸納法證明問題是否正確(1)要看有無歸納奠基(2)證明當nk1時是否應用了歸納假設3與n有關的整除問題一般都用數(shù)學歸納法證明其中關鍵問題是從當nk1時的表達式中分解出nk時的表達式與一個含除式的因式或幾個含除式的因式,這樣才能得出結論成立一、選擇題1已知命題12222n12n1及其證明:(1)當n1時,左邊1,右邊2111,所以等式成立(2)假設當nk(k1,kN)時等式成立,即12222k12k1成立,則當nk1時,12222k12k2k11,所以nk1時等式也成立由(1)(2)知,對任意的正整數(shù)n等式都成立判斷以上論述()A命題、推理都正確B命題正確、推理不正確C命題不正確、推理正確D命題、推理都不正確答案B解析推理不正確,錯在證明當nk1時,沒有用到假設當nk時的結論,命題由等比數(shù)列求和公式知正確2在數(shù)列an中,a11,前n項和Sn1,先算出數(shù)列的前4項的值,再根據(jù)這些值歸納猜想數(shù)列的通項公式是()Aan1Bann1CanDan答案D解析a11,S21,a2S2S1,a3S3S2,a4S4S3,猜想:an.3用數(shù)學歸納法證明“當n為正奇數(shù)時,xnyn能被xy整除”,第二步歸納假設應寫成()A假設n2k1(kN)時正確,再推n2k3時正確B假設n2k1(kN)時正確,再推n2k1時正確C假設nk(kN)時正確,再推nk1時正確D假設nk(kN)時正確,再推nk2時正確答案B解析n為正奇數(shù),在證明時,歸納假設應寫成:假設當n2k1(kN)時正確,再推出當n2k1時正確,故選B.4設f(n)(nN),那么f(n1)f(n)等于()A.B.C.D.答案D解析因為f(n),所以f(n1),所以f(n1)f(n).5如果123234345n(n1)(n2)n(n1)(na)(nb)對一切正整數(shù)n都成立,則a,b的值等于()Aa1,b3Ba1,b1Ca1,b2Da2,b3答案D解析令n1,2得到關于a,b的方程組,解得即可6某個命題與正整數(shù)n有關,若當nk(kN)時該命題成立,那么可推得當nk1時該命題也成立,現(xiàn)已知當n5時該命題不成立,那么可推得()A當n6時該命題不成立B當n6時該命題成立C當n4時該命題不成立D當n4時該命題成立答案C解析由已知得當nk時成立nk1時成立當nk1時不成立當nk時不成立由當n5時不成立知,當n4時不成立二、填空題7設f(n)1(nN),則f(n1)f(n)_.答案解析因為f(n)1,所以f(n1)1,所以f(n1)f(n).8觀察式子11,14(12),149123,猜想第n個式子應為_答案14916(1)n1n2(1)n19已知平面上有n(nN,n3)個點,其中任何三點都不共線,過這些點中任意兩點作直線,設這樣的直線共有f(n)條,則f(3)_,f(4)_,f(5)_,f(n1)f(n)_.答案3610n解析當nk時,有f(k)條直線當nk1時,增加的第k1個點與原k個點共連成k條直線,即增加k條直線,所以f(k1)f(k)k.所以f(3)3,f(4)6,f(5)10,f(n1)f(n)n.10觀察下列等式:(11)21,(21)(22)2213,(31)(32)(33)23135,照此規(guī)律,第n個等式可為_答案(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)解析由已知,得第n個等式左邊為(n1)(n2)(nn),右邊為2n13(2n1)所以第n個等式為(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)三、解答題11用數(shù)學歸納法證明:當n為正整數(shù)時,f(n)32n28n9能被64整除證明(1)當n1時,f(1)348964,命題顯然成立(2)假設當nk(k1,kN)時,命題成立,即f(k)32k28k9能被64整除當nk1時,f(k1)32(k1)28(k1)99(32k28k9)98k998(k1)99(32k28k9)64(k1),即f(k1)9f(k)64(k1)當nk1時命題也成立綜合(1)(2)可知,對任意的nN,命題都成立12用數(shù)學歸納法證明:1(nN)證明(1)當n1時,左邊1右邊,所以等式成立(2)假設當nk(k1,kN)時等式成立,即1,則當nk1時,1,所以當nk1時等式也成立由(1)(2)知,對任意nN等式都成立13請觀察以下三個式子:(1)13;(2)1324;(3)132435,歸納出一般的結論,并用數(shù)學歸納法證明該結論解結論:132435n(n2).證明:(1)當n1時,左邊3,右邊3,所以命題成立(2)假設當nk(k1,kN)時,命題成立,即132435k(k2),當nk1時,1324k(k2)(k1)(k3)(k1)(k3)(2k27k6k18)(2k213k18),所以當nk1時,命題成立由(1)(2)知,命題成立四、探究與拓展14用數(shù)學歸納法證明1222(n1)2n2(n1)22212時,由nk的假設到證明nk1時,等式左邊應添加的式子是_答案(k1)2k2解析當nk時,左邊1222(k1)2k2(k1)22212.當nk1時,左邊1222k2(k1)2k2(k1)22212,所以左邊添加的式子為(k1)2k2.15已知數(shù)列,計算數(shù)列和S1,S2,S3,S4,根據(jù)計算結果,猜想Sn的表達式,并用數(shù)學歸納法進行證明解S1,S2,S3,S4.上面四個結果中,分子與項數(shù)n一致,分母可用項數(shù)n表示為3n1,于是可以猜想Sn.其證明如下:(1)當n1時,左邊S1,右邊,猜想成立(2)假設當nk(kN,k1)時猜想成立,即成立,則當nk1時,所以當nk1時,猜想成立由(1)(2)知,猜想對任意nN,Sn都成立- 配套講稿:
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