2020高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 課下層級(jí)訓(xùn)練42 直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式（含解析）文 新人教A版.doc

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課下層級(jí)訓(xùn)練(四十二)　直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式 [A級(jí)　基礎(chǔ)強(qiáng)化訓(xùn)練] 1．命題p：“a＝－2”是命題q：“直線ax＋3y－1＝0與直線6x＋4y－3＝0垂直”成立的(　　) A．充要條件　　　　　　　 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件 A　[直線ax＋3y－1＝0與直線6x＋4y－3＝0垂直的充要條件是6a＋12＝0，即a＝－2.] 2．(2019湖南衡陽(yáng)月考)三條直線l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0圍成一個(gè)三角形，則k的取值范圍為(　　) A．{k|k≠5且k≠1} B．{k|k≠5且k≠－10} C．{k|k≠1且k≠0} D．{k|k≠5} B　[三條直線圍成一個(gè)三角形，則三條直線互不平行，且不過(guò)同一點(diǎn)，∴－k5≠0，且51－k－15≠0，∴k≠5且k≠－10. ] 3．(2019山東臨沂聯(lián)考)數(shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形幾何學(xué)》一書(shū)中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱(chēng)這條直線為歐拉線．已知△ABC的頂點(diǎn)A(2,0)，B(0,4)，若其歐拉線的方程為x－y＋2＝0，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是(　　) A．(－4,0) B．(0，－4) C．(4,0) D．(4,0)或(－4,0) A　[當(dāng)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是(－4,0)時(shí)，三角形重心坐標(biāo)為，在歐拉線上，對(duì)于其他選項(xiàng)，三角形重心都不在歐拉線上．] 4．從點(diǎn)(2,3)射出的光線沿與向量a＝(8,4)平行的直線射到y(tǒng)軸上，則反射光線所在的直線方程為(　　) A．x＋2y－4＝0 B．2x＋y－1＝0 C．x＋6y－16＝0 D．6x＋y－8＝0 A　[由直線與向量a＝(8,4)平行知，過(guò)點(diǎn)(2,3)的直線的斜率k＝，所以直線的方程為y－3＝(x－2)，其與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)，又點(diǎn)(2,3)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(－2,3)，所以反射光線過(guò)點(diǎn)(－2，3)與(0,2)，由兩點(diǎn)式知A正確．] 5．直線l1過(guò)點(diǎn)(－2,0)且傾斜角為30，直線l2過(guò)點(diǎn)(2,0)且與直線l1垂直，則直線l1與直線l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_________． (1，)　[直線l1：x－3y＋2＝0，直線l2：x＋y－2＝0，聯(lián)立方程組可求得x＝1，y＝.] 6．已知兩點(diǎn)A(－m,0)和B(2＋m,0)(m>0)，若在直線l：x＋y－9＝0上存在點(diǎn)P，使得PA⊥PB，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________． m≥3　[設(shè)P(x，y)，則kPA＝，kPB＝， 由已知可得 消去x得4y2－16y＋63－m2－2m＝0， 由題意得 解得m≥3.] 7．已知0＜k＜4，直線l1：kx－2y－2k＋8＝0和直線l2：2x＋k2y－4k2－4＝0與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，則使得這個(gè)四邊形面積最小的k值為_(kāi)_________． 　[由題意知直線l1，l2恒過(guò)定點(diǎn)P(2,4)，直線l1的縱截距為4－k，直線l2的橫截距為2k2＋2，如圖， 所以四邊形的面積S＝2k22＋(4－k＋4)2＝4k2－k＋8，故面積最小時(shí)，k＝.] 8．已知兩直線l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求滿足下列條件的a，b的值． (1)l1⊥l2，且直線l1過(guò)點(diǎn)(－3，－1)； (2)l1∥l2，且坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等． 解　(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0． 又∵直線l1過(guò)點(diǎn)(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0． 故a＝2，b＝2． (2)∵直線l2的斜率存在，l1∥l2， ∴直線l1的斜率存在． ∴k1＝k2，即＝1－a． 又∵坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等， ∴l(xiāng)1，l2在y軸上的截距互為相反數(shù)，即＝b． 故a＝2，b＝－2或a＝，b＝2． 9．已知直線l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及點(diǎn)P(3,4)． (1)證明直線l過(guò)某定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)； (2)當(dāng)點(diǎn)P到直線l的距離最大時(shí)，求直線l的方程． (1)證明　直線l的方程可化為a(2x＋y＋1)＋b(x＋y－1)＝0，由得 所以直線l恒過(guò)定點(diǎn)(－2,3)． (2)解　由(1)知直線l恒過(guò)定點(diǎn)A(－2,3)， 當(dāng)直線l垂直于直線PA時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離最大． 又直線PA的斜率kPA＝＝， 所以直線l的斜率kl＝－5． 故直線l的方程為y－3＝－5(x＋2)， 即5x＋y＋7＝0． [B級(jí)　能力提升訓(xùn)練] 10．若直線l1：y＝k(x－4)與直線l2關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱(chēng)，則直線l2恒過(guò)定點(diǎn)(　　) A．(0,4) B．(0,2) C．(－2,4) D．(4，－2) B　[直線l1：y＝k(x－4)恒過(guò)定點(diǎn)(4,0)，其關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為(0,2)．又由于直線l1：y＝k(x－4)與直線l2關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱(chēng)，故直線l2恒過(guò)定點(diǎn)(0,2)．] 11．已知?jiǎng)又本€l：ax＋by＋c－2＝0(a>0，c>0)恒過(guò)點(diǎn)P(1，m)且Q(4，0)到動(dòng)直線l的最大距離為3，則＋的最小值為(　　) A． 　　　 B． 　　　 C．1　　　 D．9 B　[因?yàn)閯?dòng)直線l：ax＋by＋c－2＝0(a>0，c>0)恒過(guò)點(diǎn)P(1，m)，所以a＋bm＋c－2＝0，又因?yàn)镼(4,0)到動(dòng)直線l的最大距離為3，所以＝3，解得m＝0.所以a＋c＝2，則＋＝(a＋c)＝≥ ＝，當(dāng)且僅當(dāng)c＝2a＝時(shí)取等號(hào)．] 12．(2018吉林延邊模擬)P點(diǎn)在直線3x＋y－5＝0上，且P點(diǎn)到直線x－y－1＝0的距離為，則P點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_________． (1, 2)或(2, －1)　[設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,5－3x)，則P點(diǎn)到直線x－y－1＝0的距離d＝＝＝，所以|2x－3|＝1，所以x＝1或x＝2. 所以P點(diǎn)坐標(biāo)為(1, 2)或(2，－1)．] 13．已知M(x，y)為曲線C：＋＝1上任意一點(diǎn)，且A(－3,0)，B(3,0)，則|MA|＋|MB|的最大值是__________． 8　[原曲線方程可化為＋＝1，作圖如下： 由上圖可得要使|MA|＋|MB|取得最大值，則M必須在菱形的頂點(diǎn)處，不妨取M(0，)，或M(4,0)，均可求得|MA|＋|MB|＝8，故|MA|＋|MB|的最大值為8.] 14．已知直線l經(jīng)過(guò)直線2x＋y－5＝0與x－2y＝0的交點(diǎn)P． (1)點(diǎn)A(5,0)到l的距離為3，求l的方程； (2)求點(diǎn)A(5,0)到l的距離的最大值． 解　(1)經(jīng)過(guò)兩已知直線交點(diǎn)的直線系方程為 (2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0， ∴＝3，解得λ＝2或λ＝． ∴l(xiāng)的方程為x＝2或4x－3y－5＝0． (2)由解得交點(diǎn)P(2,1)． 如圖，過(guò)P作任一直線l，設(shè)d為點(diǎn)A到l的距離， 則d≤|PA|(當(dāng)l⊥PA時(shí)等號(hào)成立)． ∴dmax＝|PA|＝． 15．一條光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,3)射在直線l∶x＋y＋1＝0上，反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q(1,1)，求： (1)入射光線所在直線的方程； (2)這條光線從P到Q所經(jīng)路線的長(zhǎng)度． 解　(1)設(shè)點(diǎn)Q′(x′，y′)為Q關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，QQ′交l于M點(diǎn)，∵kl＝－1，∴kQQ′＝1， ∴QQ′所在直線的方程為y－1＝1(x－1)，即x－y＝0． 由解得 ∴交點(diǎn)M，∴ 解得∴Q′(－2，－2)． 設(shè)入射光線與l交于點(diǎn)N，則P，N，Q′三點(diǎn)共線， 又P(2,3)，Q′(－2，－2)， 故入射光線所在直線的方程為 ＝，即5x－4y＋2＝0． (2)|PN|＋|NQ|＝|PN|＋|NQ′|＝|PQ′| ＝＝， 即這條光線從P到Q所經(jīng)路線的長(zhǎng)度為．